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p. 1-9

Partie 1 : Analyse

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Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Partie 2 : Statistiques et probabilités

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Automatismes

Partie 3 : Géométrie

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Partie 4 : Analyse

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Révisions Genially

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Chapitre 9

Entraînement 1

Le plan complexe

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Différenciation

Parcours 1 : exercices
56
;
59
;
67
;
70
;
78
;
81
;
87
;
94
et
98

Parcours 2 : exercices
60
;
71
;
82
;
86
;
88
;
95
;
99
et
102

Parcours 3 : exercices
62
;
66
;
73
;
83
;
91
;
101
;
103
et
109

Ressource affichée de l'autre côté.
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Exercice 55

On rappelle que, pour tous nombres réels positifs

a

b

a \times b = a \times b

a^{2} = a

.
En exploitant les deux propriétés rappelées ci‑dessus, justifier pourquoi il est inenvisageable d'utiliser la notation

- 1

pour les nombres complexes.

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Exercice 56
[Calculer.]

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

1.

z_{1} = 2 + 5 i + (- 7 + 3 i)

z_{2} = 3 - 2 i + (10 - i)

z_{3} = 12 - 5 i - (1 - 3 i)

z_{4} = - 6 - 5 i - (- 3 i + 5)

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Exercice 57

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

1.

z_{1} = 3 - 5 i - (8 - 6 i)

z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i - (- \frac{3}{4} + \frac{i}{2})

z_{3} = 1, 5 - 0, 5 i + (2 - 0, 2 i)

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Exercice 58

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

1.

z_{1} = 5 (1 - 2 i)

z_{2} = (3 i - 7) (3 i + 1)

z_{3} = (1 - 2 i) (5 - 2 i)

z_{4} = (1 + 2 i) (i + 1)

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Exercice 59
[Calculer.]

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

1.

z_{1} = (3 + i)^{2}

z_{2} = (2 - 4 i)^{2}

z_{3} = (7 + 6 i) (7 - 6 i)

z_{4} = 2 (- 2 - 3 i)^{2}

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Exercice 60
[Calculer.]

Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

1.

z_{1} = 5 (1 - i) - 3 (2 i + 1)

z_{2} = (3 - 2 i) (5 + 3 i)

z_{3} = 4 i (3 - 2 i)^{2}

z_{4} = 2 (3 - 3 i) - i (3 i + 1)

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Exercice 61

Soient

a

b

deux réels.
Démontrer que

(a + i b)^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 i ab

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Exercice 63

Soit

z

le nombre complexe défini par

z = 1 + i

.

1. Calculer

z^{2}

. Que remarque‑t‑on ?

2. En déduire

z^{3}

z^{4}

3. Montrer que

z^{4 n}

est un réel quel que soit l'entier naturel

n

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Exercice 62

Soit

z

un nombre complexe différent de

i

.
On pose

A = \frac{1 + z}{z - i}

.

1. En posant

z = x + i y

(avec

x

y

deux réels), montrer que

A = \frac{x ^{2} + y ^{2} + x - y + i ( 1 + x - y )}{x ^{2} + ( y - 1 ) ^{2}}

Après avoir remplacé

z

par

z = x + i y

, on pourra multiplier la fraction par

x - i (y - 1)

au numérateur et au dénominateur.

2. Quelle est la partie imaginaire de

A

3. Trouver trois nombres complexes

z

tels que

A

soit réel.

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Exercice 64

Vrai / Faux
[Calculer.]

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ou fausses ?
Justifier.

1. La partie réelle de

3 + i - (2 - i)

est

1

Vrai.

Faux.

(1 + i)^{2}

est un réel.

Vrai.

Faux.

i^{4}

est un imaginaire pur.

Vrai.

Faux.

4. Le produit de deux imaginaires purs est un imaginaire pur.

Vrai.

Faux.

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Exercice 65

[Calculer.]

Vérifier les résultats suivants, obtenus à l'aide de la calculatrice.

Capture d'écran : calculs mathématiques complexes avec nombres imaginaires sur calculatrice.

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Exercice 66

Résoudre dans

C

les équations suivantes, d'inconnue

z

.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

1.

(1 + i) z - 2 + i = 0

(4 + 2 i) z + 5 - 3 i = 2 + i

i (i z + 2) = 3 - 2 i

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Exercice 67
[Représenter.]

On se place dans le repère orthonormé direct

(O; u, v)

ci‑dessous.

1. Déterminer graphiquement l'affixe de chacun des points.

2. Placer le point

G

d'affixe

2 - 3 i

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

3. Placer un point

H

dont l'affixe est un réel négatif.

4. Placer le point

I

, symétrique de

F

par rapport à

O

, et donner son affixe.

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Exercice 68
[Représenter.]

On se place dans le repère orthonormé direct

(O; u, v)

ci‑dessous.

1. Déterminer graphiquement l'affixe des vecteurs

r

s

AB

CB

2. Tracer un représentant du vecteur d'affixe

1 - i

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

3. Tracer le vecteur d'origine

B

et d'affixe

- 2 + i

4. Calculer l'affixe de

r + s

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Exercice 69

On considère trois points

A

B

C

d'affixe respective

a = 2 i

b = 3 - i

c = 2 - 3 i

.

1. Représenter

A

B

C

dans le plan complexe.

GeoGebra

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2. Calculer l'affixe des vecteurs

AB

2 AC - BA

3. Soit

D

le milieu de

[AB]

. Calculer l'affixe de

D

, puis le placer.

