Mathématiques 1re Techno

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Exercices

Synthèse

11 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 114
[Calculer, Communiquer.]

Dans cet exercice, on veut résoudre dans \Complex l'équation \left(\mathrm{E}_{n}\right): \mathrm{z}^{2}-n=0 d'inconnue z, où n est un entier relatif non nul.
On admettra que cette équation admet exactement deux solutions.

Partie A : Cas où \bm{n>0}

1. Justifier que z^{2}-n=(z-\sqrt{n})(z+\sqrt{n}).

2. En déduire les solutions de \left(\mathrm{E}_{n}\right).

Partie B : Résolution de \bm{\left(\mathbf{E}_{-1}\right)}

3. Expliquer pourquoi z^{2}+1=0 n'admet pas de solution réelle.

4. Calculer (z-\mathrm{i})(z+\mathrm{i}), puis en déduire les solutions de \left(\mathrm{E}_{-1}\right).

Partie C : Résolution de \bm{\left(\mathbf{E}_{n}\right)} lorsque \bm{n\lt0}

5. Justifier que, pour tout nombre complexe z et pour tout entier n, \overline{z^{2}-n}=\bar{z}^{2}-n.

6. En déduire que z est solution de \left(\mathrm{E}_{n}\right) si, et seulement si, z est solution de \left(\mathrm{E}_{n}\right).

7. Calculer (i \sqrt{-n})^{2}, puis en déduire deux solutions de \left(\mathrm{E}_{n}\right).
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 115
En électonique
[Calculer, Modéliser.]


Placeholder pour circuit électronique - exercice 115circuit électronique - exercice 115
Le zoom est accessible dans la version Premium.

On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.
Par exemple :
  • l'impédance d'une résistance pure est représentée par le nombre réel \mathrm{Z}_{\mathrm{R}}=\mathrm{R}. C'est le seul composant à avoir une impédance réelle ;
  • l'impédance d'une bobine d'inductance \text{L} est représentée par le nombre complexe \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=\mathrm{iL} \omega, où \omega désigne la pulsation du signal et dépend de l'intensité du courant présent dans le circuit.

Lorsqu'ils sont montés en parallèle, ces deux composants peuvent être modélisés par un unique composant dont l'impédance \text{Z} vérifie \frac{1}{\text{Z}}=\frac{1}{\text{Z}_{\mathrm{R}}}+\frac{1}{\text{Z}_{\mathrm{L}}}.

1. Montrer que \mathrm{Z}=\frac{\mathrm{iRL} \omega}{\mathrm{R}+\mathrm{iL} \omega}.

2. Donner la forme algébrique de \text{Z} en fonction de \text{R}, de \text{L} et de \omega.

Dans la vie professionnelle
Les nombres complexes sont très utiles dans les métiers de l'électronique. Ils servent notamment à modéliser une intensité ou une tension : le module indique la valeur de l'intensité ou de la tension, et l'argument donne le déphasage par rapport à la source utilisée.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 116
[Calculer, Représenter.]

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}), on considère les points \text{M}, \text{P} et \text{S} d'affixe respective m=2-2 \text{i}, p = 4\text{i} et s = 3 - \text{i}.

1. Construire une figure qu'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.
Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail


2. Placer le point \mathrm{T}(\bar{s}) et le point \mathrm{A}(-m).

3. Calculer |p+m|. En déduire |p+a| et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

4. On admet que \mathrm{PT}=3 \sqrt{2} et que \mathrm{AT}=\sqrt{26}. Montrer que les droites (\mathrm{AP}) et (\mathrm{PT}) sont perpendiculaires.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 117
[Calculer, Modéliser.]

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}), on considère les points \text{A}, \text{B} et \text{F} d'affixe respective a=-2 +\text{i}, b = 1+4\text{i} et f = 1 - 2\text{i}.

1. Construire une figure qu'on complétera au fur et à mesure de l'exercice.
Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail


2. Soit \text{C} le point tel que \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AF}}. Calculer l'affixe de \text{C} et placer le point sur la figure.

3. Justifier que \text{ABCF} est un parallélogramme.

4. On considère le nombre complexe défini par \mathrm{Z}=\frac{b-a}{f-a}.

a. Déterminer la forme algébrique de \text{Z}.

b. Déterminer une forme trigonométrique de \text{Z}.

c. Expliquer pourquoi \left|\frac{b-a}{f-a}\right|=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AF}}. Que peut‑on en déduire pour les longueurs \mathrm{AB} et \mathrm{AF} ?

d. On admet que \arg \left(\frac{b-a}{f-a}\right)=(\overrightarrow{\mathrm{AF}}, \overrightarrow{\mathrm{AB}}), à un multiple de 2\pi près.
Quelle est alors la nature du parallélogramme \text{ABCF} ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 118
[Chercher, Représenter.]

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).
À tout point \text{M} d'affixe z \neq 1, on associe le point \mathrm{M}^{\prime} d'affixe z^{\prime}=\frac{\mathrm{i} z-2}{z-1}.
On dit que \mathrm{M}^{\prime} est l'image de \text{M} par la transformation qui à z associe z^{\prime}.

