Associer un énoncé à sa modélisation

• Associer un énoncé donné à une représentation de plus en plus abstraite : situation imagée, schéma, modèle mathématique symbolique

Rappel des quatre étapes de résolution d'un problème : comprendre, modéliser, calculer et répondre.
(programmes du BO du 31 octobre 2024)

Savoir résoudre des problèmes est une compétence transversale. Elle recouvre plusieurs habiletés qui doivent toutes être maitrisées par les élèves pour réussir et qui s'enseignent de façon explicite. Parmi celles-ci, on retrouve la capacité à comprendre l'énoncé et à le traduire en situation, puis en question mathématique. Autrement dit, pouvoir répondre aux questions « Que cherche-t-on ? » et « Comment le traduire en symboles mathématiques ? ». C'est la mathématisation de l'énoncé que cette séquence propose donc de travailler en approfondissant les compétences « comprendre » et « modéliser ». Le calcul et la réponse ne sont pas au cœur du travail, ce qui permet aux élèves de se focaliser sur la démarche de recherche visant la compréhension profonde.

• Une grande affiche
• Fichier élève p. 168
• Ressources numériques à projeter

« Que veut dire "résoudre un problème" ? »

Laisser l'ensemble de la classe réfléchir pendant deux minutes, puis recueillir les réponses d'au moins quatre élèves. Les noter au tableau, puis faire réagir au moins deux autres élèves, qui peuvent compléter ou reformuler les propositions.

« Aujourd'hui, vous allez travailler la résolution de problèmes de façon différente par rapport aux autres séances de l'année. Cette fois-ci, trouver la bonne réponse ou le bon calcul n'est pas ce qui est demandé. Vous allez devoir trouver ce que signifie un énoncé en l'associant à une image. »

Associer un énoncé à une image.

Projeter le diaporama « Médailles ».

« À votre avis, quelle image correspond à l'énoncé ? »

Laisser les élèves chercher trois minutes, puis modeler la procédure de traitement de l'énoncé devant les élèves.

« Pour résoudre ce problème, il faut comprendre ce que l'on cherche. Pour cela, on s'imagine la situation dans sa tête en prélevant des informations dans l'énoncé. »

Prélever chaque information importante permettant de construire le sens de l'énoncé : « On lit d'abord "deux athlètes". On comprend donc qu'il s'agit d'une situation sportive et qu'il y a deux personnes. On lit ensuite "total de 43 médailles". On peut imaginer une quantité de médailles. On peut imaginer une remise de prix, ou la fin d'une saison sportive. On peut donc déjà se représenter une image dans sa tête. Que visualisez-vous ? »

Laisser l'ensemble des élèves réfléchir pendant deux minutes avant de recueillir au moins quatre réponses.

Passer à l'image suivante.

Laisser réagir les élèves.

« On voit deux athlètes. Les deux athlètes sont souriants. L'énoncé nous permet de compléter en partie cette image. »
Passer à l'image suivante pour afficher le nombre total de médailles. « On voit ensuite que le total de médailles est de 43. » Passer à l'image suivante pour afficher le nombre de médailles remportées par le premier athlète. « On voit que le premier athlète a remporté 27 médailles. On ne sait pas combien en a remporté le second. Si l'on relit l'énoncé, c'est la question qui est posée. On cherche donc le nombre de médailles remportées par le second athlète qui est à droite ici. C'est donc cette image qui correspond à l'énoncé. Je vais vous montrer la réponse au problème. Il y a une quantité totale, les 43 médailles, et deux parties, les médailles remportées par les deux athlètes. On cherche une partie. »

S'appuyer sur le modèle en barres.
Passer à l'image suivante pour afficher la réponse.
« Pour connaitre le nombre de médailles remportées par le second athlète, on retire le nombre de médailles reçues par le premier du nombre total remporté. Cela donne 43 - 27 = 16. Le second athlète a remporté 16 médailles. »

Projeter l'exercice 1 page 168 du fichier.

