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Activités




A
Notion de limite en l’infini



Objectif
Introduire la notion de limite en l’infini et d’asymptote horizontale.


On considère les sept fonctions suivantes chacune définie sur son ensemble de définition :
 ;  ;  ;  ;  ;  ;
1
Déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces fonctions.

On s’intéresse au comportement de ces fonctions pour de très grandes valeurs de , c’est-à-dire lorsque tend vers .

2
a) À l’aide de GeoGebra ou de la calculatrice, tracer une représentation graphique de chaque fonction.

b) En justifiant le choix effectué, regrouper ces fonctions en deux catégories en s’appuyant sur leur comportement pour de très grandes valeurs de .


3
On considère les fonctions et
a) Comment choisir pour que le nombre soit supérieur à ? Supérieur à  ? Supérieur à  ?


b) Mêmes questions pour .


c) On dit que les fonctions et ont pour limite lorsque tend vers .
En s’inspirant de l’étude locale précédente, trouver un critère permettant de caractériser cette notion.


4
On considère à présent les fonctions et .
a) Comment choisir pour que soit inférieur à  ? Inférieur à  ? Inférieur à  ?


b) Comment choisir pour que soit inférieur à  ? Inférieur à  ? Inférieur à  ?


c) Caractériser le fait qu’une fonction a pour limite un réel , lorsque tend vers .


d) Comment pourrait-on bien visualiser graphiquement cette limite ?


5
Que peut-on dire des trois autres fonctions ?

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Bilan

Comment formuler le fait que certaines fonctions prennent des valeurs « infiniment grandes » ou des valeurs qui deviennent aussi proches que l’on veut d’un nombre quand devient de plus en plus grand ?

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B
Notion de limite infinie en un réel



Objectif
Introduire la notion d’asymptote verticale.


On considère la fonction définie sur un ensemble par . On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1
Déterminer l’ensemble de définition .


2
Graphiquement, comment peut-on visualiser la présence d’une valeur interdite ? Décrire notamment le comportement de la courbe représentative de autour de cette valeur interdite.


3
a) Donner l’image par des nombres suivants : ; ; et . Que remarque-t-on ?


b) Donner l’image par des nombres suivants : ; ; et . Que remarque-t-on ?


4
On considère la droite d’équation Cette droite coupe-t-elle  ? Justifier.

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Bilan

On dit que la droite d’équation est une asymptote verticale à .
Quel lien existe-t-il entre cette représentation graphique et les limites de lorsque tend vers ?
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C
Croissance comparée



Objectif

Comparer les croissances de la fonction exponentielle et des fonctions pour tout


Dans la première partie du cours, on a vu que, pour tout ,
1
a) À l’aide de GeoGebra ou de la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction .
b) Quelle semble être la limite de cette fonction en ?


2
Faire de même avec la fonction .


3
On donne ci-dessous les représentations graphiques et des fonctions et définies, pour tout , par et . Quelle semble être la limite de ces fonctions en ?
INF01
  
INF02


4
Étude de la fonction .
a) Dans un tableur, remplir la colonne A avec les nombres 1 à 50.
b) Écrire une formule dans la cellule B1 donnant l’image de A1 par la fonction pour pouvoir ensuite remplir la colonne B par copier-glisser. Que constate-t-on ? Quelle semble être la limite de en ?


5
Étude de la fonction .
a) Refaire la même procédure pour la fonction en utilisant la colonne C.
Que constate-t-on ? Quelle semble être la limite de en ?


b) Remplir la colonne D avec les nombres de à avec un pas de .
c) Écrire une formule dans la cellule E1 donnant l’image de D1 par la fonction , pour pouvoir ensuite remplir la colonne E par copier-glisser. Que constate-t-on ? Cela remet-il en cause l’hypothèse de la question
5
a) ?


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Bilan

Lorsque , quelle semble être la limite de la fonction en ?
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Remarque

Cette limite est démontrée dans l’exercice
92
.

INFO

Dans le langage courant, on utilise parfois l'expression « croissance exponentielle » pour désigner une croissance très rapide. Cette expression vient du fait que —comme on vient de le voir— toute fonction polynôme devient négligeable devant la fonction exponentielle pour des valeurs suffisamment grandes.
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