Dans cet exercice, on veut résoudre dans \Complex l'équation \left(\mathrm{E}_{n}\right): \mathrm{z}^{2}-n=0 d'inconnue z, où n est un entier relatif non nul.
On admettra que cette équation admet exactement deux solutions.

Partie A : Cas où \bm{n>0}

1. Justifier que z^{2}-n=(z-\sqrt{n})(z+\sqrt{n}).

2. En déduire les solutions de \left(\mathrm{E}_{n}\right).

Partie B : Résolution de \bm{\left(\mathbf{E}_{-1}\right)}

3. Expliquer pourquoi z^{2}+1=0 n'admet pas de solution réelle.

4. Calculer (z-\mathrm{i})(z+\mathrm{i}), puis en déduire les solutions de \left(\mathrm{E}_{-1}\right).

Partie C : Résolution de \bm{\left(\mathbf{E}_{n}\right)} lorsque \bm{n\lt0}

5. Justifier que, pour tout nombre complexe z et pour tout entier n, \overline{z^{2}-n}=\bar{z}^{2}-n.

6. En déduire que z est solution de \left(\mathrm{E}_{n}\right) si, et seulement si, z est solution de \left(\mathrm{E}_{n}\right).

7. Calculer (i \sqrt{-n})^{2}, puis en déduire deux solutions de \left(\mathrm{E}_{n}\right).

On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.
Par exemple :

• l'impédance d'une résistance pure est représentée par le nombre réel \mathrm{Z}_{\mathrm{R}}=\mathrm{R}. C'est le seul composant à avoir une impédance réelle ;
• l'impédance d'une bobine d'inductance \text{L} est représentée par le nombre complexe \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=\mathrm{iL} \omega, où \omega désigne la pulsation du signal et dépend de l'intensité du courant présent dans le circuit.

Lorsqu'ils sont montés en parallèle, ces deux composants peuvent être modélisés par un unique composant dont l'impédance \text{Z} vérifie \frac{1}{\text{Z}}=\frac{1}{\text{Z}_{\mathrm{R}}}+\frac{1}{\text{Z}_{\mathrm{L}}}.

1. Montrer que \mathrm{Z}=\frac{\mathrm{iRL} \omega}{\mathrm{R}+\mathrm{iL} \omega}.

2. Donner la forme algébrique de \text{Z} en fonction de \text{R}, de \text{L} et de \omega.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}), on considère les points \text{M}, \text{P} et \text{S} d'affixe respective m=2-2 \text{i}, p = 4\text{i} et s = 3 - \text{i}.

1. Construire une figure qu'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.

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2. Placer le point \mathrm{T}(\bar{s}) et le point \mathrm{A}(-m).

3. Calculer |p+m|. En déduire |p+a| et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

4. On admet que \mathrm{PT}=3 \sqrt{2} et que \mathrm{AT}=\sqrt{26}. Montrer que les droites (\mathrm{AP}) et (\mathrm{PT}) sont perpendiculaires.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}), on considère les points \text{A}, \text{B} et \text{F} d'affixe respective a=-2 +\text{i}, b = 1+4\text{i} et f = 1 - 2\text{i}.

1. Construire une figure qu'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.

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2. Soit \text{C} le point tel que \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AF}}. Calculer l'affixe de \text{C} et placer le point sur la figure.

3. Justifier que \text{ABCF} est un parallélogramme.

4. On considère le nombre complexe défini par \mathrm{Z}=\frac{b-a}{f-a}.

a. Déterminer la forme algébrique de \text{Z}.

b. Déterminer une forme trigonométrique de \text{Z}.

c. Expliquer pourquoi \left|\frac{b-a}{f-a}\right|=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AF}}. Que peut‑on en déduire pour les longueurs \mathrm{AB} et \mathrm{AF} ?

d. On admet que \arg \left(\frac{b-a}{f-a}\right)=(\overrightarrow{\mathrm{AF}}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}), à un multiple de 2\pi près.
Quelle est alors la nature du parallélogramme \text{ABCF} ?

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).
À tout point \text{M} d'affixe z \neq 1, on associe le point \mathrm{M}^{\prime} d'affixe z^{\prime}=\frac{\mathrm{i} z-2}{z-1}.
On dit que \mathrm{M}^{\prime} est l'image de \text{M} par la transformation qui à z associe z^{\prime}.

1. Soit \mathrm{B}(1-2 \mathrm{i}). Calculer l'affixe du point \mathrm{B}^{\prime}, image de \text{B} par la transformation qui, à z, associe z^{\prime}.

