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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 8
Spécialité STI2D

Nombres complexes

13 professeurs ont participé à cette page
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Capacités attendues

1. Déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe.

2. Représenter un nombre complexe par un point.

3. Calculer et interpréter le conjugué, le module et les arguments d'un nombre complexe.

4. Passer d'une forme trigonométrique à la forme algébrique et vice versa.

5. Utiliser les nombres complexes pour la résolution de problèmes de géométrie.
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Les nombres complexes sont notamment utilisés en électronique pour l'étude des filtres, avec de nombreuses applications en traitement de l'image et du son. Les propriétés découlant des opérations des nombres complexes permettent de faciliter les calculs.
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Rappels théoriques

Supplément numérique

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Connaître les valeurs remarquables du cosinus et du sinus et utiliser le cercle trigonométrique :
Mesure d'angle en degrés030456090
Mesure d'angle en radian0\dfrac{\pi}{6}\dfrac{\pi}{4}\dfrac{\pi}{3}\dfrac{\pi}{2}
\bm{\sin}0\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt 2}{2} \dfrac{\sqrt{3}}{2}1
\bm{\cos}1 \dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{\sqrt 2}{2}\dfrac{1}{2}0
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Calculer avec des fractions :

Propriétés :

Soient a, b, c et d des entiers (b et d non nuls).

1. \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

2. \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}

3. Pour additionner deux fractions, on les met d'abord au même dénominateur.

4. Diviser par une fraction \dfrac{a}{b}, c'est multiplier par son inverse \dfrac{b}{a}.
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Résoudre un système de deux équations à deux inconnues :

Définition :

Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues x et y revient à déterminer tous les couples \left(x \: ; y\right) qui vérifient les deux équations en même temps.

On cherche à résoudre le système \left\{\begin{array}{rcl} 2x + 3y & = & 8 \\ 3x -2y & = & -1 \end{array}\right., d'inconnues x et y.

Méthode 1 : Par combinaison linéaire


1. En multipliant chacune des deux équations par un nombre adéquat, on égalise les coefficients de l'une des inconnues dans chaque équation :

\left\{\begin{array}{rcl} \left(2x + 3y\right) \times 3 & = & 8 \times 3 \\ \left(3x -2y\right) \times 2 & = & \left(-1\right) \times 2 \end{array}\right. \rightarrow \left\{\begin{array}{rcl} 6x + 9y & = & 24 \\ 6x -4y & = & -2 \end{array}\right..

2. On soustrait l'une des deux équations à l'autre. Ainsi, on obtient une équation ne comportant plus qu'une seule inconnue :
6x+ 9y - \left(6x - 4y\right) = 24 - \left(-2\right).

3. On résout l'équation ainsi obtenue : 13y = 26 d'où y = 2.

4. On reporte la valeur trouvée dans l'une des deux équations de départ et on résout l'équation ainsi obtenue :
Puisque 2x + 3y = 8 alors 2x = 8 - 3y = 8 - 6 = 2 d'où x = 1.

5. La solution du système est donc le couple \left(1 \: ; 2\right).

Méthode 2 : Par substitution


1. À l'aide de l'une des deux équations, on exprime l'une des deux inconnues en fonction de l'autre : la première équation peut s'écrire x=4-1,5y.

2. On remplace, dans la deuxième équation, cette inconnue par l'expression obtenue à l'étape précédente : 3\left(4-1,5y\right)-2y=-1 c'est‑à‑dire 12-6,5y=-1.

3. On obtient ainsi une équation à une seule inconnue, que l'on résout.
On obtient y=2.
On reporte la valeur obtenue à l'étape précédente dans l'une des deux équations. On obtient alors une nouvelle équation à une inconnue, que l'on résout pour obtenir la valeur de la deuxième inconnue.
En reportant dans la première équation on obtient 2x+6=8 d'où x=1.

