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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 9
Cours 1

Le plan complexe

15 professeurs ont participé à cette page
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A
Définitions et propriétés

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Définitions
On admet qu'on peut construire un ensemble \Complex appelé ensemble des nombres complexes dont les propriétés sont les suivantes :
  • \Complex contient \R ;
  • \Complex est muni d'une addition et d'une multiplication dont les propriétés (distributivité, priorité des opérations, etc.) prolongent celles connues sur \R ;
  • \Complex contient un nombre non réel noté \text{i} vérifiant \text{i}^2 = -1 ;
  • pour tout nombre complexe z, il existe deux uniques réels a et b tels que z=a+\mathrm{i} b. On dit que cette écriture est la forme algébrique du nombre complexe z.

Remarque
Un nombre complexe n'est en général ni positif ni négatif (il n'y a pas d'ordre dans \Complex).

Remarque
Les physiciens, tout comme Python, notent couramment ce nombre \text{j} à la place de \text{i}.

Remarque
L'écriture sous forme algébrique d'un nombre complexe est unique.
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Exemples
Le nombre z=5-7 \text{i} est un nombre complexe avec a=5 et b = -7.
Le nombre z^{\prime}=2 \mathrm{i} est un nombre complexe avec a = 0 et b = 2.
On a ainsi z \times z^{\prime}=(5-7 \text{i}) \times 2 \text{i}=10 \text{i}-14 \color{#CE422B} \text{i}^{2} \color{black}=10 \text{i}-14 \times \color{#CE422B}(-1)\color{black}=10 \text{i}+14.
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Définitions
Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique s'écrit z=a+\mathrm{i} b.
On dit que a est la partie réelle de z et que b est la partie imaginaire de z.
On note a=\operatorname{Re}(z) et b=\operatorname{Im}(z).

Remarques
  • Si \operatorname{Re}(z)=0, on dit que z est un imaginaire pur.
  • Si \operatorname{Im}(z)=0, on dit que z est un réel.

Remarque
La partie imaginaire d'un nombre complexe est un réel !
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Exemples
1. Pour z = 5 - 7\text{i}, on a \operatorname{Re}(z)=5 et \operatorname{Im}(z)=-7.
2. Pour z^{\prime} = 2\text{i}, on a \operatorname{Re}(z^{\prime})=0 et \operatorname{Im}(z^{\prime})=2. z^{\prime} est un imaginaire pur.
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Propriétés
1. Un nombre complexe est nul si, et seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
2. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
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Application et méthode - 1

Calculer la forme algébrique d'un nombre complexe

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Énoncé
Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants.

1. (2+\mathrm{i})(5-3 \mathrm{i})
2. (4-2 \text{i})^{2}
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Méthode

1. On commence par développer en utilisant les mêmes règles que dans \R et en utilisant l'égalité \text{i}^{2}=-1.

2. Ensuite, on réduit en regroupant les parties réelles (sans \text{i}) ensemble et les parties imaginaires (avec \text{i}) ensemble.

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Solution
1. (2+\mathrm{i})(5-3 \mathrm{i})=10-6 \mathrm{i}+5 \mathrm{i}-3 \mathrm{i}^{2}=10-\mathrm{i}+3=13-\mathrm{i}

2. (4-2 \text{i})^{2}=4^{2}-2 \times 4 \times 2 \text{i}+(2 \text{i})^{2}=16-16 \text{i}-4=12-16 \text{i}

Pour s'entraîner : exercices et
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B
Représentation dans le plan complexe

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On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) qu'on appelle plan complexe.

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Définitions
Soient \mathrm{M}(a \: ; b) un point du plan et z le nombre complexe défini par z = a + \text{i}b.
On dit que z est l'affixe du point \text{M} ou du vecteur \overrightarrow{\mathrm{OM}} et que \text{M} est le point image du nombre complexe z.

figure - cours 1. B.
Le zoom est accessible dans la version Premium.


Remarque
Un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) est dit direct lorsqu'une mesure de (\vec{u} \: , \vec{v}) est +\frac{\pi}{2}.

Notation
On note \text{M}(a+\mathrm{i} b).

Remarque
Cette définition a pour but de représenter les nombres complexes dans le plan.

Remarque
Les points d'affixe réelle sont ceux situés sur l'axe des abscisses. Les points d'affixe imaginaire pure sont ceux situés sur l'axe des ordonnées.
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Propriété
Soient \vec{w} et \vec{w^{\prime}} deux vecteurs d'affixe respective z et z^{\prime}, et k un nombre réel.
Alors \vec{w}+\overrightarrow{w^{\prime}} a pour affixe z+z^{\prime} et k\vec{w} a pour affixe kz.
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Propriétés
Soient \text{A} et \text{B} deux points du plan complexe d'affixe respective z_{\mathrm{A}} et z_{\mathrm{B}}. Alors :
  • \overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour affixe z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}} ;
  • le milieu de [\text{AB}] a pour affixe \frac{z_{\mathrm{A}}+z_{\mathrm{B}}}{2}.
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Exemple
Soient \mathrm{A}(2-\mathrm{i}) et \mathrm{B}(3+5 \mathrm{i}). Notons z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}} l'affixe du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
z_{\overrightarrow{\text{AB}}}=z_{\text{B}}-z_{\text{A}}=3+5 \text{i}-(2-\text{i})=3+5 \text{i}-2+\text{i}=1+6 \text{i}
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Application et méthode - 2

Utiliser les complexes pour des problèmes géométriques

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Énoncé
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O} \: ; \vec{u} \: , \vec{v}) et on considère les points \mathrm{A}(2+\mathrm{i}), \mathrm{B}(-3\mathrm{i}), \mathrm{C}(6-2\mathrm{i}) et {\mathrm{D}(4-6\mathrm{i})}.

1. Placer les points dans le repère.
2. Quelle est la nature du quadrilatère \mathrm{ABDC} ?
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Méthode

1. L'abscisse d'un point correspond à la partie réelle de son affixe.
L'ordonnée d'un point correspond à la partie imaginaire de son affixe.

2. 
  • Le quadrilatère \text{ABDC} est un parallélogramme si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} sont égaux.
  • On calcule donc les affixes de ces deux vecteurs et on les compare.

Remarque
On pouvait également prouver que le milieu des deux diagonales [\text{AD}] et [\text{BC}] du quadrilatère \text{ABDC} sont les mêmes.
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Solution
1.
figure - solution 1.B.
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2. On commence par calculer les affixes des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{CD}} :

z_{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=-3 \text{i}-(2+\text{i})=-3 \text{i}-2-\text{i}=-2-4 \text{i} et
z_{\overrightarrow{\mathrm{CD}}}=4-6 \mathrm{i}-(6-2 \mathrm{i})=4-6 \mathrm{i}-6+2 \mathrm{i}=-2-4 \mathrm{i}.

Ainsi, \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}. On en déduit que \text{ABDC} est un parallélogramme. Pour s'entraîner : exercices et

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