Applications directes

1. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =2,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =5$ et $\theta =45^{\circ }.$

2. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =7$ et $\theta =30^{\circ }.$

3. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3\sqrt{5},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =3$ et $\theta =90^{\circ }.$

4. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\frac{3}{4},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\theta =120^{\circ }.$

1. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =2,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =4$ et $\theta =\frac{5\pi }{6}\mathrm{rad}.$

2. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =2,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =9$ et $\theta =\frac{2\pi }{3}\mathrm{rad}.$

3. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{6},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =1$ et $\theta =\frac{\pi }{3}\text{rad}.$

4. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\frac{3}{4},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{2}$ et $\theta =\frac{3\pi }{4}\text{rad}.$

Soit $\text{ABC}$ un triangle équilatéral de côté 3 cm. Calculer $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

Soit $\text{ABC}$ un triangle tel que :

$\widehat{\mathrm{BCA}}=\frac{\pi }{6},\mathrm{AC}=\frac{2}{3}$ et $\mathrm{BC}=4\sqrt{3}.$

Calculer $\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

Insérer une formule mathématique

Soient $\text{A},\text{B}$ et $\text{C}$ trois points tels que $\mathrm{AB}=2$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{BA}}.$ Calculer $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}.$

Soient $\text{A},\text{B}$ et $\text{C}$ trois points tels que $\mathrm{AB}=3$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-6\overrightarrow{\mathrm{AB}}.$ Calculer $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.$

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}-7\\ -4\end{array}\right).$

2. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}6\\ -3\end{array}\right).$

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}\frac{3}{5}\\ 8\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-5\\ \frac{4}{5}\end{array}\right).$

2. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{7}\\ -\frac{5}{4}\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}\frac{2}{3}\\ 2\end{array}\right).$

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}\sqrt{2}\\ -1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}3\\ \sqrt{2}\end{array}\right).$

2. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 0\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-2\\ \sqrt{3}\end{array}\right).$

On considère les points $\mathrm{A}(2;-3),\mathrm{B}(1;5)$ et $\mathrm{C}(-4;7).$ Calculer $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

Insérer une formule mathématique

On considère les points $\mathrm{A}\left(0;\frac{2}{7}\right),\mathrm{B}\left(-4;\frac{3}{7}\right)$ et $\mathrm{C}\left(\frac{1}{7};6\right).$ Calculer $\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

On considère les points $\mathrm{A}(-7;1),\mathrm{B}(4;-3)$ et $\mathrm{C}(0;2).$ Calculer $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.$

Calculer $(3\overrightarrow{u})\cdot (-5\overrightarrow{v})$ lorsque $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-\frac{2}{5}.$

Soient $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs tels que $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{w}=-3$ et $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=5.$ Calculer $\overrightarrow{w}\cdot (4\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}).$

Déterminer une mesure, en radian, de l'angle $\theta$ entre les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ vérifiant $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-3,\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{3}$ et $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =2.$

Dans chaque cas, déterminer une valeur arrondie au degré près de $\theta .$

1. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =5$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-4.$

2. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\frac{1}{2},\Vert \overrightarrow{v}\Vert =3$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{5}{4}.$

Dans chaque cas, déterminer une mesure en radian de $\theta .$

1. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{2}$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=3.$

Insérer une formule mathématique

2. $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =10,\Vert \overrightarrow{v}\Vert =1$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-5\sqrt{3}.$

Insérer une formule mathématique

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $\mathrm{A}(0;3),\mathrm{B}(9;2)$ et $\mathrm{C}(-3;-1).$

1. Calculer $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

2. En déduire une valeur arrondie au degré près de $\widehat{\mathrm{BAC}}.$

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $\mathrm{A}(\sqrt{3};2\sqrt{3}),\mathrm{B}(-1+\sqrt{3};\sqrt{3})$ et $\mathrm{C}(2\sqrt{3};2\sqrt{3}+1).$

