Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 7
Exercices

Python

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Exercice 18
On a commencé à écrire un programme \color{purple}\bf{deg\_en\_rad} en Python permettant de convertir un angle, donné en degré, en radian.

from math import *

def deg_en_rad(degré):
  return ...

1. Compléter le programme afin qu'il réponde au problème.

2. La fonction Python suivante est une amélioration de la version précédente.

def deg_en_rad2(degré):
  return(degré/180, 'pi')

a. Tester le programme pour différentes valeurs du paramètre \color{purple}\bf{degré}.

b.  Que fait ce programme ?

c. Retrouver le tableau de correspondance degré-radian vu en cours à l'aide de ce programme.
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Exercice 19
On a écrit, en Python, la fonction \color{purple}\bf{mystère}.
from math import *

def mystère(a):
  if a <= -pi or a > pi:
    return False
  else :
    return True

1.  Interpréter les lignes 4 et 5 du programme, puis les lignes 6 et 7.

2. À quoi cette fonction sert-elle ?
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Exercice 20
On souhaite déterminer la mesure principale d'un angle en radian.

1. Rappeler la définition de la mesure principale d'un angle.

2.  Compléter le programme suivant afin qu'il réponde au problème posé.
from math import *

def mesure_principale(angle):
  if angle ... and angle ... :
    return angle
  elif angle <= -pi:
    while angle <= ... :
      angle = angle + 2*pi
    return angle
  else:
    while angle > ... :
      angle = ...
    return angle
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Exercice 21
1. a. Quelles sont les valeurs de y pour lesquelles l'équation \sin (x)=y n'admet pas de solution ?

2. On souhaite écrire en Python un programme permettant d'obtenir, si elle existe, une solution approchée de l'équation \sin (x)=y sur \left[-\frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right].
On utilisera ici l'algorithme de dichotomie.


Rappel
Principe de l'algorithme de dichotomie

L'algorithme de dichotomie sert à résoudre de manière approchée des équations de la forme f(x)=y sur un intervalle \text{I} avec une précision p choisie par l'utilisateur.

On utilise le raisonnement suivant :
  • on détermine deux réels a et b tels que : \left\{\begin{array}{l} f(a) \lt y \\ f(b)>y \end{array}\right. ou, inversement, \left\{\begin{array}{l} f(a)>y \\ f(b)\lt y \end{array}\right.

    On peut souvent choisir pour valeurs de a et de b les bornes de l'intervalle \text{I} ;

  • dans chacun des cas envisagés ci-dessus, la fonction f prend au moins une fois la valeur y entre a et b.
    On détermine alors si f\left(\frac{a+b}{2}\right) \lt y ou si f\left(\frac{a+b}{2}\right)>y ; on procède alors de même sur \left[a \: ; \frac{a+b}{2}\right] ou sur \left[\frac{a+b}{2} \: ; b\right] selon les cas, et cela tant que la longueur de l'intervalle est supérieure ou égale à la précision p.


from math import *

def dichotomie_sin(y, p):
  if y < ... or y > ...:
    return False
  else:
    a = -pi/2
    b = pi/2
    while b - a >= p :
      res = (a + b)/2
      if sin(res) - y > 0:
        b = res
      else:
        a = res
    return res

a. On souhaite déterminer une solution approchée à 10^{-3} près de l'équation \sin (x)=0{,}5. Quelles sont ici les valeurs de y et de p ?

b. Quel résultat obtient-on en sortie d'algorithme ?

c. Observer le cercle trigonométrique. Quelle est la valeur \alpha comprise dans \left[-\frac{\pi}{2} \: ; \frac{\pi}{2}\right] telle que \sin (\alpha)=0{,}5 ? Est-ce cohérent avec le résultat de la question précédente ?

d.  Utiliser l'algorithme pour déterminer une solution approchée à 10^{-5} de l'équation \sin (x)=0{,}25.

3. Que doit-on modifier dans le programme si on souhaite travailler avec la fonction \cos sur [0 \: ; \pi] ?
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