Le travail \text{W}, exprimé en joule, d'une force \overrightarrow{\text{F}}, en newton, sur un déplacement rectiligne \overrightarrow{\mathrm{AB}}, en mètre, est défini par \text{W}=\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

Dans un repère orthonormé, on considère trois points \mathrm{A}(1 \: ; 16), \mathrm{B}(-7 \: ; 18) et \mathrm{F}_{n}\left(n \: ; n^{2}-20\right), où n désigne un entier naturel.

On souhaite déterminer la valeur de \bm{n} pour laquelle le travail de la force \overrightarrow{\mathbf{AF}_{\bm{n}}} lors du déplacement \overrightarrow{\mathbf{AB}} est nul, en utilisant une des trois méthodes.

1. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{AB}}, puis exprimer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{AF}_{n}} en fonction de n.

2.  En déduire que \mathrm{W}=2 n^{2}-8 n-64.

3. Voici ci‑dessous un programme écrit en langage Python.

from math import*
n = 0
p = -64
while ... :
  n = n + 1
  p = ...
y = n**2 - 20
print(n)
print(y)

a. Justifier la ligne 3 du programme.

b. Que doit‑on saisir en lignes 4 et 6 pour que cet algorithme affiche la valeur de n pour laquelle \text{W} est nul ?

c. À quoi correspond la valeur y affichée en fin d'algorithme ?

4. Saisir et lancer cet algorithme. Donner la valeur de n telle que le travail soit nul, puis donner les coordonnées de \mathrm{F}_{n} correspondantes.

1. Reproduire la feuille de calcul suivante et compléter les cellules \bf{B1}, \bf{B2}, \bf{D1} et \bf{D2}.

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2. Quelles formules doit‑on saisir dans les cellules \bf{H1} et \bf{H2} pour calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{AB}} ?

3. a. Quelles formules faut‑il saisir et étirer vers le bas dans les cellules \bf{B6} et \bf{C6} pour calculer les coordonnées de \mathrm{F}_{n} ?

b. Quelles formules faut‑il saisir et étirer vers le bas dans les cellules \bf{D6} et \bf{E6} pour calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{AF}_{n}} ?

4. Dans la cellule \bf{F6}, saisir la formule \color{purple}\bf{=\$ \mathbf{H} \$ \mathbf{1}^{*} \mathbf{D} \mathbf{6}+\mathbf{\$} \mathbf{H} \mathbf{\$} \mathbf{2}^{*} \mathbf{E} 6}. Que calcule‑t‑elle ? Expliquer les \color{purple}\bf{\$} présents dans la formule.

5. Déterminer la valeur de n telle que le travail soit nul, puis donner les coordonnées de \mathrm{F}_{n} correspondantes.

1. Placer les points \text{A} et \text{B}, créer un curseur n variant de 0 à 30 avec un incrément de 1, puis créer le point \mathrm{F}_{n}.

2. Définir les vecteurs u=\overrightarrow{\mathrm{AB}} et v=\overrightarrow{\mathrm{AF}_{n}}. Saisir la formule : \color{purple}\bf{\mathbf{p}=\mathbf{x}(\mathbf{u}) \mathbf{x}(\mathbf{v})+\mathbf{y}(\mathbf{u}) \mathbf{y}(\mathbf{v})}.
À quoi correspond \color{purple}\bf{p} dans cet exercice ?

3. a. En faisant varier n, déterminer la valeur de n pour laquelle le travail est nul.

b. Pour quelles coordonnées de \mathrm{F}_{n} le travail de la force \overrightarrow{\mathrm{AF}_{n}} est‑il nul ?

Concrètement, le travail d'une force sur un déplacement rectiligne correspond à l'énergie qu'elle produit lorsque le point d'application (souvent le centre de gravité du système étudié) se déplace selon un vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

On peut remarquer que la définition du travail d'une force diffère de la définition usuelle du mot « travail ». Par exemple, le travail d'une force dont le point d'application ne travaille pas est nul (\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{0}).

Mais si on tient sans bouger et à bout de bras un objet, la force qu'on exerce sur cet objet aura un travail nul, bien que nous ressentions un certain épuisement au bout d'un moment.