Chapitre 7
Exercices
Python
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Exercice 18
On a commencé à écrire un programme \color{purple}\bf{deg\_en\_rad}
en Python permettant de convertir un angle, donné en
degré, en radian.
1. Compléter le programme afin qu'il réponde au problème.
2. La fonction Python suivante est une amélioration de la version précédente.
a. Tester le programme pour différentes valeurs du paramètre \color{purple}\bf{degré}.
b. Que fait ce programme ?
c. Retrouver le tableau de correspondance degré-radian vu en cours à l'aide de ce programme.
from math import * def deg_en_rad(degré): return ...
1. Compléter le programme afin qu'il réponde au problème.
2. La fonction Python suivante est une amélioration de la version précédente.
def deg_en_rad2(degré): return(degré/180, 'pi')
a. Tester le programme pour différentes valeurs du paramètre \color{purple}\bf{degré}.
b. Que fait ce programme ?
c. Retrouver le tableau de correspondance degré-radian vu en cours à l'aide de ce programme.
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Exercice 19
On a écrit, en Python, la fonction \color{purple}\bf{mystère}.
1. Interpréter les lignes 4 et 5 du programme, puis les lignes 6 et 7.
2. À quoi cette fonction sert-elle ?
from math import *
def mystère(a):
if a <= -pi or a > pi:
return False
else :
return True
1. Interpréter les lignes 4 et 5 du programme, puis les lignes 6 et 7.
2. À quoi cette fonction sert-elle ?
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Exercice 20
On souhaite déterminer la mesure principale d'un angle en radian.
1. Rappeler la définition de la mesure principale d'un angle.
2. Compléter le programme suivant afin qu'il réponde au problème posé.
1. Rappeler la définition de la mesure principale d'un angle.
2. Compléter le programme suivant afin qu'il réponde au problème posé.
from math import *
def mesure_principale(angle):
if angle ... and angle ... :
return angle
elif angle <= -pi:
while angle <= ... :
angle = angle + 2*pi
return angle
else:
while angle > ... :
angle = ...
return angle
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Exercice 21
1. a. Quelles sont les valeurs de y pour lesquelles l'équation \sin (x)=y n'admet pas de solution ?
2. On souhaite écrire en Python un programme permettant d'obtenir, si elle existe, une solution approchée de l'équation \sin (x)=y sur \left[-\frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right].
On utilisera ici l'algorithme de dichotomie.
L'algorithme de dichotomie sert à résoudre de manière approchée des équations de la forme f(x)=y sur un intervalle \text{I} avec une précision p choisie par l'utilisateur.
On utilise le raisonnement suivant :
2. On souhaite écrire en Python un programme permettant d'obtenir, si elle existe, une solution approchée de l'équation \sin (x)=y sur \left[-\frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right].
On utilisera ici l'algorithme de dichotomie.
Rappel
Principe de l'algorithme de dichotomie
L'algorithme de dichotomie sert à résoudre de manière approchée des équations de la forme f(x)=y sur un intervalle \text{I} avec une précision p choisie par l'utilisateur.
On utilise le raisonnement suivant :
- on détermine deux réels a et b tels que : \left\{\begin{array}{l}
f(a) \lt y \\
f(b)>y
\end{array}\right. ou, inversement, \left\{\begin{array}{l}
f(a)>y \\
f(b)\lt y
\end{array}\right.
On peut souvent choisir pour valeurs de a et de b les bornes de l'intervalle \text{I} ; - dans chacun des cas envisagés ci-dessus, la fonction f prend
au moins une fois la valeur y entre a et b.
On détermine alors si f\left(\frac{a+b}{2}\right) \lt y ou si f\left(\frac{a+b}{2}\right)>y ; on procède alors de même sur \left[a \: ; \frac{a+b}{2}\right] ou sur \left[\frac{a+b}{2} \: ; b\right] selon les cas, et cela tant que la longueur de l'intervalle est supérieure ou égale à la précision p.
from math import *
def dichotomie_sin(y, p):
if y < ... or y > ...:
return False
else:
a = -pi/2
b = pi/2
while b - a >= p :
res = (a + b)/2
if sin(res) - y > 0:
b = res
else:
a = res
return res
a. On souhaite déterminer une solution approchée à 10^{-3} près de l'équation \sin (x)=0{,}5. Quelles sont ici les valeurs de y et de p ?
b. Quel résultat obtient-on en sortie d'algorithme ?
c. Observer le cercle trigonométrique. Quelle est la valeur \alpha comprise dans \left[-\frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right] telle que \sin (\alpha)=0{,}5 ? Est-ce cohérent avec le résultat de la question précédente ?
d. Utiliser l'algorithme pour déterminer une solution approchée à 10^{-5} de l'équation \sin (x)=0{,}25.
3. Que doit-on modifier dans le programme si on souhaite travailler avec la fonction \cos sur [0 \: ; \pi] ?
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