5. La solution du système est donc le couple \left(1 \: ; 2\right).
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Développer et réduire une expression algébrique :

Convention :

pour simplifier et réduire une expression littérale, on peut :
  • omettre le signe \times et le facteur 1 devant une lettre ou une parenthèse ;
  • multiplier les lettres identiques entre elles en utilisant la notation de puissance ;
  • ajouter ou soustraire les termes de même nature.

Propriétés :

Soient k, a, b, c et d des nombres quelconques. On a les propriétés suivantes :

1. Distributivité simple : k(a+b) = ka+kb
2. Double distributivité : (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
3. Identité remarquable : (a+b)(a-b) = a^2-b^2
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Exercices

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Prérequis

1. Développer et réduire une expression algébrique.
2. Calculer avec des fractions.
3. Connaître les valeurs remarquables du cosinus et du sinus et utiliser le cercle trigonométrique.
4. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues.
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Exercice 1
Développer et réduire

Soit x un nombre réel. Développer et réduire chacune de ces expressions.

1. \text{A}(x)=4(2 x-7)-3(x+1)

2. \mathrm{B}(x)=(2 x+3)(1-x)

3. \mathrm{C}(x)=(x+1)(2 x+3)-(7-x)(2 x+4)

4. \mathrm{D}(x)=(2 x+3)^{2}

5. \mathrm{E}(x)=3(5-x)^{2}

6. \text{F}(x)=4(2-x)(2+x)
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Exercice 2
Calculer avec des fractions

Déterminer une écriture fractionnaire de chacune de ces expressions, en réduisant les fractions au même dénominateur.

1. \mathrm{A}(x)=\frac{3}{x+1}+\frac{2 x}{5}

2. \text{B}(x)=\frac{3 x-1}{1+2 x}-\frac{2}{x+1}
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Exercice 3
Utiliser le cercle trigonométrique

À l'aide du cercle trigonométrique ci‑dessous, déterminer la mesure principale des angles associés aux points \text{A}, \text{B} et \text{C} et placer le point \text{D} correspondant au réel \frac{-3 \pi}{4}.

cercle trigonométrique
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Exercice 4
Déterminer la mesure principale d'un angle

Déterminer la mesure principale de chacun des angles suivants, exprimés en radian.

1. \frac{17 \pi}{6}

2. \frac{-30 \pi}{4}

3. \frac{5 \pi}{3}
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Exercice 5
Cosinus et sinus des angles remarquables

Déterminer la valeur exacte de chacune de ces expressions.

1. \cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)

2. \sin \left(\frac{-3 \pi}{2}\right)

3. \sin (7 \pi)
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Exercice 6
Résoudre un système d'équations

Résoudre dans \R^2 les systèmes suivants, d'inconnues x et y.

1. \left\{\begin{array}{c} x+2 y=3 \\ 2 x+5 y=4 \end{array}\right.

2. \left\{\begin{array}{c} x-y=9 \\ 2 x-3 y=17 \end{array}\right.
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Exercice 7
Problème

On se place dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \:, \vec{v}). Soit \text{A} tel que \text{OA} = 3 et tel qu'une mesure de l'angle (\vec{u} \:, \overrightarrow{\mathrm{OA}}) soit \frac{\pi}{4}. On pose \mathrm{B}(3 \: ; 0).

cercle trigonométrique
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Quelle est la nature du triangle \text{OAB} ?
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Anecdote

Initialement introduits dans l'intention de résoudre des équations de degré 3, les « nombres imaginaires » ont été cantonnés à un rôle purement algébrique pendant plus de deux siècles. Ce n'est qu'en 1831 que le mathématicien allemand Gauss introduit les « nombres complexes » en lien avec leur représentation dans un plan. Dès lors, les applications qui en ont résulté se sont montrées nombreuses. En trigonométrie, par exemple, où les complexes permettent la linéarisation de polynômes trigonométriques, mais également dans le domaine de la physique. Aujourd'hui, les connaissances mathématiques sur les complexes ont permis de faciliter des découvertes majeures dans de nombreux domaines tels que l'électrocinétique, la mécanique quantique ou encore l'électromagnétisme.
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