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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 6
Exercices

Applications directes

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Cercle trigonométrique et angles en radian

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Placeholder pour MathématiciensMathématiciens
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Exercice 22
Placer sur le cercle trigonométrique les réels 0, \frac{3 \pi}{4}, -\frac{\pi}{3} et \pi.
Ex 22 - Cercle trigonométrique
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Exercice 23
Placer sur le cercle trigonométrique les réels \frac{7 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{2}, 2\pi et 7\pi.
Ex 23 - Cercle trigonométrique
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Exercice 24
Convertir en radian les mesures suivantes. Donner les valeurs exactes.

1. 30\degree

2. 45\degree

3. 1\degree

4. 90\degree
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Exercice 25
Convertir en degré les mesures suivantes. Donner les valeurs exactes.

1. \pi rad

2. \frac{\pi}{3} rad

3. 1 rad

4. \frac{\pi}{5} rad
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Exercice 26
Compléter le tableau suivant permettant de passer de degré à radian et réciproquement.

Angle en degré0\degree60\degree
120\degree
Angle en radian
\frac{7 \pi}{6}
\frac{9 \pi}{5}
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Exercice 27
Sur la figure ci-dessous, \text{ABCD} est un carré. Donner une mesure des angles suivants en radian.
Ex 27 - Carré
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1. \widehat{\mathrm{BAD}}

2. \widehat{\mathrm{BAC}}

3. \widehat{\mathrm{DOC}}
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Exercice 28
Sur la figure ci-dessous, \mathcal{C} est le cercle trigonométrique. Quelle est la longueur de l'arc de cercle repassé en rouge ?

Ex 28 - cercle trigonométrique
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Exercice 29
Compléter les pointillés :
« La somme des trois angles d'un triangle est égale à
rad. »
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Exercice 30
Donner la mesure en radian de tous les angles d'un triangle équilatéral.
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Angle orienté et mesure principale

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Exercice 31
Dans chaque cas, tracer un exemple de deux vecteurs vérifiant la condition donnée.

1. (\vec{u}, \vec{v})=\frac{\pi}{2}

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2. (\vec{u}, \vec{v})=-\frac{\pi}{4}

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3. (\vec{u}, \vec{v})=0

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4. (\vec{u}, \vec{v})=\pi

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Exercice 32
Si quatre vecteurs \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} et \vec{d} sont tels que (\vec{a}, \vec{b})=(\vec{c}, \vec{d}), a-t-on nécessairement \vec{a}=\vec{c} et \vec{b}=\vec{d} ? Justifier.
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Exercice 33
Parmi les mesures suivantes, lesquelles sont des mesures principales ?
0 \: ; \frac{7 \pi}{6} \: ; \frac{3 \pi}{5} \: ; \frac{-9 \pi}{4} \: ; \frac{\pi}{5} \: ; \pi \: ;-\pi \: ;-\frac{32 \pi}{33}
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Exercice 34
Parmi les mesures suivantes, lesquelles sont des mesures principales ?
0 \: ; \frac{3 \pi}{2} \: ;-\frac{5 \pi}{6} \: ; \frac{7 \pi}{3} \: ;-\pi \: ;-\frac{2 \pi}{3}
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Exercice 35
Donner la mesure principale de chacun des angles orientés de mesures suivantes.
\frac{3 \pi}{2} \: ; \frac{19 \pi}{6} \: ; \frac{2 \pi}{3} \: ;-\frac{7 \pi}{4} ;-\pi \: ; \frac{33 \pi}{5} \: ; \frac{-\pi}{2}
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Cosinus et sinus d'un nombre réel

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Exercice 36
Déterminer le cosinus et le sinus des nombres réels suivants.
\pi \: ; \frac{\pi}{3} \: ; \frac{3 \pi}{2} \: ;-\frac{5 \pi}{6} \: ; \frac{2 \pi}{3} \: ;-\frac{\pi}{4}
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Exercice 37
Déterminer le cosinus et le sinus des nombres réels suivants.
0 \: ; \frac{\pi}{4} \: ; 2 \pi \: ; \frac{7 \pi}{3} \: ;-\frac{\pi}{6} \: ; \frac{3 \pi}{4}
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Exercice 38
Déterminer le cosinus et le sinus de 107\pi.
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Exercice 39
Déterminer les nombres réels qui sont solutions de l'équation \sin (x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
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Exercice 40
Parmi les égalités suivantes, déterminer lesquelles sont vraies.

