Sommaire

Mes pages

Ouverture

p. 1-9

Partie 1 : Analyse

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Partie 2 : Statistiques et probabilités

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Automatismes

Partie 3 : Géométrie

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Partie 4 : Analyse

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

Révisions Genially

Page précédente

Chapitre 9

Cours 1

Le plan complexe

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Définitions et propriétés

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Définitions

On admet qu'on peut construire un ensemble

C

appelé ensemble des nombres complexes dont les propriétés sont les suivantes :

$C$ contient $R$ ;
$C$ est muni d'une addition et d'une multiplication dont les propriétés (distributivité, priorité des opérations, etc.) prolongent celles connues sur $R$ ;
$C$ contient un nombre non réel noté $i$ vérifiant $i^{2} = - 1$ ;
pour tout nombre complexe $z$ , il existe deux uniques réels $a$ et $b$ tels que $z = a + i b$ . On dit que cette écriture est la forme algébrique du nombre complexe $z$ .

Remarque

Un nombre complexe n'est en général ni positif ni négatif (il n'y a pas d'ordre dans

C

Remarque

Les physiciens, tout comme Python, notent couramment ce nombre

j

à la place de

i

Remarque

L'écriture sous forme algébrique d'un nombre complexe est unique.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemples

Le nombre

z = 5 - 7 i

est un nombre complexe avec

a = 5

b = - 7

.
Le nombre

z^{'} = 2 i

est un nombre complexe avec

a = 0

b = 2

.
On a ainsi

z \times z^{'} = (5 - 7 i) \times 2 i = 10 i - 14 i^{2} = 10 i - 14 \times (- 1) = 10 i + 14

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Définitions

Soit

z

un nombre complexe dont la forme algébrique s'écrit

z = a + i b

.
On dit que

a

est la partie réelle de

z

et que

b

est la partie imaginaire de

z

.
On note

a = Re (z)

b = Im (z)

Remarques

Si $Re (z) = 0$ , on dit que $z$ est un imaginaire pur.
Si $Im (z) = 0$ , on dit que $z$ est un réel.

Remarque

La partie imaginaire d'un nombre complexe est un réel !

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemples

1. Pour

z = 5 - 7 i

, on a

Re (z) = 5

Im (z) = - 7

.
2. Pour

z^{'} = 2 i

, on a

Re (z^{'}) = 0

Im (z^{'}) = 2

z^{'}

est un imaginaire pur.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriétés

1. Un nombre complexe est nul si, et seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
2. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application et méthode - 1

Calculer la forme algébrique d'un nombre complexe

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants.

1.

(2 + i) (5 - 3 i)

(4 - 2 i)^{2}

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

1. On commence par développer en utilisant les mêmes règles que dans

R

et en utilisant l'égalité

i^{2} = - 1

.

2. Ensuite, on réduit en regroupant les parties réelles (sans

i

) ensemble et les parties imaginaires (avec

i

) ensemble.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

(2 + i) (5 - 3 i) = 10 - 6 i + 5 i - 3 i^{2} = 10 - i + 3 = 13 - i

(4 - 2 i)^{2} = 4^{2} - 2 \times 4 \times 2 i + (2 i)^{2} = 16 - 16 i - 4 = 12 - 16 i

Pour s'entraîner : exercices

27 p. 226

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Représentation dans le plan complexe

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O; u, v)$ qu'on appelle plan complexe.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Définitions

Soient

M (a; b)

un point du plan et

z

le nombre complexe défini par

z = a + i b

.
On dit que

z

est l'affixe du point

M

ou du vecteur

OM

et que

M

est le point image du nombre complexe

z

Remarque

Un repère orthonormé

(O; u, v)

est dit direct lorsqu'une mesure de

(u, v)

est

+ \frac{π}{2}

Notation

On note

M (a + i b)

Remarque

Cette définition a pour but de représenter les nombres complexes dans le plan.

Remarque

Les points d'affixe réelle sont ceux situés sur l'axe des abscisses. Les points d'affixe imaginaire pure sont ceux situés sur l'axe des ordonnées.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriété

Soient

w

w^{'}

deux vecteurs d'affixe respective

z

z^{'}

, et

k

un nombre réel.
Alors

w + w^{'}

a pour affixe

z + z^{'}

k w

a pour affixe

k z

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriétés

Soient

A

B

deux points du plan complexe d'affixe respective

z_{A}

z_{B}

. Alors :

$AB$ a pour affixe $z_{B} - z_{A}$ ;
le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\frac{z _{A} + z _{B}}{2}$ .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemple

Soient

A (2 - i)

B (3 + 5 i)

. Notons

z_{AB}

l'affixe du vecteur

AB

z_{AB} = z_{B} - z_{A} = 3 + 5 i - (2 - i) = 3 + 5 i - 2 + i = 1 + 6 i

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application et méthode - 2

Utiliser les complexes pour des problèmes géométriques

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct

(O; u, v)

et on considère les points

A (2 + i)

B (- 3 i)

C (6 - 2 i)

D (4 - 6 i)

.

1. Placer les points dans le repère.
2. Quelle est la nature du quadrilatère

ABDC

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

1. L'abscisse d'un point correspond à la partie réelle de son affixe.
L'ordonnée d'un point correspond à la partie imaginaire de son affixe.

2.

Le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme si, et seulement si, les vecteurs $AB$ et $CD$ sont égaux.
On calcule donc les affixes de ces deux vecteurs et on les compare.

Remarque

On pouvait également prouver que le milieu des deux diagonales

[AD]

[BC]

du quadrilatère

ABDC

sont les mêmes.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

2. On commence par calculer les affixes des vecteurs

AB

CD

z_{AB} = - 3 i - (2 + i) = - 3 i - 2 - i = - 2 - 4 i

z_{CD} = 4 - 6 i - (6 - 2 i) = 4 - 6 i - 6 + 2 i = - 2 - 4 i

Ainsi,

AB = CD

. On en déduit que

ABDC

est un parallélogramme. Pour s'entraîner : exercices

36 p. 226

70 p. 229

Page suivante

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

j'ai une idée !

Oups, une coquille

Ch. 1Suites

Ch. 2Fonctions

Ch. 3Dérivation

Ch. 4Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5Variables aléatoires

Automatismes

Ch. 6Trigonométrie

Ch. 7Produit scalaire

Ch. 8Nombres complexes

Ch. 9Compléments sur la dérivation

Ch. 10Primitives

Révisions Genially

Le plan complexe

A Définitions et propriétés

Calculer la forme algébrique d'un nombre complexe

Méthode

B Représentation dans le plan complexe

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v) qu'on appelle plan complexe.

Utiliser les complexes pour des problèmes géométriques

Méthode

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Ch. 1
Suites

Ch. 2
Fonctions

Ch. 3
Dérivation

Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles

Ch. 5
Variables aléatoires

Ch. 6
Trigonométrie

Ch. 7
Produit scalaire

Ch. 8
Nombres complexes

Ch. 9
Compléments sur la dérivation

Ch. 10
Primitives

A
Définitions et propriétés

B
Représentation dans le plan complexe

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O; u, v)$ qu'on appelle plan complexe.