Mathématiques 1re Techno

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 6
SPÉCIALITÉS STI2D - STL
Avant de commencer

Trigonométrie

10 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Capacités attendues

1. Convertir des degrés en radian et inversement.
2. Déterminer le cosinus et le sinus d'un angle.
3. Résoudre des équations de la forme \cos (x)=a ou \sin (x)=a.
4. Connaître et utiliser les propriétés des fonctions sinus et cosinus.
5. Faire le lien avec les grandeurs physiques modélisant des ondes et des oscillations.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Placeholder pour TrigonométrieTrigonométrie
Le zoom est accessible dans la version Premium.

À Alexandrie, Ératosthène de Cyrène (276-194 av. J.-C.) mesura l'angle formé entre les rayons du soleil et un objet vertical à midi lors du solstice d'été. Grâce à des calculs trigonométriques, il détermina une valeur approchée de la circonférence terrestre et obtint pour résultat 39375 km, relativement proche de la réalité (40075 km).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Rappels théoriques

Supplément numérique

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Calculer des expressions avec des fractions :

Propriétés :

Soient a, b, c et d des entiers (b et d non nuls).

1. \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}.

2. \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}.

3. Pour additionner deux fractions, on les met d'abord au même dénominateur.
4. Diviser par une fraction \dfrac{a}{b}, c'est multiplier par son inverse \dfrac{b}{a}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Déterminer le périmètre d'un cercle 
Le périmètre d'un cercle de rayon r est donné par la formule P = 2 \pi r.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Utiliser la proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l'une peuvent être obtenues en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul.

Pour remplir un tableau de proportionnalité on peut :
  • additionner (ou soustraire) les valeurs de deux colonnes ;
  • multiplier les valeurs d'une colonne par un même nombre ;
  • utiliser le coefficient de proportionnalité.

Exemple :

Compléter ce tableau de proportionnalité.
691524
3050

On a 6 = 15 - 9 donc la première case vide contient 50 - 30 = 20\:.
On a 24 = 6 \times 4 donc la dernière case contient 4 \times 20 = 80.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Utiliser le théorème de Pythagore et la trigonométrie dans un triangle rectangle :

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Exemple : 

Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{B}, \text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2, donc \text{AC}^2 = 3^2 + 4^2 = 25, donc \text{AC} = 5.
Triangle rectangle
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Définitions : 

Dans un triangle rectangle,
  • l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ;
  • le côté d'un angle aigu qui n'est pas l'hypoténuse est appelé le côté adjacent à l'angle aigu ;
  • le côté non adjacent à l'angle aigu est appelé le côté opposé à l'angle aigu.
Triangle rectangle
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{C}, les rapports de longueurs \dfrac{\text{AB}}{\text{CA}} , \dfrac{\text{AB}}{ \text{CB}} et \dfrac{\text{CA}} {\text{CB}} ne dépendent que de la mesure de l'angle \widehat{\text{BAC}}. Ainsi, on appelle :
  • le cosinus d'un angle aigu, le quotient \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} ;
  • le sinus d'un angle aigu, le quotient \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} ;
  • la tangente d'un angle aigu, le quotient \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Savoir étudier une fonction :

Définition :

Un tableau de signe résume le signe d'une fonction f selon les valeurs de x.

Méthode :

Soit f la fonction représentée ci-dessous.
Fonction
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. On commence par déterminer son ensemble de définition, ici [ -1 \: ; + \infty].
2. On repère les points où la fonction change de signe, ici en -0{,}8, 0 et 0{,}8.
3. On dresse le tableau (la fonction est négative quand la courbe est sous l'axe des abscisses, et positive lorsqu'elle est au-dessus).

Définition :

Un tableau de variations permet de résumer le sens de variation d'une fonction f selon les valeurs de x. La fonction est représentée par une flèche montante lorsqu'elle est croissante, et descendante lorsqu'elle est décroissante.

Méthode : 

Pour la fonction f ci-dessus.
1. On commence par déterminer son ensemble de définition, ici [ -1 \: ; + \infty].
2. On note les points où la fonction change de sens de variations : ici, en -0{,}5 et 0{,}5.
3. On dresse le tableau.

Fonction
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercices

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Prérequis

1. Calculer des expressions avec des fractions.
2. Utiliser la proportionnalité.
3. Déterminer le périmètre d'un cercle.
4. Utiliser le théorème de Pythagore et la trigonométrie dans un triangle rectangle.
5. Savoir étudier une fonction.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 1
Calcul fractionnaire

Calculer et simplifier au maximum les fractions suivantes.

1. \frac{1}{5}+\frac{7}{5}

2. \frac{1}{2}+\frac{3}{4}

3. \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}

4. \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}

5. \frac{\pi}{6}-\pi

6. \frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{5}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 2
Utiliser la proportionnalité

Les deux grandeurs x et y sont proportionnelles. Compléter le tableau suivant en indiquant les valeurs exactes.

x2027
1
y50
10
1
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 3
Calculer le périmètre d'un cercle

Quel est le périmètre d'un cercle de rayon \text{R} = 2 cm ?
De diamètre \text{D} = 6 m ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 5
Utiliser le théorème de Pythagore et la trigonométrie dans un triangle

On considère un triangle \text{ABC} rectangle en \text{A} et tel que \text{AB} = 3 et \text{BC} = 5.

1. Quelle est la longueur du segment \text{[AC]} ?

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée au degré près des angles \widehat{\text{ABC}} et \widehat{\text{ACB}}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 4
Étudier une fonction

On considère la fonction f définie, pour tout x \in \mathbb{R}, par f(x)=x^{2}+x.

1. Calculer l'image de 1 par f.

2. a. Justifier que, pour tout réel x, f(x)=x(x+1).

b. En déduire les éventuels antécédents de 0 par f.

3. On donne ci-dessous la représentation graphique de f.

Ex 4 : Représentation graphique f
Le zoom est accessible dans la version Premium.

a. Déterminer graphiquement les antécédents éventuels de 2 par f.

b. Dresser le tableau de signe et le tableau de variations de f sur \R.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exercice 6
Problème

Soient x un réel strictement positif et \text{ABC} un triangle rectangle en \text{A} tel que \mathrm{AC}=x et \mathrm{BC}=2 x.

1. Montrer que \mathrm{AB}=x \sqrt{3}.

2. Pour tout x>0, on note \text{P}(x) le périmètre du triangle \text{ABC}.
a. Montrer que \mathrm{P}(x) \approx 4,73 x.

b. Le périmètre du triangle est-il proportionnel à x ?

c. La phrase suivante est-elle vraie ou fausse ?
« Plus x est grand, plus le périmètre est grand. »
Justifier
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Anecdote

Observée en 1781, la planète Uranus ne semblait pas suivre une trajectoire compatible avec les lois de Newton et les influences des six autres planètes du système solaire alors découvertes. Les astronomes, en particulier le Français Le Verrier, imaginèrent l'existence d'une 8e planète susceptible d'expliquer cette étrange trajectoire. Ils effectuèrent des calculs reposant en partie sur les fonctions trigonométriques étudiées dans ce chapitre afin de prédire la position de cette planète hypothétique. Il ne restait plus qu'à pointer un télescope dans cette direction pour découvrir Neptune en 1846.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Testez vos connaissances sur ce quiz

Placeholder pour illu-boite-a-outil-chronoquizillu-boite-a-outil-chronoquiz
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Retrouvez un à réaliser en classe pour vérifier les prérequis de ce chapitre

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.