1. \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)

2. \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left(-\frac{5 \pi}{6}\right)

3. \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)

4. \cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)=\cos \left(\frac{7 \pi}{6}\right)
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Exercice 41
Dans chaque cas, déterminer les nombres réels x de l'intervalle ]-\pi \: ; \pi] qui sont solutions des équations suivantes.

1. \cos (x)=1

2. \sin (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

3. \cos (x)=\frac{1}{2}

4. \sin (x)=-\frac{1}{2}
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Exercice 42
Dans chaque cas, résoudre dans \R l'équation donnée.

1. \cos (x)=0

2. \sin (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

3. \cos (x)=-17

4. \sin (x)=-\frac{1}{2}
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Étudier une fonction trigonométrique

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Exercice 43
Parmi les courbes suivantes, identifier en justifiant la courbe représentative de la fonction cosinus et celle de la fonction sinus.

Ex 43 - Courbes
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Courbe représentative de la fonction cosinus :

Courbe représentative de la fonction sinus :
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Exercice 44
1. Déterminer \cos \left(\frac{\pi}{3}\right).

2. Déterminer un antécédent de 1 par \sin.

3. Déterminer l'ensemble des antécédents de \frac{\sqrt{2}}{2} par \sin.
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Exercice 45
1. Justifier que pour tout réel x : \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right).
Aide
On pourra utiliser le cercle trigonométrique.

2. En déduire une propriété géométrique de la courbe représentative de la fonction sinus.
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Exercice 46
Dresser le tableau de variations des fonctions cosinus et sinus sur l'intervalle [0 \: ; 2 \pi].
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Exercice 47
Dresser le tableau de signe des fonctions cosinus et sinus sur l'intervalle [0 \: ; 2 \pi].
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Exercice 48
Pourquoi obtient-on la courbe représentative de la fonction sinus en effectuant la translation de la courbe représentative de la fonction cosinus de vecteur \frac{\pi}{2} \vec{i} ?
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Exercice 49
Quelle est la conséquence graphique du fait que la fonction sinus est une fonction impaire ?
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Exercice 50
Quel est le maximum et le minimum de la fonction cosinus sur \R ?
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Exercice 51
On considère la fonction f définie sur \R par : f(t)=4 \cos \left(3 t+\frac{\pi}{2}\right).

1. Indiquer l'amplitude, la pulsation et la phase à l'origine de f .

2. On donne la représentation graphique de f ci‑dessous. Déterminer par le calcul la longueur \text{AB}.

Ex 51 - représentation graphique
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Exercice 52
Déterminer la période de chacune des fonctions suivantes.

1. f(t)=3 \cos \left(2 t+\frac{\pi}{3}\right)

2. f(t)=5 \cos \left(t+\frac{\pi}{7}\right)

3. f(t)=\sin (\pi t)

4. f(t)=4 \cos \left(\frac{2}{\pi} t-\frac{\pi}{4}\right)
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Exercice 53
On considère une fonction f définie, pour tout réel t, par f(t)=\mathrm{A} \sin (\omega t+\varphi). Dans chaque cas, déterminer la valeur de la pulsation \omega connaissant la période \text{T}.

1. \mathrm{T}=2

2. \mathrm{T}=3 \pi

3. \mathrm{T}=\frac{\pi}{3}

4. \mathrm{T}=\frac{5}{3 \pi}
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Exercice 54
Soit f une fonction définie sur \R. On admet qu'il existe trois réels \omega, \varphi et \mathrm{A}>0 tels que, pour tout réel t, f(t)=\mathrm{A} \cos (\omega t+\varphi).
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction f.

Ex 54 - représentation graphique
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Aide
On pourra utiliser la valeur de la fonction f en 0.

1. Déterminer la valeur de \text{A}.

2. Déterminer la valeur de \omega.

3. Déterminer une valeur possible de \varphi.
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