Différenciation

Parcours 1 : exercices

56

 ;

59

 ;

67

 ;

70

 ;

78

 ;

81

 ;

87

 ;

94

et

98

Parcours 2 : exercices

60

 ;

71

 ;

82

 ;

86

 ;

88

 ;

95

 ;

99

et

102

Parcours 3 : exercices

62

 ;

66

 ;

73

 ;

83

 ;

91

 ;

101

 ;

103

et

109

On rappelle que, pour tous nombres réels positifs a et b, \sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt{b} et \sqrt{a}^{2}=a.
En exploitant les deux propriétés rappelées ci‑dessus, justifier pourquoi il est inenvisageable d'utiliser la notation \sqrt{-1} pour les nombres complexes.

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

1. z_{1}=2+5 \text{i}+(-7+3 \text{i})

2. z_{2}=3-2 \text{i}+(10-\text{i})

3. z_{3}=12-5 \text{i}-(1-3 \text{i})

4. z_{4}=-6-5 \text{i}-(-3 \text{i}+5)

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

1. z_{1}=3-5 \text{i}-(8-6 \text{i})

2. z_{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \text{i}-\left(-\frac{3}{4}+\frac{\text{i}}{2}\right)

3. z_{3}=1,5-0,5 \text{i}+(2-0,2 \text{i})

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

1. z_{1}=5(1-2 \text{i})

2. z_{2}=(3 \text{i}-7)(3 \text{i}+1)

3. z_{3}=(1-2 \text{i})(5-2 \text{i})

4. z_{4}=(1+2 \text{i})(\text{i}+1)

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

1. z_{1}=(3+\mathrm{i})^{2}

2. z_{2}=(2-4 \text{i})^{2}

3. z_{3}=(7+6 \text{i})(7-6 \text{i})

4. z_{4}=2(-2-3 \text{i})^{2}

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

1. z_{1}=5(1-\text{i})-3(2 \text{i}+1)

2. z_{2}=(3-2 \text{i})(5+3 \text{i})

3. z_{3}=4 \mathrm{i}(3-2 \mathrm{i})^{2}

4. z_{4}=\sqrt{2}(3-3 \text{i})-\text{i}(\sqrt{3} \text{i}+1)

Soient a et b deux réels.
Démontrer que (a+\mathrm{i} b)^{2}=a^{2}-b^{2}+2 \mathrm{i} a b.

Soit z un nombre complexe différent de \text{i}.
On pose \mathrm{A}=\frac{1+z}{z-\mathrm{i}}.

1. En posant z=x+\mathrm{i} y (avec x et y deux réels), montrer que {\mathrm{A}=\frac{x^{2}+y^{2}+x-y+\mathrm{i}(1+x-y)}{x^{2}+(y-1)^{2}}}.

2. Quelle est la partie imaginaire de \text{A} ?

3. Trouver trois nombres complexes z tels que \text{A} soit réel.

Soit z le nombre complexe défini par z=1+\mathrm{i}.

1. Calculer z^2. Que remarque‑t‑on ?

2. En déduire z^3 et z^4.

3. Montrer que z^{4n} est un réel quel que soit l'entier naturel n.

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ?
Justifier.

1. La partie réelle de 3+\mathrm{i}-(2-\mathrm{i}) est 1.

Vrai.

Faux.

2. (1+i)^{2} est un réel.

Vrai.

Faux.

3. \mathrm{i}^{4} est un imaginaire pur.

Vrai.

Faux.

4. Le produit de deux imaginaires purs est un imaginaire pur.

Vrai.

Faux.

Vérifier les résultats suivants, obtenus à l'aide de la calculatrice.

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Résoudre dans \Complex les équations suivantes, d'inconnue z.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

1. (1+\text{i}) z-2+\text{i}=0

2. (4+2 \text{i}) z+5-3 \text{i}=2+\text{i}

3. \mathrm{i}\left(\mathrm{i}{z}+2\right)=3-2 \mathrm{i}

On se place dans le repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) ci‑dessous.


1. Déterminer graphiquement l'affixe de chacun des points.

2. Placer le point \text{G} d'affixe 2-3 \text{i}.

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3. Placer un point \text{H} dont l'affixe est un réel négatif.

4. Placer le point \text{I}, symétrique de \text{F} par rapport à \text{O}, et donner son affixe.

On se place dans le repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) ci‑dessous.


1. Déterminer graphiquement l'affixe des vecteurs \vec{r}, \vec{s}, \vec{\text{AB}} et \vec{\text{CB}}.

2. Tracer un représentant du vecteur d'affixe 1-\mathrm{i}.


3. Tracer le vecteur d'origine \text{B} et d'affixe -2+\mathrm{i}.

4. Calculer l'affixe de \vec{r}+\vec{s}.

On considère trois points \text{A}, \text{B} et \text{C} d'affixe respective a=2 \mathrm{i}, b=3-\mathrm{i} et c=2-3 \text{i}.