4. Calculer l'affixe du point

E

tel que

BE = BC - AD

puis le placer.

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Exercice 70
[Calculer.]

Dans chacun des cas suivants, déterminer si

ABCD

est un parallélogramme ou non. On pourra utiliser deux méthodes de résolution.

1.

A (2 + i)

B (3)

C (5 - 6 i)

D (4 - 5 i)

A (4 i)

B (2 - 2 i)

C (7 - 2 i)

D (9 + i)

A (6 + i)

B (4 i)

C (1 - 5 i)

D (- 5 - 2 i)

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Exercice 71
[Raisonner.]

Dans le plan complexe, on considère les points

A (- 2 + 4 i)

B (- 5 i)

C (4 + i)

D (2 + 10 i)

E (3 + i)

.

1. Quelle est la nature du quadrilatère

ABCD

? Justifier par un calcul.

2. Montrer que les droites

(AB)

(DE)

sont sécantes.

3. Calculer l'affixe du point

F

tel que

FBDE

soit un parallélogramme.

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Exercice 72

On se place dans le plan complexe, on considère

E (i)

M (4 - 2 i)

F (- 4 - 4 i)

1. Calculer l'affixe du point

D

tel que

EMDF

soit un parallélogramme.

2. Soit

B (12 - 8 i)

. Les points

B

E

M

sont‑ils alignés ? Justifier.

3. Déterminer l'affixe d'un point de la droite

(EF)

distinct de

E

et de

F

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Exercice 73

Représenter, dans le plan complexe, l'ensemble des points

M

d'affixe

z

tels que :

1.

Re (z) = 4

;

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

Im (z) ⩽ 0

;

Re (z) ⩽ 2

Im (z) = 0

;

Re (z) = Im (z)

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Exercice 74

Faustine et Marceau sont en désaccord sur un calcul.

Voici un extrait de la copie de Marceau.

2 (1 - i)^{2} = 4 (1^{2} - i^{2}) = 4 (1 + 1) = 8

Faustine, elle, affirme trouver

- 4 i

lorsqu'elle fait le même calcul.

Qui a raison ? Justifier.

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Exercice 75

Voici ce que Louise a rédigé dans son dernier devoir :

A (1 + 2 i)

B (3 i)

donc

AB

a pour affixe

3 i - 1 + 2 i = - 1 + 5 i

.
De même,

C (4 i)

D (- 1 + 9 i)

donc

CD

a pour affixe

- 1 + 9 i - 4 i = - 1 + 5 i

AB

CD

ont la même affixe et sont donc égaux : le quadrilatère

ABCD

est donc un parallélogramme.

Cependant, en représentant les quatre points dans un repère pour vérifier sa réponse, elle se rend compte qu'elle a eu tort. Où sont les erreurs ?

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Exercice 76

Exercice inversé

Voici la conclusion à laquelle Victor est arrivé à la fin d'un exercice de mathématiques sur les nombres complexes.

En conclusion,

1 + i

est à la fois la somme de

z_{1}

z_{2}

, le produit de

z_{1}

z_{3}

et le quotient de

z_{1}

par

z_{4}

Proposer des valeurs possibles de

z_{1}

z_{2}

z_{3}

z_{4}

ayant pu aboutir à une telle conclusion.

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Exercice 77

Exercice inversé

1. Donner les affixes de quatre points

A

B

C

D

tels que

ABCD

soit un rectangle de largeur

2

et de longueur

3

2. Donner les affixes de trois points

A

B

C

tels que

ABC

soit un triangle rectangle en

B

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Ch. 7Produit scalaire

Ch. 8Nombres complexes

Ch. 9Compléments sur la dérivation

Ch. 10Primitives

Révisions Genially

Le plan complexe

Parcours 1 : exercices 56 ; 59 ; 67 ; 70 ; 78 ; 81 ; 87 ; 94 et 98

Parcours 2 : exercices 60 ; 71 ; 82 ; 86 ; 88 ; 95 ; 99 et 102

Parcours 3 : exercices 62 ; 66 ; 73 ; 83 ; 91 ; 101 ; 103 et 109

Exercice 55

Exercice 56[Calculer.]

Exercice 57

Exercice 58

Exercice 59[Calculer.]

Exercice 60[Calculer.]

Exercice 61

Exercice 63

Exercice 62

Exercice 64 Vrai / Faux[Calculer.]

Exercice 65 [Calculer.]

Exercice 66

Exercice 67 [Représenter.]

GeoGebra

Exercice 68 [Représenter.]

GeoGebra

Exercice 69

GeoGebra

Exercice 70[Calculer.]

Exercice 71[Raisonner.]

Exercice 72

Exercice 73

GeoGebra

Exercice 74

Exercice 75

Exercice 76 Exercice inversé

Exercice 77 Exercice inversé

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Produit scalaire

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;
71
;
82
;
86
;
88
;
95
;
99
et
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Parcours 3 : exercices
62
;
66
;
73
;
83
;
91
;
101
;
103
et
109

Exercice 56
[Calculer.]

Exercice 59
[Calculer.]

Exercice 60
[Calculer.]

Exercice 64

Vrai / Faux
[Calculer.]

Exercice 65

[Calculer.]

Exercice 67
[Représenter.]

Exercice 68
[Représenter.]

Exercice 70
[Calculer.]

Exercice 71
[Raisonner.]

Exercice 76

Exercice inversé

Exercice 77

Exercice inversé