Nombres complexes

Introduire la notion de nombre complexe.

Le mathématicien Cardan a établi qu'une équation de la forme $x^3-px-q=0$ où $p$ et $q$ désignent deux nombres réels, admet une solution de la forme :



On considère l'équation $(\mathrm{E}):x^3-15x-4=0$.

1. a. Montrer que la formule de Cardan appliquée à cette équation donnerait pour solution $x_0=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$.

b. Expliquer pourquoi cette solution ne semble pas avoir de sens.

2. En dépit de cette absurdité apparente, Cardan, puis Bombelli, ont décidé d'utiliser des nombres imaginaires dont le carré est négatif.
On introduit alors un nombre $\text{i}$ tel que ${\text{i}}^2=-1$.
Justifier que $-121=(11\text{i}{)}^2$, puis écrire la solution $x_0$ obtenue par la formule de Cardan en fonction de $\text{i}$.

3. En supposant que les règles de calcul sont les mêmes que celles valables dans l'ensemble des nombres réels, vérifier que $(2+\text{i}{)}^3=2+11\text{i}$ et que $(2-\text{i}{)}^3=2-11\text{i}$.
Ces nombres sont appelés des nombres complexes.

4. En déduire une solution réelle de $(\mathrm{E})$.

Qu'est‑ce qu'un nombre complexe ?
Quelles règles de calcul semble‑t‑on pouvoir utiliser avec ces nombres ?

Introduire le conjugué d'un nombre complexe.

On considère trois points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ dans un plan muni d'un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.



1. Déterminer graphiquement les affixes $a$, $b$ et $c$ des points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$.

2. a. Placer le point $\text{D}$, symétrique de $\text{B}$ par rapport à l'axe des réels. Déterminer graphiquement l'affixe $d$ de $\text{D}$.

b. Que peut‑on dire des parties réelles et imaginaires des affixes de $\text{B}$ et de $\text{D}$ ?

On dit que $d$ est le conjugué de $b$ et on note $d=\bar{b}$.

3. Placer dans le même repère les points $\text{E}$ et $\text{F}$ d'affixe respective $e=\bar{a}$ et $f=-\bar{c}$. Que remarque‑t‑on ?

Si $\mathbf{z}=\mathbf{x}+\text{i}\mathbf{y}$ est écrit sous forme algébrique, comment peut‑on définir son conjugué $\bar{\mathbf{z}}$ ?
Géométriquement, que peut‑on dire de deux points dont les affixes sont des complexes conjugués ?

Introduire la notion de module et d'arguments d'un nombre complexe.

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On construira une figure qu'on complétera au fur et à mesure.

1. On appelle module d'un nombre complexe $z$, et on note $|z|$, la distance entre son point image $\text{M}$ et l'origine du repère. On a donc $|z|=\text{OM}$.
a. Placer dans le plan complexe les points $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ d'affixe respective $z_{\text{A}}=2+\text{i}$, $z_{\mathrm{B}}=-1-\mathrm{i}$ et $z_{\text{C}}=1-2\text{i}$.

b. Calculer le module des nombres complexes $z_{\mathrm{A}}$, $z_{\mathrm{B}}$ et $z_{\mathrm{C}}$.

c. Soit $z$ un nombre complexe dont la forme algébrique s'écrit $z=a+\mathrm{i}b$. Déterminer $|z|$ en fonction de $a$ et de $b$.

2. a. Soit $z$ un nombre complexe vérifiant $|z|=3$. Placer différents points dans le plan pouvant correspondre à ce nombre complexe.

b. On appelle argument d'un nombre complexe non nul $z$ associé au point $\text{M}$ une valeur $\theta$ telle que, à un multiple de $2\pi$ près, $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\mathrm{OM}})=\theta$. Déterminer un argument du nombre complexe $z$ dans chacun des cas suivants :

• $z$ est un réel strictement négatif ;
  
• $z$ est un réel strictement positif ;
  
• $z$ est un imaginaire pur avec $\mathrm{Im}(z)>0$ ;
  
• $z$ est un imaginaire pur avec $\mathrm{Im}(z)<0$.
  

Dans le plan complexe, comment repérer un nombre complexe à l'aide de son module et de l'un de ses arguments ?

Introduire la notion de forme trigonométrique d'un nombre complexe et la relier aux coordonnées polaires d'un point.

On considère la figure ci‑dessous, modélisant l'affichage d'un radar. L'unité est le kilomètre. Le plus petit cercle est de rayon 1 km, le 2^e de rayon 2 km, etc.
Les points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ représentent des avions. On sait que $\widehat{\mathrm{AOB}}=\frac{\pi }{3}$, que $\widehat{\mathrm{AOC}}=\frac{5\pi }{6}$ et que $\text{C}$, $\text{O}$ et $\text{D}$ sont alignés.


1. a. Justifier que l'abscisse et l'ordonnée de $\text{B}$ valent respectivement $x_{\mathrm{B}}=5\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)\text{ et }{y}_{\mathrm{B}}=5\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$.

Aide

On pourra placer le point $\text{H}$, projeté orthogonal de $\text{B}$ sur l'axe des abscisses, et travailler dans le triangle rectangle $\text{BOH}$.

b. On note $b=5\left(\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\right)$ l'affixe du point $\text{B}$. En utilisant les valeurs trigonométriques remarquables, déterminer la forme algébrique de $b$.

L'écriture $5\left(\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+\text{i}\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)\right)$ est appelée forme trigonométrique de $b$. Le nombre 5 correspond à la distance entre le point $\text{B}$ et l'origine du repère, et le nombre $\frac{\pi }{3}$ correspond à une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{\mathrm{OB}})$. Le couple $\left(5;\frac{\pi }{3}\right)$ est appelé coordonnées polaires de $\text{B}$.

2. a. Déterminer une forme trigonométrique des affixes des points $\text{A}$, $\text{C}$ et $\text{D}$.

b. Placer précisément les points $\text{F}$ et $\text{G}$ d'affixe respective :

$f=3\left(\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)\right)$ et $g=2\left(\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\right)$.

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Pour un point $\text{M}$ d'affixe $\mathbf{z}=\mathbf{r}(\cos (\mathbf{\theta })+\mathbf{i}\sin (\mathbf{\theta }))$, avec $\mathbf{r}>0$ et $\mathbf{\theta }\in \mathbb{R}$, que représentent $r$ et $\theta$ ?