1. Calculer $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.$

2. En déduire une valeur exacte en radian de $\widehat{\mathrm{BAC}}.$

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $\mathrm{O}(0;0),\mathrm{B}(2;0)$ et $\mathrm{C}(\sqrt{2};\sqrt{2}).$

1. Calculer $\mathrm{OB},\mathrm{OC}$ et $\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}.$

2. En déduire une valeur exacte en radian de $\widehat{\mathrm{BOC}}.$

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}3\\ 12\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}4\\ -1\end{array}\right).$

2. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-20\\ -5\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right).$

1. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right).$

2. $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}\frac{5}{3}\\ \frac{1}{6}\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-\frac{7}{2}\\ 35\end{array}\right).$

1. $\mathrm{A}(5;2),\mathrm{B}(8;1),\mathrm{C}(2;1)$ et $\mathrm{D}(1;-2).$

2. $\mathrm{A}(3;-1),\mathrm{B}(-1;1),\mathrm{C}(-1;-1)$ et $\mathrm{D}(1;2).$

1. $\mathrm{A}(2;0),\mathrm{B}\left(\frac{1}{3};1\right),\mathrm{C}\left(1;\frac{1}{4}\right)$ et $\mathrm{D}(-1;-2).$

2. $\mathrm{A}(1;-2),\mathrm{B}(3;1),\mathrm{C}\left(\frac{1}{2};-3\right)$ et $\mathrm{D}(-1;-2)$.

Soit $\text{ABCD}$ un carré de côté 5 cm et de centre $\text{O}.$


À l'aide d'une projection orthogonale, calculer les produits scalaires suivants.

1. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

2. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}$

3. $\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

4. $\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$

On se place dans un repère orthonormé.
Les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}5\\ -4\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}8\\ 10\end{array}\right)$ sont‑ils orthogonaux ?
Justifier la réponse.

Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}),$on considère le vecteur $\overrightarrow{u}$ de norme $2$ et formant un angle $\frac{5\pi }{6}$ avec le demi‑axe $(\mathrm{O};\overrightarrow{i})$ des abscisses.

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $\overrightarrow{u^{\prime }}$ de $\overrightarrow{u}$ sur l'axe des abscisses.

Soit $\text{EFG}$ un triangle non aplati.

Écrire les trois égalités obtenues à l'aide du théorème d'Al‑Kashi.

Soit $\text{ABC}$ un triangle tel que :

$\mathrm{AB}=4,\mathrm{AC}=7$ et $\widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi }{4}.$

Déterminer la valeur exacte de ${\mathrm{BC}}^2,$ puis une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de $\text{BC}.$

Insérer une formule mathématique

Soit $\text{EFG}$ un triangle tel que :

$\mathrm{FG}=\sqrt{3},\mathrm{EG}=2$ et $\widehat{\mathrm{EGF}}=\frac{5\pi }{18}.$

Déterminer une valeur arrondie à 0,01 près de $\text{EF}.$

Soit $\text{ABC}$ un triangle isocèle en $\text{A}$ tel que :

$\mathrm{AC}=6$ et $\widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{7\pi }{36}.$

Déterminer une valeur arrondie à 0,1 près de $\text{BC}.$

Soit $\text{ABC}$ un triangle tel que :

$\mathrm{AB}=4,\mathrm{AC}=6$ et $\mathrm{BC}=8.$

Déterminer une valeur arrondie au degré près de $\widehat{\mathrm{ABC}}.$

Soit $\text{ABC}$ un triangle tel que :

$\mathrm{AB}=4,\mathrm{AC}=2\sqrt{3}$ et $\widehat{\mathrm{ABC}}=\frac{\pi }{3}.$

Déterminer la valeur exacte de $\text{BC}.$

Soit $\text{MAT}$ un triangle tel que :

$\mathrm{AT}=2,\mathrm{MA}=5$ et $\widehat{\mathrm{MAT}}=\frac{\pi }{6}.$

Déterminer la valeur exacte de ${\mathrm{TM}}^2,$ puis une valeur arrondie au centième de $\text{TM}.$

Écrire l'égalité du parallélogramme pour un parallélogramme $\text{EFGH}.$