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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Entraînement 2

Nombres complexes conjugués

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Différenciation

Parcours 1 :
exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 2 :
exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 3 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et

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Exercice 78

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

1. z_{1}=\frac{1}{3 \text{i}}

2. z_{2}=\frac{1}{4-\mathrm{i}}

3. z_{3}=\frac{1}{2+3 \mathrm{i}}

4. z_{4}=\frac{\mathrm{i}}{5-2 \mathrm{i}}
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Exercice 79

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

1. z_{1}=\frac{3}{\mathrm{i}}

2. z_{2}=\frac{1}{1+2 \mathrm{i}}

3. z_{3}=\frac{\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}

4. z_{4}=\frac{\mathrm{i}-3}{2 \mathrm{i}-3}
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Exercice 80

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

1. z_{1}=\frac{1+\text{i} \sqrt{3}}{1+\text{i}}

2. z_{2}=(5+5 \text{i})(3+3 \sqrt{3} \text{i})
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Exercice 81

Déterminer le conjugué de chacun des nombres complexes suivants.

1. z=3-2 \mathrm{i}

2. z=5 \mathrm{i}

3. z=4-\mathrm{i} \sqrt{3}

4. z=(1-\mathrm{i})(1+2 \mathrm{i})
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Exercice 82
[Calculer.]

Résoudre dans \Complex les équations suivantes, en exprimant les solutions sous forme algébrique.

1. 1+\mathrm{i} z=2-\mathrm{i}+z

2. 2-\mathrm{i} \bar{z}=3+\bar{z}-\mathrm{i}

3. z+\bar{z}=4

Aide
On pourra poser z = x + \text{i}y pour résoudre la 3e équation.
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Exercice 83

Résoudre dans \Complex les équations suivantes, en exprimant les solutions sous forme algébrique.

1. 1-2 \text{i} z=3 z+2-5 \text{i}

2. z-(1+\text{i} \bar{z})=3-2 \text{i} z

3. z+\text{i} \bar{z}=4-2 \text{i}
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Exercice 84

Écrire les conjugués des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

1. z_{1}=3-4 \mathrm{i}(1-2 \mathrm{i})

2. z_{2}=\frac{2-5 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}

3. z_{3}=4 \mathrm{i}(1-2 \mathrm{i})^{2}
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Exercice 85
Vrai / Faux
[Raisonner.]

Déterminer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Le conjugué d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel.


2. Pour tout nombre complexe z, \overline{2 \mathrm{i} z-3+\mathrm{i}}=-2 \mathrm{i} z-3-\mathrm{i}.


3. \overline{\left(\frac{1-2 \mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}\right)}=\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}


4. Pour tout nombre complexe z tel que \operatorname{Re}(z) \neq 0, \frac{z-\bar{z}}{z+\bar{z}} est un nombre imaginaire pur.

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Exercice 86
[Raisonner.]

1. Montrer que, pour tout nombre complexe z, z + \bar{z} est un réel.

2. Montrer que, pour tout nombre complexe z, z - \bar{z} est un imaginaire pur.

3. Déterminer sans calcul si les nombres suivants sont des réels ou des imaginaires purs.
a. z^{\prime}=\frac{3+2 \text{i}}{3-\text{i}}+\frac{3-2 \text{i}}{3+\text{i}}

b. z^{\prime \prime}=(3+5 \text{\text{i}})^{7}-(3-5 \text{i})^{7}
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Exercice 87
[Représenter.]

On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).

figure - exercice 87
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Placer trois points \text{K}, \text{M} et \text{R} dont les affixes sont respectivement les conjugués des affixes de \text{F}, \text{A} et \text{B}.
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Exercice 88
[Représenter.]

On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).

figure - exercice 88
Le zoom est accessible dans la version Premium.

On note a, b et h les affixes des points \text{A}, \text{B} et \text{H}.

1. Quels points parmi \text{A}, \text{B} et \text{H} ont des affixes conjuguées ?

2. Placer le point \text{K} dont l'affixe est \bar{a}. Que peut‑on dire des points \text{K} et \text{B} ?
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3. Placer le point \text{L} dont l'affixe est -\bar{b}. Que peut‑on dire des points \text{B} et \text{L} ?
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Exercice 89

On s'intéresse dans cet exercice à l'équation :
(\mathrm{E}): z^{2}+z+1=0.

1. On pose j=\frac{-1+\mathrm{i} \sqrt{3}}{2}. Montrer que j est solution de \text{E}.

2. On admet que (\mathrm{E}) admet une seule autre solution. Déterminer cette solution.

Histoire des maths
Le théorème de d'Alembert‑Gauss stipule qu'une équation de degré n admet au maximum n solutions. En particulier, une équation du second degré, telle que celle présentée dans cet exercice, admet au maximum deux solutions. Antoine Girard fut le premier, en 1629, à écrire un énoncé correct et Gauss démontra le résultat en 1799, s'appuyant sur les travaux de d'Alembert.
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Exercice 90

Représenter, dans le plan complexe, l'ensemble des points \text{M} d'affixe z tels que :

1. z=-\bar{z}

2. \operatorname{Im}(\bar{z})=2
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Exercice 91

Soit \text{P} le polynôme à coefficients réels défini sur \Complex par :
\mathrm{P}(z)=z^{2}-2 z+2.

1. Vérifier que \mathrm{P}(1+\mathrm{i})=0.

2. Montrer que, pour tout z \in \mathbb{C}, \overline{\mathrm{P}(z)}=\mathrm{P}(\bar{z}).

3. En déduire un nombre complexe z différent de 1 + \text{i} tel que \mathrm{P}(z)=0.

4. Vérifier que \mathrm{P}(z)=(z-1-\mathrm{i})(z-1+\mathrm{i}).
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Exercice 92
Exercice inversé

1. Proposer une équation de la forme z+a=\bar{z}+b, avec a et b deux nombres complexes, admettant pour solution 5 + 2\text{i}.

2. Proposer une équation de la forme a z+b=c \bar{z}+d, avec a, b, c et d quatre nombres complexes non nuls, tels que a \neq 1 et c \neq 1 admettant pour solution 5+2 \mathrm{i}.
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Exercice 93
Exercice inversé

À la fin d'un exercice sur les nombres complexes dans lequel on lui a demandé de tracer une figure, Alicia obtient quatre points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} tels que \text{B} est le symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des abscisses, \text{C} est le symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des ordonnées et \text{D} est le symétrique de \text{A} par rapport à l'origine du plan complexe.
Proposer un exercice ayant pu aboutir à une telle construction.
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