Chapitre 9
Exercices
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Calculer la forme algébrique
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Exercice 25
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
1. z_{1}=1-2 \text{i}+7-3 \text{i}
2. z_{2}=2-5 \text{i}^{2}+3 \text{i}-\sqrt{2}
3. z_{3}=3 \text{i}-1-(5-10 \text{i})
4. z_{4}=\frac{3}{2}-\frac{5}{2} \text{i}-\left(\frac{5}{2}-\frac{7}{2} \text{i}\right)
1. z_{1}=1-2 \text{i}+7-3 \text{i}
2. z_{2}=2-5 \text{i}^{2}+3 \text{i}-\sqrt{2}
3. z_{3}=3 \text{i}-1-(5-10 \text{i})
4. z_{4}=\frac{3}{2}-\frac{5}{2} \text{i}-\left(\frac{5}{2}-\frac{7}{2} \text{i}\right)
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Exercice 26
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
1. z_{1}=(1+\mathrm{i})(3 \mathrm{i}-2)
2. z_{2}=3(2+5 \text{i})-2 \text{i}(5+\text{i})
3. z_{3}=\sqrt{2}(3 \text{i}-1)
4. z_{4}=2\left(\frac{3}{4}-\frac{\mathrm{i}}{4}\right)+2 \mathrm{i}\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}\right)
1. z_{1}=(1+\mathrm{i})(3 \mathrm{i}-2)
2. z_{2}=3(2+5 \text{i})-2 \text{i}(5+\text{i})
3. z_{3}=\sqrt{2}(3 \text{i}-1)
4. z_{4}=2\left(\frac{3}{4}-\frac{\mathrm{i}}{4}\right)+2 \mathrm{i}\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}\right)
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Exercice 27
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
1. z_{1}=(2+\mathrm{i})^{2}
2. z_{2}=(3-2 \text{i})^{2}
3. z_{3}=(4+2 \text{i})(4-2 \text{i})
4. z_{4}=3 \mathrm{i}(-2 \mathrm{i}-3)^{2}
1. z_{1}=(2+\mathrm{i})^{2}
2. z_{2}=(3-2 \text{i})^{2}
3. z_{3}=(4+2 \text{i})(4-2 \text{i})
4. z_{4}=3 \mathrm{i}(-2 \mathrm{i}-3)^{2}
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Exercice 28
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
1. z_{1}=\frac{1}{3+2 \text{i}}
2. z_{2}=\frac{-2 \text{i}}{1+\text{i}}
3. z_{3}=\frac{5+2 \text{i}}{2 \text{i}-1}
1. z_{1}=\frac{1}{3+2 \text{i}}
2. z_{2}=\frac{-2 \text{i}}{1+\text{i}}
3. z_{3}=\frac{5+2 \text{i}}{2 \text{i}-1}
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Exercice 29
Résoudre dans \Complex l'équation z-2+\text{i}=3-5 \text{i}. On donnera les éventuelles solutions sous forme algébrique.
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Exercice 30
Résoudre dans \Complex l'équation 3 z-2+\text{i}=2 z-1+3 \text{i}, en écrivant la solution sous forme algébrique.
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Exercice 31
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants.
1. z_{1}=2-9 \text{i}
2. z_{2}=-10 \mathrm{i}
3. z_{3}=2 \text{i}-1
4. z_{4}=(3-\mathrm{i}) \mathrm{i}
1. z_{1}=2-9 \text{i}
2. z_{2}=-10 \mathrm{i}
3. z_{3}=2 \text{i}-1
4. z_{4}=(3-\mathrm{i}) \mathrm{i}
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Représenter dans le plan complexe
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ConsignePour les exercice 32 à 38
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).
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Exercice 32
Représenter dans le plan complexe les points \mathrm{M}(2-3 \mathrm{i}), \mathrm{A}(3 \mathrm{i}-1), \mathrm{T}(\mathrm{i}) et \mathrm{N}\left(\frac{3}{2}-2 \mathrm{i}\right).
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Exercice 33
On considère les trois vecteurs \vec{r}(3-2 \text{i}), \vec{s}(1+4 \text{i}) et \vec{t}(2-\mathrm{i}).
