Trigonométrie

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Exemple : 

Dans le triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{B}$, ${\text{AC}}^2={\text{AB}}^2+{\text{BC}}^2$, donc ${\text{AC}}^2=3^2+4^2=25$, donc $\text{AC}=5$.

Définitions : 

Dans un triangle rectangle,

• l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ;
• le côté d'un angle aigu qui n'est pas l'hypoténuse est appelé le côté adjacent à l'angle aigu ;
• le côté non adjacent à l'angle aigu est appelé le côté opposé à l'angle aigu.

Dans le triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{C}$, les rapports de longueurs $\frac{\text{AB}}{\text{CA}}$ , $\frac{\text{AB}}{\text{CB}}$ et $\frac{\text{CA}}{\text{CB}}$ ne dépendent que de la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. Ainsi, on appelle :

• le cosinus d'un angle aigu, le quotient $\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}$ ;
• le sinus d'un angle aigu, le quotient $\frac{\text{opposeˊ}}{\text{hypoteˊnuse}}$ ;
• la tangente d'un angle aigu, le quotient $\frac{\text{opposeˊ}}{\text{adjacent}}$.

Définition :

Un tableau de signe résume le signe d'une fonction $f$ selon les valeurs de $x$.

Méthode :

Soit $f$ la fonction représentée ci-dessous.
1. On commence par déterminer son ensemble de définition, ici $[-1;+\infty ]$.
2. On repère les points où la fonction change de signe, ici en $-0,8$, $0$ et $0,8$.
3. On dresse le tableau (la fonction est négative quand la courbe est sous l'axe des abscisses, et positive lorsqu'elle est au-dessus).

Définition :

Un tableau de variations permet de résumer le sens de variation d'une fonction $f$ selon les valeurs de $x$. La fonction est représentée par une flèche montante lorsqu'elle est croissante, et descendante lorsqu'elle est décroissante.

Méthode : 

Pour la fonction $f$ ci-dessus.
1. On commence par déterminer son ensemble de définition, ici $[-1;+\infty ]$.
2. On note les points où la fonction change de sens de variations : ici, en $-0,5$ et $0,5$.
3. On dresse le tableau.

1. Calculer des expressions avec des fractions.
2. Utiliser la proportionnalité.
3. Déterminer le périmètre d'un cercle.
4. Utiliser le théorème de Pythagore et la trigonométrie dans un triangle rectangle.
5. Savoir étudier une fonction.

Calculer et simplifier au maximum les fractions suivantes.

1. $\frac{1}{5}+\frac{7}{5}$

2. $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$

3. $\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{3}$

4. $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}$

5. $\frac{\pi }{6}-\pi$

6. $\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{5}$

On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $f(x)=x^2+x$.

1. Calculer l'image de $1$ par $f$.

2. a. Justifier que, pour tout réel $x$, $f(x)=x(x+1)$.

b. En déduire les éventuels antécédents de $0$ par $f$.

3. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$.

a. Déterminer graphiquement les antécédents éventuels de $2$ par $f$.

b. Dresser le tableau de signe et le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Soient $x$ un réel strictement positif et $\text{ABC}$ un triangle rectangle en $\text{A}$ tel que $\mathrm{AC}=x$ et $\mathrm{BC}=2x$.

1. Montrer que $\mathrm{AB}=x\sqrt{3}$.

2. Pour tout $x>0$, on note $\text{P}(x)$ le périmètre du triangle $\text{ABC}$.
a. Montrer que $\mathrm{P}(x)\approx 4,73x$.

b. Le périmètre du triangle est-il proportionnel à $x$ ?

c. La phrase suivante est-elle vraie ou fausse ?
« Plus $x$ est grand, plus le périmètre est grand. »
Justifier

Vrai.

Faux.

Observée en 1781, la planète Uranus ne semblait pas suivre une trajectoire compatible avec les lois de Newton et les influences des six autres planètes du système solaire alors découvertes. Les astronomes, en particulier le Français Le Verrier, imaginèrent l'existence d'une 8^e planète susceptible d'expliquer cette étrange trajectoire. Ils effectuèrent des calculs reposant en partie sur les fonctions trigonométriques étudiées dans ce chapitre afin de prédire la position de cette planète hypothétique. Il ne restait plus qu'à pointer un télescope dans cette direction pour découvrir Neptune en 1846.