Nombres complexes

Propriétés :

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers ($b$ et $d$ non nuls).

1. $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$

2. $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

3. Pour additionner deux fractions, on les met d'abord au même dénominateur.

4. Diviser par une fraction $\frac{a}{b}$, c'est multiplier par son inverse $\frac{b}{a}$.

Convention :

pour simplifier et réduire une expression littérale, on peut :

• omettre le signe $\times$ et le facteur $1$ devant une lettre ou une parenthèse ;
• multiplier les lettres identiques entre elles en utilisant la notation de puissance ;
• ajouter ou soustraire les termes de même nature.

Propriétés :

Soient $k$, $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres quelconques. On a les propriétés suivantes :

1. Distributivité simple : $k(a+b)=ka+kb$
2. Double distributivité : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
3. Identité remarquable : $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Définition :

Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ revient à déterminer tous les couples $\left(x;y\right)$ qui vérifient les deux équations en même temps.

On cherche à résoudre le système $\{\begin{array}{rcl}2x+3y& =& 8\\ 3x-2y& =& -1\end{array}$, d'inconnues $x$ et $y$.

Méthode 1 : Par combinaison linéaire

1. En multipliant chacune des deux équations par un nombre adéquat, on égalise les coefficients de l'une des inconnues dans chaque équation :

$\{\begin{array}{rcl}\left(2x+3y\right)\times 3& =& 8\times 3\\ \left(3x-2y\right)\times 2& =& \left(-1\right)\times 2\end{array}\to$ $\{\begin{array}{rcl}6x+9y& =& 24\\ 6x-4y& =& -2\end{array}$.

2. On soustrait l'une des deux équations à l'autre. Ainsi, on obtient une équation ne comportant plus qu'une seule inconnue :
$6x+9y-\left(6x-4y\right)=24-\left(-2\right)$.

3. On résout l'équation ainsi obtenue : $13y=26$ d'où $y=2$.

4. On reporte la valeur trouvée dans l'une des deux équations de départ et on résout l'équation ainsi obtenue :
Puisque $2x+3y=8$ alors $2x=8-3y=8-6=2$ d'où $x=1$.

5. La solution du système est donc le couple $\left(1;2\right)$.

Méthode 2 : Par substitution

1. À l'aide de l'une des deux équations, on exprime l'une des deux inconnues en fonction de l'autre : la première équation peut s'écrire $x=4-1,5y$.

2. On remplace, dans la deuxième équation, cette inconnue par l'expression obtenue à l'étape précédente : $3\left(4-1,5y\right)-2y=-1$ c'est‑à‑dire $12-6,5y=-1$.

3. On obtient ainsi une équation à une seule inconnue, que l'on résout.
On obtient $y=2$.
On reporte la valeur obtenue à l'étape précédente dans l'une des deux équations. On obtient alors une nouvelle équation à une inconnue, que l'on résout pour obtenir la valeur de la deuxième inconnue.
En reportant dans la première équation on obtient $2x+6=8$ d'où $x=1$.

5. La solution du système est donc le couple $\left(1;2\right)$.

1. Développer et réduire une expression algébrique.
2. Calculer avec des fractions.
3. Connaître les valeurs remarquables du cosinus et du sinus et utiliser le cercle trigonométrique.
4. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues.

Soit $x$ un nombre réel. Développer et réduire chacune de ces expressions.

1. $\text{A}(x)=4(2x-7)-3(x+1)$

2. $\mathrm{B}(x)=(2x+3)(1-x)$

3. $\mathrm{C}(x)=(x+1)(2x+3)-(7-x)(2x+4)$

4. $\mathrm{D}(x)=(2x+3{)}^2$

5. $\mathrm{E}(x)=3(5-x{)}^2$

6. $\text{F}(x)=4(2-x)(2+x)$

Déterminer la mesure principale de chacun des angles suivants, exprimés en radian.

1. $\frac{17\pi }{6}$

2. $\frac{-30\pi }{4}$

3. $\frac{5\pi }{3}$

Déterminer une écriture fractionnaire de chacune de ces expressions, en réduisant les fractions au même dénominateur.

1. $\mathrm{A}(x)=\frac{3}{x+1}+\frac{2x}{5}$

2. $\text{B}(x)=\frac{3x-1}{1+2x}-\frac{2}{x+1}$

Déterminer la valeur exacte de chacune de ces expressions.

1. $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)$

2. $\sin \left(\frac{-3\pi }{2}\right)$

3. $\sin (7\pi )$

Résoudre dans ${\mathbb{R}}^2$ les systèmes suivants, d'inconnues $x$ et $y$.

1. $\{\begin{array}{c}x+2y=3\\ 2x+5y=4\end{array}$

2. $\{\begin{array}{c}x-y=9\\ 2x-3y=17\end{array}$

On se place dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Soit $\text{A}$ tel que $\text{OA}=3$ et tel qu'une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\mathrm{OA}})$ soit $\frac{\pi }{4}$. On pose $\mathrm{B}(3;0)$.

Quelle est la nature du triangle $\text{OAB}$ ?

Initialement introduits dans l'intention de résoudre des équations de degré 3, les « nombres imaginaires » ont été cantonnés à un rôle purement algébrique pendant plus de deux siècles. Ce n'est qu'en 1831 que le mathématicien allemand Gauss introduit les « nombres complexes » en lien avec leur représentation dans un plan. Dès lors, les applications qui en ont résulté se sont montrées nombreuses. En trigonométrie, par exemple, où les complexes permettent la linéarisation de polynômes trigonométriques, mais également dans le domaine de la physique. Aujourd'hui, les connaissances mathématiques sur les complexes ont permis de faciliter des découvertes majeures dans de nombreux domaines tels que l'électrocinétique, la mécanique quantique ou encore l'électromagnétisme.