Calculer l'affixe de 2 \vec{r}+\vec{s} et \vec{s}-3 \vec{t}.
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Exercice 34
Soient \mathrm{A}(2+4 \mathrm{i}), \mathrm{B}(\mathrm{i}+1) et \mathrm{C}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}\right).
Calculer l'affixe de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
Calculer l'affixe de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
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Exercice 35
Dans chacun des cas suivants, calculer l'affixe du milieu de [\mathrm{AB}].
1. \text{A}(3-\text{i}) et \mathrm{B}(2+2 \mathrm{i}).
2. \mathrm{A}(2 \mathrm{i}) et \mathrm{B}(1+\mathrm{i}).
3. \mathrm{A}\left(\frac{3}{2}-\text{i}\right) et \mathrm{B}(\mathrm{i}-2).
1. \text{A}(3-\text{i}) et \mathrm{B}(2+2 \mathrm{i}).
2. \mathrm{A}(2 \mathrm{i}) et \mathrm{B}(1+\mathrm{i}).
3. \mathrm{A}\left(\frac{3}{2}-\text{i}\right) et \mathrm{B}(\mathrm{i}-2).
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Exercice 36
Soient \mathrm{A}(1+\mathrm{i}) et \mathrm{B}(2-6 \mathrm{i}).
1. Déterminer l'affixe du point \text{C}, symétrique de \text{B} par rapport à \text{A}.
2. Vérifier ce résultat à l'aide d'une figure.
1. Déterminer l'affixe du point \text{C}, symétrique de \text{B} par rapport à \text{A}.
2. Vérifier ce résultat à l'aide d'une figure.
GeoGebra
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Exercice 37
Déterminer l'affixe des points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} placés dans le repère ci‑dessous.
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Exercice 38
Déterminer l'affixe des vecteurs \vec{r}, \vec{s}, \vec{t} et \vec{w} représentés dans le repère ci‑dessous.
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Calculer et utiliser le conjugué
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Exercice 39
Déterminer le conjugué dans chacun de ces cas.
1. z_{1}=1-5 \text{i}
2. z_{2}=2 \text{i}-3
3. z_{3}=\frac{7-\mathrm{i}}{5}
1. z_{1}=1-5 \text{i}
2. z_{2}=2 \text{i}-3
3. z_{3}=\frac{7-\mathrm{i}}{5}
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Exercice 40
Déterminer la forme algébrique du conjugué dans chacun de ces cas.
1. z_{1}=(2+\mathrm{i})^{2}
2. z_{2}=\frac{1-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}
3. z_{3}=5 \mathrm{i}(7 \mathrm{i}-3)
1. z_{1}=(2+\mathrm{i})^{2}
2. z_{2}=\frac{1-\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}
3. z_{3}=5 \mathrm{i}(7 \mathrm{i}-3)
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Exercice 41
L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Pour tout z \in \mathbb{C}, \overline{2+\mathrm{i} z}=2-\mathrm{i} z. »
« Pour tout z \in \mathbb{C}, \overline{2+\mathrm{i} z}=2-\mathrm{i} z. »
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Exercice 42
Résoudre dans \Complex l'équation 2 \mathrm{i} \overline{\mathrm{z}}-3+\mathrm{i}=0.
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Exercice 43
On considère quatre points \mathrm{A}\left(z_{\mathrm{A}}\right), \mathrm{B}\left(z_{\mathrm{B}}\right), \mathrm{C}\left(z_{\mathrm{C}}\right) et \mathrm{D}\left(z_{\mathrm{D}}\right).
Déterminer le conjugué de z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}} et z_{\text{D}}.
Déterminer le conjugué de z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}} et z_{\text{D}}.
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Calculer un module et un argument
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Exercice 44
Calculer le module dans chacun de ces cas.
1. z_{1}=\text{i} \sqrt{3}
2. z_{2}=-1+\text{i}
3. z_{3}=\sqrt{3}-\mathrm{i}
1. z_{1}=\text{i} \sqrt{3}
2. z_{2}=-1+\text{i}
3. z_{3}=\sqrt{3}-\mathrm{i}
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Exercice 46
Dans cet exercice, nous allons déterminer un argument de nombres complexes particuliers. On choisira de travailler avec des mesures comprises dans ]-\pi \: ; \pi].
