Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Exercices

Python

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Exercice 19
Opération élémentaire 1 : L'addition

Dans le programme suivant, on modélise un nombre complexe par une liste \color{purple}\bf{\bm{[}a,b\bm{]}} contenant deux éléments correspondant respectivement à la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe. Le programme ci‑dessous permet de calculer la somme de deux nombres complexes \color{purple}\bf{z1} et \color{purple}\bf{z2}.
def somme(z1, z2):
  return [z1[0] + z2[0], z1[1] + z2[1]]

1. Tester le programme avec \color{purple}\bm{z1=[2,5]} et \color{purple}\bm{z2=[-3,4]}.

2. En reprenant une structure similaire à la fonction \color{purple}\bf{somme}, écrire une fonction \color{purple}\bf{différence} prenant en arguments deux listes \color{purple}\bf{z1} et \color{purple}\bf{z2} représentant les nombres complexes z_1 et z_2 et retournant leur différence z_{1}-z_{2} écrite sous forme de liste.

  

3. De la même manière, proposer une fonction \color{purple}\bf{conjugué} prenant pour argument une liste \color{purple}\bf{z} représentant un nombre complexe z et retournant le nombre complexe \bar{z} sous la forme d'une liste.

  
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Exercice 20
Opération élémentaire 2 : Le produit

1. Soient z_1 et z_2 deux nombres complexes définis par z_{1}=a+\mathrm{i} b et z_{2}=c+\mathrm{i} d.
Déterminer la forme algébrique de z_{1} \times z_{2}.

2. En reprenant la structure de la fonction \color{purple}\bf{somme} de l'exercice précédent, écrire une fonction \color{purple}\bf{produit} prenant en arguments deux listes \color{purple}\bf{z1} et \color{purple}\bf{z2} représentant les nombres complexes z_1 et z_2 et retournant leur produit écrit sous la forme d'une liste.

    

3. Tester le programme.
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Exercice 21
Opération élémentaire 3 : L'inverse

Comme dans les exercices précédents, on modélise un nombre complexe par une liste.

1. Compléter le programme suivant pour que la fonction \color{purple}\bf{module} permette de calculer le module du nombre complexe représenté par la liste \color{purple}\bf{z}.
def module(z):
	return ...


2. a. Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique z=a+\mathrm{i} b.
Déterminer la forme algébrique de \frac{1}{z} en fonction de a et de b.

b. Écrire un programme, en Python, prenant pour argument un nombre complexe z écrit sous une forme de liste \color{purple}\bf{z} et retournant la forme algébrique de \frac{1}{z}.
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Exercice 22
1. En prenant appui sur le programme \color{purple}\bf{produit} de l'exercice 20, écrire une fonction \color{purple}\bf{puissance} qui prend en arguments :
  • une liste modélisant un nombre complexe z ;
  • un nombre entier naturel n ;

et qui renvoie une liste représentant la forme algébrique du nombre complexe z^n.

  

2. Tester le programme pour (1+\mathrm{i})^{8}, (1+\mathrm{i})^{16} et (1+\mathrm{i})^{24}. Que remarque‑t‑on ?
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Exercice 23
La fonction suivante prend en argument un nombre complexe z_1 écrit sous la forme d'une liste.
Quelle condition doit vérifier z_1 pour que cette fonction renvoie \color{purple}\bf{True} ?
def mystere(z1):
	a = z1[0]
	if a == 0:
		return True
	else:
		return False

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Consigne
Pour l'exercice 24

On utilisera les commandes Python pour définir les nombres complexes. Ainsi, la commande \color{purple}\bf{complex(3,2)} permet de définir le nombre complexe 3 + 2\text{i} que Python note 3 + 2\text{j}.
Si z est un nombre complexe sous Python, la commande \color{purple}\bf{z.real} permet de déterminer la partie réelle de ce nombre et \color{purple}\bf{z.imag} permet de déterminer sa partie imaginaire.
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Exercice 24
Léa a voulu écrire un programme \color{purple}\bf{test\text{\textunderscore}conju} dans l'intention de déterminer si deux nombres complexes z_1 et z_2 sont conjugués l'un de l'autre. Le voici.
def test_conju(z1, z2):
	if z1.imag == -z2.imag:
  	return True
  else:
  	return False


1. Tester ce programme pour z_{1}=3-2 \text{i} et z_{2}=2+2 \text{i}. Que dire de ce programme ?

2. Corriger le programme afin qu'il fonctionne correctement.
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