Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

1. z_{1}=\frac{1}{3 \text{i}}

2. z_{2}=\frac{1}{4-\mathrm{i}}

3. z_{3}=\frac{1}{2+3 \mathrm{i}}

4. z_{4}=\frac{\mathrm{i}}{5-2 \mathrm{i}}

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

1. z_{1}=\frac{3}{\mathrm{i}}

2. z_{2}=\frac{1}{1+2 \mathrm{i}}

3. z_{3}=\frac{\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}

4. z_{4}=\frac{\mathrm{i}-3}{2 \mathrm{i}-3}

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

1. z_{1}=\frac{1+\text{i} \sqrt{3}}{1+\text{i}}

2. z_{2}=(5+5 \text{i})(3+3 \sqrt{3} \text{i})

Déterminer le conjugué de chacun des nombres complexes suivants.

1. z=3-2 \mathrm{i}

2. z=5 \mathrm{i}

3. z=4-\mathrm{i} \sqrt{3}

4. z=(1-\mathrm{i})(1+2 \mathrm{i})

Résoudre dans \Complex les équations suivantes, en exprimant les solutions sous forme algébrique.

1. 1+\mathrm{i} z=2-\mathrm{i}+z

2. 2-\mathrm{i} \bar{z}=3+\bar{z}-\mathrm{i}

3. z+\bar{z}=4

Résoudre dans \Complex les équations suivantes, en exprimant les solutions sous forme algébrique.

1. 1-2 \text{i} z=3 z+2-5 \text{i}

2. z-(1+\text{i} \bar{z})=3-2 \text{i} z

3. z+\text{i} \bar{z}=4-2 \text{i}

Écrire les conjugués des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

1. z_{1}=3-4 \mathrm{i}(1-2 \mathrm{i})

2. z_{2}=\frac{2-5 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}

3. z_{3}=4 \mathrm{i}(1-2 \mathrm{i})^{2}

Déterminer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Le conjugué d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel.

Vrai.

Faux.

2. Pour tout nombre complexe z, \overline{2 \mathrm{i} z-3+\mathrm{i}}=-2 \mathrm{i} z-3-\mathrm{i}.

Vrai.

Faux.

3. \overline{\left(\frac{1-2 \mathrm{i}}{3-\mathrm{i}}\right)}=\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}

Vrai.

Faux.

4. Pour tout nombre complexe z tel que \operatorname{Re}(z) \neq 0, \frac{z-\bar{z}}{z+\bar{z}} est un nombre imaginaire pur.

Vrai.

Faux.

1. Montrer que, pour tout nombre complexe z, z + \bar{z} est un réel.

2. Montrer que, pour tout nombre complexe z, z - \bar{z} est un imaginaire pur.

3. Déterminer sans calcul si les nombres suivants sont des réels ou des imaginaires purs.
a. z^{\prime}=\frac{3+2 \text{i}}{3-\text{i}}+\frac{3-2 \text{i}}{3+\text{i}}

b. z^{\prime \prime}=(3+5 \text{\text{i}})^{7}-(3-5 \text{i})^{7}

On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).


Placer trois points \text{K}, \text{M} et \text{R} dont les affixes sont respectivement les conjugués des affixes de \text{F}, \text{A} et \text{B}.

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On munit le plan d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}).


On note a, b et h les affixes des points \text{A}, \text{B} et \text{H}.

1. Quels points parmi \text{A}, \text{B} et \text{H} ont des affixes conjuguées ?

2. Placer le point \text{K} dont l'affixe est \bar{a}. Que peut‑on dire des points \text{K} et \text{B} ?

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3. Placer le point \text{L} dont l'affixe est -\bar{b}. Que peut‑on dire des points \text{B} et \text{L} ?

On s'intéresse dans cet exercice à l'équation :

1. On pose j=\frac{-1+\mathrm{i} \sqrt{3}}{2}. Montrer que j est solution de \text{E}.

2. On admet que (\mathrm{E}) admet une seule autre solution. Déterminer cette solution.

Représenter, dans le plan complexe, l'ensemble des points \text{M} d'affixe z tels que :

1. z=-\bar{z}

2. \operatorname{Im}(\bar{z})=2

Soit \text{P} le polynôme à coefficients réels défini sur \Complex par :

1. Vérifier que \mathrm{P}(1+\mathrm{i})=0.

2. Montrer que, pour tout z \in \mathbb{C}, \overline{\mathrm{P}(z)}=\mathrm{P}(\bar{z}).

3. En déduire un nombre complexe z différent de 1 + \text{i} tel que \mathrm{P}(z)=0.

4. Vérifier que \mathrm{P}(z)=(z-1-\mathrm{i})(z-1+\mathrm{i}).

1. Proposer une équation de la forme z+a=\bar{z}+b, avec a et b deux nombres complexes, admettant pour solution 5 + 2\text{i}.

2. Proposer une équation de la forme a z+b=c \bar{z}+d, avec a, b, c et d quatre nombres complexes non nuls, tels que a \neq 1 et c \neq 1 admettant pour solution 5+2 \mathrm{i}.

À la fin d'un exercice sur les nombres complexes dans lequel on lui a demandé de tracer une figure, Alicia obtient quatre points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} tels que \text{B} est le symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des abscisses, \text{C} est le symétrique de \text{A} par rapport à l'axe des ordonnées et \text{D} est le symétrique de \text{A} par rapport à l'origine du plan complexe.
Proposer un exercice ayant pu aboutir à une telle construction.