2. Soit \text{C}^{\prime}(1+3 \mathrm{i}). Trouver l'affixe du point \text{C} qui a pour image \mathrm{C}^{\prime}.

3. On pose z=x+\text{i} y, où x et y désignent deux réels.
Montrer que z^{\prime}=\frac{y-2 x+2+\text{i}\left(x^{2}+y^{2}-x+2 y\right)}{(x-1)^{2}+y^{2}}.

4. En déduire la forme algébrique de z^{\prime}, en fonction de x et de y.

5. Déterminer l'ensemble des points \mathrm{M}(\mathrm{z}) tels que z^{\prime} soit imaginaire pur et préciser sa nature.

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).
À tout point \text{M} d'affixe z \neq \mathrm{i}, on associe le point \text{M}^{\prime} d'affixe z^{\prime}=\frac{z+\mathrm{i}}{z-\mathrm{i}}.
On dit que \text{M}^{\prime} est l'image de \text{M} par la transformation qui à z associe z^{\prime}.

1. Soit \mathrm{B}(3-\mathrm{i}). Calculer l'affixe du point \mathrm{B}^{\prime}, image de \text{B} par la transformation qui, à z, associe z^{\prime}.

2. Trouver l'affixe d'un point \text{C} qui a pour image un point d'affixe réelle.

3. On pose z=x+\mathrm{i} y, où x et y désignent deux réels. Montrer que z^{\prime}=\frac{x^{2}+y^{2}-1+2 \mathrm{i} x}{x^{2}+(y-1)^{2}}.

4. En déduire la forme algébrique de z^{\prime} en fonction de x de y.

5. Déterminer l'ensemble des points \mathrm{M}(\mathrm{z}) tels que z^{\prime} soit réel et préciser sa nature.

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).
Soient \text{A} et \text{B} d'affixes a = \text{i} et b = -3 + \text{i}.
À tout point \text{M} d'affixe z \neq a, on associe le point \mathrm{M}^{\prime} d'affixe z^{\prime}=\frac{z-b}{z-a}.
On dit que \mathrm{M}^{\prime} est l'image de \text{M} par la transformation qui, à z, associe z^{\prime}.

1. Montrer que : \left|z^{\prime}\right|=1 \Leftrightarrow \mathrm{AM}=\mathrm{BM}.

2. Tracer dans un repère l'ensemble des points \text{M} d'affixe z tels que \left|z^{\prime}\right|=1.

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3. On admet que \arg \left(z^{\prime}\right)=(\overrightarrow{\mathrm{AM}}, \overrightarrow{\mathrm{BM}})+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}.
Tracer dans le même repère l'ensemble des points \text{M} d'affixe z tels que \arg \left(z^{\prime}\right)=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}.

4. Combien y a‑t‑il de points \text{M} d'affixe z tels que \left|z^{\prime}\right|=1 et \arg \left(z^{\prime}\right)=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z} ?

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}). Tout point \text{M} distinct de \text{O} admet pour affixe un nombre complexe z de la forme z=r(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)), où r est un réel strictement positif et \theta est un réel.
On dit alors que \text{M} a pour coordonnées polaires (\boldsymbol{r} \: ; \boldsymbol{\theta}) relativement au pôle \text{O} et à l'axe polaire (\mathrm{O} \: ; \vec{u}).

1. Que représentent r et \theta par rapport à z ?

2. Exprimer l'abscisse et l'ordonnée de \text{M} en fonction de r et de \theta.

3. Un sonar marin permet de détecter la position d'un objet à partir de coordonnées polaires et de la profondeur.
Voici une représentation graphique obtenue à l'aide d'un sonar en utilisant pour unité le kilomètre.


Le pôle est le point \text{O} et l'axe polaire la demi‑droite \text { [OA) }.
On donne :

a. Donner les coordonnées polaires de \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D}.

b. Donner l'affixe de \text{C} sous forme algébrique.

c. On donne l'affixe de \text{E} : 50 \sqrt{2}-50 \text{i} \sqrt{2}. Déterminer les coordonnées polaires de \text{E}.

d. Placer un point \text{F} de coordonnées polaires \left(80 \: ; \frac{-5 \pi}{6}\right).

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Trouver trois nombres complexes distincts dont le cube vaut 1, autrement dit trois nombres z tels que z^3 = 1.

\text{ABCDEF} est un hexagone régulier. Expliquer comment le tracer précisément et donner la forme algébrique de l'affixe de chacun de ses sommets.