1. Représenter \text{A}, \text{B} et \text{C} dans le plan complexe.

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2. Calculer l'affixe des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et 2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}.

3. Soit \text{D} le milieu de [\text{AB}]. Calculer l'affixe de \text{D}, puis le placer.

4. Calculer l'affixe du point \text{E} tel que \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}} puis le placer.

Dans chacun des cas suivants, déterminer si \text{ABCD} est un parallélogramme ou non. On pourra utiliser deux méthodes de résolution.

1. \mathrm{A}(2+\mathrm{i}), \mathrm{B}(3), \mathrm{C}(5-6\mathrm{i}) et \mathrm{D}(4-5\mathrm{i}).

2. \mathrm{A}(4\mathrm{i}), \mathrm{B}(2-2\mathrm{i}), \mathrm{C}(7-2\mathrm{i}) et \mathrm{D}(9+\mathrm{i}).

3. \mathrm{A}(6+\mathrm{i}), \mathrm{B}(4\mathrm{i}), \mathrm{C}(1-5\mathrm{i}) et \mathrm{D}(-5-2\mathrm{i}).

Dans le plan complexe, on considère les points \mathrm{A}(-2+4 \mathrm{i}), \mathrm{B}(-5 \mathrm{i}), \mathrm{C}(4+\mathrm{i}), \mathrm{D}(2+10 \mathrm{i}) et \mathrm{E}(3+\mathrm{i}).

1. Quelle est la nature du quadrilatère \text{ABCD} ? Justifier par un calcul.

2. Montrer que les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{DE}) sont sécantes.

3. Calculer l'affixe du point \text{F} tel que \text{FBDE} soit un parallélogramme.

On se place dans le plan complexe, on considère \mathrm{E}(\mathrm{i}), \mathrm{M}(4-2 \mathrm{i}) et \mathrm{F}(-4-4 \mathrm{i}).


1. Calculer l'affixe du point \text{D} tel que \text{EMDF} soit un parallélogramme.

2. Soit \mathrm{B}(12-8 \mathrm{i}). Les points \text{B}, \text{E} et \text{M} sont‑ils alignés ? Justifier.

3. Déterminer l'affixe d'un point de la droite (\mathrm{EF}) distinct de \text{E} et de \text{F}.

Représenter, dans le plan complexe, l'ensemble des points \text{M} d'affixe z tels que :

1. \operatorname{Re}(z)=4 ;

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2. \operatorname{Im}(z) \leqslant 0 ;

3. \operatorname{Re}(z) \leqslant 2 et \operatorname{Im}(z)=0 ;

4. \operatorname{Re}(z)=\operatorname{Im}(z).

Faustine et Marceau sont en désaccord sur un calcul.

Voici un extrait de la copie de Marceau.

2(1-\text{i})^{2}=4\left(1^{2}-\text{i}^{2}\right)=4(1+1)=8

Faustine, elle, affirme trouver -4\text{i} lorsqu'elle fait le même calcul.

Qui a raison ? Justifier.

Voici ce que Louise a rédigé dans son dernier devoir :

\text{A}(1+2 \text{i}) et \text{B}(3\text{i})
donc \vec{\text{AB}} a pour affixe 3 \text{i}-1+2 \text{i}=-1+5 \text{i}.
De même, \text{C}(4\text{i}) et \text{D}(-1 + 9\text{i})
donc \vec{\text{CD}} a pour affixe -1+9\text{i}-4\text{i}=-1+5 \text{i}.
\vec{\text{AB}} et \vec{\text{CD}} ont la même affixe et sont donc égaux : le quadrilatère \text{ABCD} est donc un parallélogramme.

Cependant, en représentant les quatre points dans un repère pour vérifier sa réponse, elle se rend compte qu'elle a eu tort. Où sont les erreurs ?

Voici la conclusion à laquelle Victor est arrivé à la fin d'un exercice de mathématiques sur les nombres complexes.

En conclusion, 1 + \text{i} est à la fois la somme de z_1 et z_2, le produit de z_1 et z_3 et le quotient de z_1 par z_4.

Proposer des valeurs possibles de z_1, z_2, z_3 et z_4 ayant pu aboutir à une telle conclusion.

1. Donner les affixes de quatre points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} tels que \text{ABCD} soit un rectangle de largeur 2 et de longueur 3.

2. Donner les affixes de trois points \text{A}, \text{B} et \text{C} tels que \text{ABC} soit un triangle rectangle en \text{B}.