Python

Dans le programme suivant, on modélise un nombre complexe par une liste $[\mathbf{a},\mathbf{b}]$ contenant deux éléments correspondant respectivement à la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe. Le programme ci‑dessous permet de calculer la somme de deux nombres complexes $z1$ et $z2$.

def somme(z1, z2):
  return [z1[0] + z2[0], z1[1] + z2[1]]

1. Tester le programme avec $\mathbf{z}1=[2,5]$ et $\mathbf{z}2=[-3,4]$.

2. En reprenant une structure similaire à la fonction $\mathbf{somme}$, écrire une fonction $\mathbf{diff}\acute{\mathbf{e}}\mathbf{rence}$ prenant en arguments deux listes $z1$ et $z2$ représentant les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ et retournant leur différence $z_1-z_2$ écrite sous forme de liste.

3. De la même manière, proposer une fonction $\mathbf{conjugu}\acute{\mathbf{e}}$ prenant pour argument une liste $\mathbf{z}$ représentant un nombre complexe $z$ et retournant le nombre complexe $\bar{z}$ sous la forme d'une liste.

1. Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes définis par $z_1=a+\mathrm{i}b$ et $z_2=c+\mathrm{i}d$.
Déterminer la forme algébrique de $z_1\times z_2$.

2. En reprenant la structure de la fonction $\mathbf{somme}$ de l'exercice précédent, écrire une fonction $\mathbf{produit}$ prenant en arguments deux listes $z1$ et $z2$ représentant les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ et retournant leur produit écrit sous la forme d'une liste.

3. Tester le programme.

Comme dans les exercices précédents, on modélise un nombre complexe par une liste.

1. Compléter le programme suivant pour que la fonction $\mathbf{module}$ permette de calculer le module du nombre complexe représenté par la liste $\mathbf{z}$.

def module(z):
	return ...

2. a. Soit $z$ un nombre complexe non nul de forme algébrique $z=a+\mathrm{i}b$.
Déterminer la forme algébrique de $\frac{1}{z}$ en fonction de $a$ et de $b$.

b. Écrire un programme, en Python, prenant pour argument un nombre complexe $z$ écrit sous une forme de liste $\mathbf{z}$ et retournant la forme algébrique de $\frac{1}{z}$.

1. En prenant appui sur le programme $\mathbf{produit}$ de l'exercice 20, écrire une fonction $\mathbf{puissance}$ qui prend en arguments :

• une liste modélisant un nombre complexe $z$ ;
• un nombre entier naturel $n$ ;

et qui renvoie une liste représentant la forme algébrique du nombre complexe $z^n$.

2. Tester le programme pour $(1+\mathrm{i}{)}^8$, $(1+\mathrm{i}{)}^{16}$ et $(1+\mathrm{i}{)}^{24}$. Que remarque‑t‑on ?

La fonction suivante prend en argument un nombre complexe $z_1$ écrit sous la forme d'une liste.
Quelle condition doit vérifier $z_1$ pour que cette fonction renvoie $\mathbf{True}$ ?

def mystere(z1):
	a = z1[0]
	if a == 0:
		return True
	else:
		return False