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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 6
Cours 3

Fonctions trigonométriques

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A
Fonctions cosinus et sinus

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Définitions
La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel x, associe \cos(x).
La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel x, associe \sin(x).
Les courbes des fonctions cosinus et sinus sont appelées des sinusoïdes.

Fonctions cosinus et sinus
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Propriété
La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.

Remarque
Une fonction f définie sur \R est :
  • paire lorsque, pour tout réel x, f(-x)=f(x) ;

  • impaire lorsque, pour tout réel x, f(-x)=-f(x).
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Démonstration

La fonction cosinus est paire car les symétries du cercle trigonométrique donnent que, pour tout réel x, \cos (-x)=\cos (x) et la fonction sinus est impaire car, pour tout réel x, \sin (-x)=-\sin (x).
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Propriété
Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2\pi.
Autrement dit, pour tout réel x, \cos (x+2 \pi)=\cos (x) et \sin (x+2 \pi)=\sin (x).

Remarque
Une fonction f définie sur \R est périodique de période \mathrm{T}>0 lorsque, pour tout réel x, f(x+\mathrm{T})=f(x).
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Propriétés
Les fonctions cosinus et sinus étant périodiques de période 2\pi, on peut restreindre leur étude à l'intervalle [-\pi \: ; \pi].

Les tableaux de signe et de variations sont donnés ci-dessous.

Tableaux de signe et de variations
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Remarque
Ces tableaux sont en cohérence avec les représentations graphiques.
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B
Fonctions de la forme \boldsymbol{t} \mapsto \mathbf{A} \bm{\cos} (\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{t}+\boldsymbol{\varphi}) et \boldsymbol{t} \mapsto \mathbf{A} \bm{\sin} (\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{t}+\boldsymbol{\varphi})

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Définition
On considère la fonction t \mapsto \text{A} \cos (\omega t+\varphi) (ou t \mapsto \mathrm{A} \sin (\omega t+\varphi)), où \text{A}, \omega et \varphi sont des réels fixés (avec \omega>0).

Le nombre réel \text{A} est appelé l'amplitude et \omega est appelé la pulsation.

De plus, l'expression \omega t+\varphi est appelée phase instantanée (au temps t) et \varphi est appelé phase à l'origine (correspondant à t = 0).

Remarque
Les fonctions de cette forme se rencontrent fréquemment en physique pour modéliser des oscillations ou des phénomènes ondulatoires.
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Propriété
Les fonctions t \mapsto \mathrm{A} \cos (\omega t+\varphi) et t \mapsto \mathrm{A} \sin (\omega t+\varphi) sont périodiques de période \frac{2 \pi}{\omega}.

Fonctions de la forme
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Remarque
  • Lorsque \text{A} > 0, \text{A} correspond au maximum de la fonction.

  • Lorsque \text{A} \lt 0, \text{A} correspond au minimum de la fonction.

  • En notant \text{T} la période, on a \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}}.
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Démonstration

Voir p. 185
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Application et méthode - 5

Étudier une fonction de la forme \bm{t} \mapsto \mathbf{A} \bm{\cos} \bm{(\omega t+\varphi)}

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Énoncé
On donne ci-dessous la représentation graphique \mathcal{C}_f d'une fonction f définie, pour tout réel t, par f(t)=\mathrm{A} \cos (\omega t), où \text{A} et \omega sont deux réels strictement positifs.

Déterminer à l'aide du graphique les valeurs de \text{A} et de \omega.

Application et méthode - 5 - Étudier une fonction de la forme
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Méthode

  • Si \mathrm{A}>0, alors \text{A} correspond au maximum de la fonction t \mapsto \text{A} \cos (\omega t+\varphi).
    Si \mathrm{A}\lt 0, alors \text{A} correspond au minimum de la fonction t \mapsto \mathrm{A} \cos (\omega t+\varphi).

  • On détermine graphiquement la période \text{T} de la fonction, puis on utilise la relation \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}}.
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Solution
  • \text{A} étant positif, \text{A} correspond au maximum de la fonction f, d'où \text{A} = 3.

  • On observe que f est périodique de période \pi. Donc \omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{\pi}=2.

  • En conclusion, pour tout réel t, f(t)=3 \cos (2 t).

Pour s'entraîner : p. 181

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