On a représenté ci‑dessous le plan complexe.
1. Placer différents points correspondant à des réels strictement négatifs. Que peut‑on dire de leur argument ?
2. Placer différents points correspondant à des réels strictement positifs. Que peut‑on dire de leur argument ?
3. Établir des résultats similaires dans le cadre de nombres complexes imaginaires purs non nuls.
On a représenté ci‑dessous le plan complexe.
1. Placer différents points correspondant à des réels strictement négatifs. Que peut‑on dire de leur argument ?
2. Placer différents points correspondant à des réels strictement positifs. Que peut‑on dire de leur argument ?
3. Établir des résultats similaires dans le cadre de nombres complexes imaginaires purs non nuls.
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Exercice 45
Dans chacun des cas, déterminer le module du nombre complexe donné.
1. z_{1}=(2-4 \text{i})(3-\text{i})
2. z_{2}=(-4 \text{i}+3)^{4}
3. z_{3}=\frac{-2-3 \text{i}}{1-5 \text{i}}
4. z_{4}=\frac{(2+\text{i})^{3}}{8+6 \text{i}}
5. z_{5}=(3+4 \text{i})-(1-2 \text{i})
1. z_{1}=(2-4 \text{i})(3-\text{i})
2. z_{2}=(-4 \text{i}+3)^{4}
3. z_{3}=\frac{-2-3 \text{i}}{1-5 \text{i}}
4. z_{4}=\frac{(2+\text{i})^{3}}{8+6 \text{i}}
5. z_{5}=(3+4 \text{i})-(1-2 \text{i})
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Exercice 47
Déterminer un argument dans chacun de ces cas.
1. z_{1}=\frac{3}{2} \text{i}
2. z_{2}=\frac{1+\text{i} \sqrt{3}}{4}
3. z_{3}=4 \sqrt{3}-4 \text{i}
1. z_{1}=\frac{3}{2} \text{i}
2. z_{2}=\frac{1+\text{i} \sqrt{3}}{4}
3. z_{3}=4 \sqrt{3}-4 \text{i}
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Exercice 48
On considère les points \text{A}, \text{B} et \text{C} suivants.
Déterminer le module de z_{\text{A}}, z_{\text{B}} et z_{\text{C}}.
Déterminer le module de z_{\text{A}}, z_{\text{B}} et z_{\text{C}}.
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Exercice 49
Soit z le nombre complexe défini par z=(2+\mathrm{i})^{3}.
1. Calculer |2+\mathrm{i}|.
2. En déduire |z|.
3. Que peut‑on dire de |\bar{z}| ?
1. Calculer |2+\mathrm{i}|.
2. En déduire |z|.
3. Que peut‑on dire de |\bar{z}| ?
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Exercice 50
Déterminer un nombre complexe z qui n'est ni imaginaire pur, ni réel, et tel que |z|=2.
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Exercice 51
Déterminer un nombre complexe z tel que, à un multiple de 2\pi près, \arg (z)=-\frac{2 \pi}{3}.
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Déterminer une forme trigonométrique
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Exercice 52
Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe dans chacun de ces cas.
1. z_{1}=-3 \text{i}
2. z_{2}=5+5 \text{i}
3. z_{3}=\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{2}
1. z_{1}=-3 \text{i}
2. z_{2}=5+5 \text{i}
3. z_{3}=\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{2}
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Exercice 53
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe donné dans chacun de ces cas.
1. z_{1}=5\left(\cos \left(\frac{-5 \pi}{6}\right)+\text{i} \sin \left(\frac{-5 \pi}{6}\right)\right)
2. z_{2}=2\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)
3. z_{3}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{16 \pi}{12}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{16 \pi}{12}\right)\right)
1. z_{1}=5\left(\cos \left(\frac{-5 \pi}{6}\right)+\text{i} \sin \left(\frac{-5 \pi}{6}\right)\right)
2. z_{2}=2\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)
3. z_{3}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{16 \pi}{12}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{16 \pi}{12}\right)\right)
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Exercice 54
Déterminer une forme trigonométrique de l'affixe
des points \text{A}, \text{B} et \text{D}.
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