Espace et géométrie

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On donne les longueurs, en mètre, $\mathrm{AB}=400,\mathrm{AC}=300,\mathrm{BC}=500$ et $\mathrm{CD}=700$. Les droites $(\mathrm{AE})$ et $(\mathrm{BD})$ se coupent en $\mathrm{C}$. Les droites $(\mathrm{AB})$ et $(\mathrm{DE})$ sont parallèles.

1. Calculer la longueur $\text{DE}$.

2. Montrer que le triangle $\text{ABC}$ est rectangle.

3. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ABC}}$. Arrondir au degré.

4. Lors d'une course, les concurrents doivent effectuer plusieurs tours du parcours représenté ci-dessus.
Ils partent du point $\text{A}$, puis passent par les points $\text{B, C, D}$ et $\text{E}$ dans cet ordre, puis de nouveau par le point $\text{C}$ pour revenir au point $\text{A}$. Maltéo, le vainqueur, a mis $\text{1 h 48 min}$ pour effectuer les cinq tours du parcours. La distance parcourue pour faire un tour est de $2880\mathrm{m}$.
Calculer la distance totale parcourue pour effectuer les cinq tours du parcours.

5. Calculer la vitesse moyenne de Maltéo.

durée : 15 min ❯ Chapitre

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Mario, qui dirige un centre de plongée sous-marine en pleine expansion, décide de construire un bâtiment pour accueillir ses clients lors de la pause déjeuner.
Pour finir d'établir son budget, il ne lui reste plus qu'à calculer la quantité nécessaire de tuiles pour couvrir le toit de sa construction qu'il a schématisée ci-dessous.
Le croquis n'est pas réalisé à l'échelle.

On donne les informations suivantes :
$\mathrm{FI}=\mathrm{DK}=\mathrm{CL}=2,70\mathrm{m}$ ;
$\mathrm{IK}=\mathrm{FD}=5,06\mathrm{m}$ ;
$\mathrm{KL}=\mathrm{DC}=\mathrm{AB}=13\mathrm{m}$.
Les deux pentes de la toiture forment un angle $\widehat{\mathrm{FAD}}$ de mesure $76^{\circ }$ qui est partagé en deux parties égales de $38^{\circ }$.

1. Calculer $\text{AD}$ au centimètre près.

2. Calculer $\text{AE}$ au centimètre près.

3. En déduire le prix des tuiles nécessaires pour recouvrir les deux pentes du toit.

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Leïla est en visite à Paris.
Aujourd'hui, elle est au Champ de Mars où l'on peut voir la tour Eiffel, dont la hauteur totale $\text{BH}$ est de $324\mathrm{m}$.
Elle pose son appareil photo au sol à une distance $\mathrm{AB}=600\mathrm{m}$ du monument et le programme pour prendre une photo (voir le dessin ci-après).


1. Quelle est la mesure, au degré près, de l'angle $\widehat{\mathrm{HAB}}$ ?

2. Sachant que Leïla mesure $1,70\mathrm{m}$, à quelle distance $\mathrm{AL}$ de son appareil doit-elle se placer pour paraître aussi grande que la tour Eiffel sur sa photo ? Donner une valeur approchée du résultat au centimètre près.

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Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de $35{\mathrm{m}}^2$. Elle le compare à une yourte, l'habitat traditionnel mongol. Cette yourte est modélisée par un cylindre surmonté d'un cône.

On rappelle les formules suivantes :
- Aire du disque de rayon $r$ :
- Volume du cylindre de rayon $r$ et hauteur $h$ :
- Volume du cône de rayon $r$ et de hauteur $h$ :

1. Montrer que l'appartement de Samia offre une surface au sol plus petite que celle de la yourte.

2. Calculer le volume de la yourte en ${\mathrm{m}}^3$. Arrondir au centième.

3. Samia réalise une maquette de cette yourte à l'échelle $\frac{1}{25}.$ Quelle sera la hauteur de la maquette?