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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Entraînement 3

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

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Différenciation

Parcours 1 :
exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 2 :
exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 3 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

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Exercice 94

Calculer le module des nombres complexes suivants.

1. z_{1}=3-2 \text{i}

2. z_{2}=2 \text{i}

3. z_{3}=-7

4. z_{4}=\sqrt{3}+\mathrm{i}

5. z_{5}=\frac{1-3 \text{i}}{2}

6. z_{6}=(2+\mathrm{i})(1-3 \mathrm{i})
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Exercice 95

Calculer le module des nombres complexes suivants.

1. z_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}

2. z_{2}=\frac{1}{3+2 \mathrm{i}}

3. z_{3}=(3-2 \mathrm{i})(3+2 \mathrm{i})

4. z_{4}=\frac{3+\mathrm{i}}{2-5 \mathrm{i}}

5. z_{5}=\frac{(3-\mathrm{i})^{2}}{3+4 \mathrm{i}}
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Exercice 96
[Représenter.]

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).

figure - exercice 96
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On note respectivement m, n et g les affixes de \text{M}, \text{N} et \text{G}.

1. Sans aucun calcul, comparer |n| et |m|.

2. Calculer maintenant |m| et | g |.

3. Placer un point dont le module de l'affixe est supérieur à 3.
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4. Calculer |m - g|. Que représente la valeur trouvée ?
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Exercice 97
Placeholder pour calculatricecalculatrice
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[Calculer.]

Vérifier les résultats suivants, obtenus à l'aide de la calculatrice.

Placeholder pour écran de calculatrice - exercice 97écran de calculatrice - exercice 97
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Exercice 98

Déterminer un argument des nombres complexes suivants.

1. z_{1}=3 \text{i}

2. z_{2}=-5

3. z_{3}=2-2 \text{i}

4. z_{4}=-\sqrt{3}+\mathrm{i}
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Exercice 99

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.

1. z_{1}=3\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)

2. z_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{-5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-5 \pi}{6}\right)\right)

3. z_{3}=\cos \left(\frac{-3 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-3 \pi}{4}\right)

4. z_{4}=4\left(\cos \left(\frac{-3 \pi}{2}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{-3 \pi}{2}\right)\right)
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Exercice 100

Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants.

1. z_{1}=-3 \mathrm{i}

2. z_{2}=-6-6 \mathrm{i}

3. z_{3}=\sqrt{3}-\mathrm{i}

4. z_{4}=2 \mathrm{i} \sqrt{3}+2
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Exercice 101

Dans chaque cas, déterminer la forme algébrique d'un nombre complexe vérifiant :

1. \left|z_{1}\right|=5 et \arg \left(z_{1}\right)=\frac{-2 \pi}{3}+2 k \pi, k \in \mathbb{Z} ;

2. \arg \left(z_{2}\right)=\frac{\pi}{6}+2 k \pi, k \in \mathbb{Z} ;

3. \left|z_{3}\right|=5, \operatorname{Im}\left(z_{3}\right) \neq 0 et \operatorname{Re}\left(z_{3}\right) \neq 0.
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Exercice 102
[Représenter.]

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).

figure - exercice 102
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On note a, c et g les affixes de \text{A}, \text{C} et \text{G}.

1. Calculer |c| et |g|. Que peut‑on en déduire pour les points \text{C} et \text{G} ?

2. Calculer |a-c| et | a - g |. Que peut‑on en déduire pour le triangle \text{ACG} ?
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Exercice 103
[Représenter.]

On se place dans le repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) ci‑dessous.

figure - exercice 103
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Soient \text{A} et \text{B} deux points du cercle de centre \text{O} et de rayon \text{4} vérifiant les conditions suivantes :
  • (\vec{u} \:, \overrightarrow{\mathrm{OA}})=\frac{\pi}{3}, à un multiple de 2\pi près ;
  • \text{B} est le symétrique de \text{A} par rapport à \text{O}.

On note a et b les affixes de \text{A} et de \text{B}.

1. Écrire a et b sous forme trigonométrique.

2. En déduire la forme algébrique de a et de b.

3. Soit \text{D} le point d'affixe d=-2+2 \mathrm{i} \sqrt{3}. Calculer |d| et \arg (d).

4. Expliquer alors comment placer précisément le point \text{D} dans le repère.
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Exercice 104
[Représenter.]