1. Soit \mathrm{B}(1-2 \mathrm{i}). Calculer l'affixe du point \mathrm{B}^{\prime}, image de \text{B} par la transformation qui, à z, associe z^{\prime}.

2. Soit \text{C}^{\prime}(1+3 \mathrm{i}). Trouver l'affixe du point \text{C} qui a pour image \mathrm{C}^{\prime}.

3. On pose z=x+\text{i} y, où x et y désignent deux réels.
Montrer que z^{\prime}=\frac{y-2 x+2+\text{i}\left(x^{2}+y^{2}-x+2 y\right)}{(x-1)^{2}+y^{2}}.

4. En déduire la forme algébrique de z^{\prime}, en fonction de x et de y.

5. Déterminer l'ensemble des points \mathrm{M}(\mathrm{z}) tels que z^{\prime} soit imaginaire pur et préciser sa nature.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 119
[Chercher, Représenter.]

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).
À tout point \text{M} d'affixe z \neq \mathrm{i}, on associe le point \text{M}^{\prime} d'affixe z^{\prime}=\frac{z+\mathrm{i}}{z-\mathrm{i}}.
On dit que \text{M}^{\prime} est l'image de \text{M} par la transformation qui à z associe z^{\prime}.

1. Soit \mathrm{B}(3-\mathrm{i}). Calculer l'affixe du point \mathrm{B}^{\prime}, image de \text{B} par la transformation qui, à z, associe z^{\prime}.

2. Trouver l'affixe d'un point \text{C} qui a pour image un point d'affixe réelle.

3. On pose z=x+\mathrm{i} y, où x et y désignent deux réels. Montrer que z^{\prime}=\frac{x^{2}+y^{2}-1+2 \mathrm{i} x}{x^{2}+(y-1)^{2}}.

4. En déduire la forme algébrique de z^{\prime} en fonction de x de y.

5. Déterminer l'ensemble des points \mathrm{M}(\mathrm{z}) tels que z^{\prime} soit réel et préciser sa nature.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 120
[Chercher, Représenter.]

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).
Soient \text{A} et \text{B} d'affixes a = \text{i} et b = -3 + \text{i}.
À tout point \text{M} d'affixe z \neq a, on associe le point \mathrm{M}^{\prime} d'affixe z^{\prime}=\frac{z-b}{z-a}.
On dit que \mathrm{M}^{\prime} est l'image de \text{M} par la transformation qui, à z, associe z^{\prime}.

1. Montrer que : \left|z^{\prime}\right|=1 \Leftrightarrow \mathrm{AM}=\mathrm{BM}.

2. Tracer dans un repère l'ensemble des points \text{M} d'affixe z tels que \left|z^{\prime}\right|=1.
Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail


3. On admet que \arg \left(z^{\prime}\right)=(\overrightarrow{\mathrm{AM}}, \overrightarrow{\mathrm{BM}})+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}.
Tracer dans le même repère l'ensemble des points \text{M} d'affixe z tels que \arg \left(z^{\prime}\right)=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}.

4. Combien y a‑t‑il de points \text{M} d'affixe z tels que \left|z^{\prime}\right|=1 et \arg \left(z^{\prime}\right)=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z} ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 121
[Calculer, Représenter.]

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}). Tout point \text{M} distinct de \text{O} admet pour affixe un nombre complexe z de la forme z=r(\cos (\theta)+\mathrm{i} \sin (\theta)), où r est un réel strictement positif et \theta est un réel.
On dit alors que \text{M} a pour coordonnées polaires (\boldsymbol{r} \: ; \boldsymbol{\theta}) relativement au pôle \text{O} et à l'axe polaire (\mathrm{O} \: ; \vec{u}).

1. Que représentent r et \theta par rapport à z ?

2. Exprimer l'abscisse et l'ordonnée de \text{M} en fonction de r et de \theta.

3. Un sonar marin permet de détecter la position d'un objet à partir de coordonnées polaires et de la profondeur.
Voici une représentation graphique obtenue à l'aide d'un sonar en utilisant pour unité le kilomètre.

figure - exercice 121
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Le pôle est le point \text{O} et l'axe polaire la demi‑droite \text { [OA) }.
On donne :
(\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}})=\frac{\pi}{6}+2 k \pi et (\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OD}})=\frac{-\pi}{3}+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}.

a. Donner les coordonnées polaires de \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D}.

b. Donner l'affixe de \text{C} sous forme algébrique.

c. On donne l'affixe de \text{E} : 50 \sqrt{2}-50 \text{i} \sqrt{2}. Déterminer les coordonnées polaires de \text{E}.

d. Placer un point \text{F} de coordonnées polaires \left(80 \: ; \frac{-5 \pi}{6}\right).
Logo Geogebra

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Club de maths

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 122
Défi

Trouver trois nombres complexes distincts dont le cube vaut 1, autrement dit trois nombres z tels que z^3 = 1.

Remarque
Ces nombres s'appellent racines cubiques de l'unité.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 123
Défi

figure - exercice 123
Le zoom est accessible dans la version Premium.

\text{ABCDEF} est un hexagone régulier. Expliquer comment le tracer précisément et donner la forme algébrique de l'affixe de chacun de ses sommets.
Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.