Mathématiques 1re Techno

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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 6
TP Info

Performance optimale au lancer de poids

18 professeurs ont participé à cette page
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Énoncé
Afin d'aider une lanceuse de poids dans sa préparation aux Jeux olympiques, on modélise la trajectoire de ses lancers. On considère un repère (\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{J}), où le point \text{O} correspond à la position de la lanceuse et l'axe des abscisses représente le sol. Les lois de la physique permettent de montrer que la trajectoire du lancer correspond à la courbe représentative de la fonction f définie par f(x)=\frac{\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)} x-\frac{0,024}{\cos ^{2}(\alpha)} x^{2}, où \alpha est l'angle de lancer par rapport à l'horizontale et x est mesuré en mètre.

On appelle longueur du lancer l'abscisse du point correspondant au point d'impact du poids avec le sol.

Placeholder pour Performance optimale au lancer de poidsPerformance optimale au lancer de poids
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Représentation graphique d'une performance optimale au lancer de poids
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Question préliminaire

1. Montrer que l'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions : x=0 \text { et } x \approx 41{,}7 \sin (\alpha) \cos (\alpha).

2. Pourquoi peut-on dire que la deuxième solution correspond à la longueur du lancer ?
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Objectif

Déterminer pour quelle valeur de \bm \alpha le lancer est le plus performant, en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode de résolution 1
GeoGebra

1. Ouvrir GeoGebra en mode graphique et tracer la courbe représentative de :
f: x \mapsto \frac{\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)} x-\frac{0,024}{\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)} x^{2}.


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GeoGebra

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2. Déterminer graphiquement la longueur du lancer pour \alpha=\frac{\pi}{6}, puis pour chacune des valeurs \alpha dans le tableau ci-dessous.

\alpha\frac{\pi}{6}\frac{\pi}{5}\frac{\pi}{4}\frac{\pi}{3}
Longueur du lancer

3. Pour quelle valeur de \alpha la longueur du lancer semble t-elle la plus grande ? À combien de degré cet angle correspond-il ?

4. Comment peut-on interpréter physiquement le résultat obtenu ?
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Méthode de résolution 2
Tableur

1. Recopier la feuille de calcul où la colonne A contient tous les nombres entiers de 1 à 89 correspondant à l'angle \alpha en degré.

Placeholder pour TableurTableur
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2. a. Dans la cellule B2, entrer la formule : \color{purple}\bf{= 41.7^{*}SIN(RADIANS(A2))^{*}COS(RADIANS(A2))}.
Étendre ensuite la formule à toute la colonne.

b. À quoi la commande \color{purple}\bf{RADIANS} sert-elle ?

3.  Pour quel angle \alpha la longueur du lancer est-elle maximale ? Quelle est la mesure en radian correspondante ?

4. Comment peut-on interpréter physiquement le résultat obtenu ?
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Pour aller plus loin

On considère la fonction g définie sur \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right[ par g(\alpha)=41{,}7 \sin (\alpha) \cos (\alpha).

1. Tracer la courbe représentative de g à l'aide d'une calculatrice ou de GeoGebra.
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2. Déterminer graphiquement la valeur pour laquelle g atteint son maximum et retrouver le résultat précédent.
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