On considère le graphique suivant dans lequel le triangle \text{OFD} est équilatéral.

figure - exercice 104
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1. En utilisant les données de la figure, déterminer les affixes des points \text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}, \text{E}, \text{F}, \text{G} et \text{H} sous forme trigonométrique.

2. En déduire la forme algébrique de chacun de ces nombres complexes.
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Exercice 105

1. Les nombres complexes suivants ne sont pas écrits sous forme trigonométrique. Expliquer pourquoi.

a. z_{1}=-\left(\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right)

b. z_{2}=6\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)

c. z_{3}=2 \mathrm{i}\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)

d. z_{4}=\left(-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)

e. z_{5}=2\left(\cos \left(\frac{5 \pi}{3}\right)-\mathrm{i} \sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right)\right)

f. z_{6}=0(\cos (\pi)+\mathrm{i} \sin (\pi))

2. Lorsque c'est possible, écrire ces nombres sous forme trigonométrique.
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Exercice 106
[Représenter.]

On considère le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}). Sans calculer la forme algébrique, placer les points suivants dont l'affixe est écrite sous une forme trigonométrique.

1. \text{A} d'affixe z_{\text{A}}=3[\cos (0)+\text{i} \sin (0)].
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2. \text{B} d'affixe z_{\text{B}}=2\left[\cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)+\text{i} \sin \left(-\frac{2 \pi}{3}\right)\right].

3. \text{C} d'affixe z_{\mathrm{C}}=\left[\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right].

4. \text{D} d'affixe z_{\text{D}}=4\left[\cos \left(\frac{11 \pi}{4}\right)+\text{i} \sin \left(\frac{11 \pi}{4}\right)\right].
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Exercice 107

Représenter, dans le plan complexe, l'ensemble des points \text{M} d'affixe z tels que :

1. |z| \leqslant 2 ;
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2. |z|=1 et \arg (z)=\frac{\pi}{3}, à un multiple de \pi près ;
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3. |z-\mathrm{i}|=2.
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Exercice 108

Représenter, dans le plan complexe, l'ensemble des points \text{M} d'affixe z tels que :

1. |z-1+\text{i}|=1 ;
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2. \arg (z)=\frac{\pi}{2}, à un multiple de 2\pi près ;
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3. |z|=2 et |z-\mathrm{i}|=1.
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Exercice 109
[Représenter.]

Déterminer, puis représenter graphiquement, l'ensemble (\mathrm{E}) des points \text{M} du plan complexe d'affixe z vérifiant :

1. |z-2+4 \text{i}|=3

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2. |z+1-3 \text{i}|=|2-4 \text{i}-z|

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3. |z+4-\sqrt{3} \text{i}|=|z-\text{i}|

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4. |z+5-2 \text{i}|=0

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Exercice 110

Soient z et z^{\prime} les nombres complexes définis par z=3+\text{i} et z^{\prime}=2-3 \text{i}.

1. Calculer |z|, |z^{\prime}|, puis en déduire |z|+\left|z^{\prime}\right|.

2. Déterminer la forme algébrique de z+z^{\prime}.

3. Calculer \left|z+z^{\prime}\right|. Que remarque‑t‑on ?

Remarque
Pour tous nombres complexes z et z^{\prime}, on a \left|z+z^{\prime}\right| \leqslant|z|+\left|z^{\prime}\right|. Cette inégalité est appelée inégalité triangulaire.
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Exercice 111

Voici un extrait de copie d'élève.

Remarque
L'ensemble des points \text{M} d'affixe z tels que | z - 1 + \text{i} |= 2 est le cercle de centre \text{A} d'affixe 1 + i et de rayon 2.


Que peut‑on dire de ce raisonnement ?
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Exercice 112
Exercice inversé

En réponse à un exercice de mathématiques, un élève de 1re technologique, répond de la façon suivante.

Remarque
Même si z_1 , z_2 et z_3 ne sont pas écrits de façon identique sous forme trigonométrique, ils sont les affixes d'un même point du plan complexe.


Proposer des écritures trigonométriques possibles de z_1, z_2 et z_3.
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Exercice 113
Exercice inversé

1. Donner les affixes de trois points \text{A}, \text{B}, et \text{C} tels que \text{ABC} soit un triangle isocèle.

2. Donner les affixes de trois points \text{A}, \text{B}, et \text{C} tels que \text{ABC} soit un triangle équilatéral.

3. Donner les affixes de trois points \text{A}, \text{B}, et \text{C} tels que ces trois points soient sur un même cercle.
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