« Par deux, vous allez vous entrainer à trouver l'image qui correspond à l'énoncé. »

Circuler pour valider la procédure des élèves en réussite et aider ceux qui en ont besoin en reprenant avec eux la procédure pour prélever les informations utiles dans l'énoncé et créer une représentation mentale.

Solliciter au moins deux binômes qui expliciteront leur procédure de recherche à la classe. Valider la réponse correcte en reprenant la procédure utilisée lors du modelage.

« Pour associer un énoncé à une image, on lit l'énoncé et on prélève les mots qui donnent des informations utiles pour comprendre. On imagine ce que peut être la situation. Ensuite, on met en lien l'image et les données chiffrées qui sont mentionnées dans l'énoncé pour trouver ce qu'on cherche. » Créer une affiche comprenant ces explications ainsi que l'association d'un énoncé à sa représentation imagée.

Projeter et faire réaliser l'exercice 2 de la page 168 du fichier.

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : associer un énoncé à une image.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Pour associer un énoncé à une image, je dois... »

• Associer un énoncé à une représentation pour aller vers la modélisation

• L'affiche de la séance 1
• Fichier élève p. 169
• Ressources numériques à projeter

Afin de rappeler ce qui a été travaillé lors de la séance 1, laisser l'ensemble de la classe réfléchir durant deux minutes, puis solliciter au moins deux élèves pour l'expliciter.
« Vous avez appris à associer un énoncé à une image. Aujourd'hui, vous allez apprendre à associer un énoncé à une représentation, comme un schéma ou des écritures chiffrées. »

Associer un énoncé à sa représentation.

Projeter le diaporama « Poulaillers ».

« À votre avis, quelle représentation correspond à l'énoncé ? »
Laisser les élèves chercher trois minutes, puis modeler la procédure de traitement de l'énoncé devant les élèves.
« Pour résoudre ce problème, on doit comprendre ce que l'on cherche. Pour cela, on s'imagine la situation dans sa tête en prélevant des informations dans l'énoncé. »
Prélever chaque information importante permettant de construire le sens de l'énoncé : « On lit d'abord "63 poules". On comprend donc qu'on connait le total de poules. Puis on lit "répartir équitablement dans 7 poulaillers". Cela indique qu'il y a 7 poulaillers et un même nombre de poules dans chacun d'eux. Que voyez-vous ? »
Laisser l'ensemble des élèves réfléchir pendant deux minutes avant de recueillir au moins quatre réponses.
Passer à l'image suivante.
Laisser réagir les élèves.
« On voit 7 poulaillers avec des poules à l'intérieur. » Passer à l'image suivante pour afficher la représentation plus abstraite. « Pour résoudre le problème, on n'a pas forcément besoin de visualiser de vraies poules dans des enclos : on peut aussi visualiser des groupes de points entourés, qui les représentent. » Passer à l'image suivante pour afficher le total de poules. « On lit ensuite qu'il y a 63 poules à répartir. »
Passer à l'image suivante pour afficher la représentation avec les points d'interrogation. « On voit qu'il manque le nombre de poules par poulailler. D'ailleurs, si l'on relit l'énoncé, c'est la question qui est posée. Le nombre de poules dans chaque poulailler est ce que l'on cherche. C'est donc cette représentation qui correspond à l'énoncé. Je vais vous montrer la réponse au problème. Il y a un tout, le nombre de poules, et des parts égales, les 7 poulaillers comportant chacun le même nombre de poules. On cherche la valeur d'une part. »

S'appuyer sur le modèle en barres.
Passer à l'image suivante pour afficher la réponse.
« Pour connaitre le nombre de poules dans chaque poulailler, on a cherché combien de fois on peut mettre 7 dans 63. Cela donne 7 × … = 63, donc le chiffre que l'on cherche est 9. »

Projeter l'exercice 3 page 169 du fichier.
« Par deux, vous allez vous entrainer à trouver la représentation qui correspond à l'énoncé. »
Circuler pour valider la procédure des élèves en réussite et aider ceux qui en ont besoin en reprenant avec eux la procédure pour prélever les informations utiles dans l'énoncé et créer une représentation mentale.

Solliciter au moins deux binômes, qui expliciteront leur procédure de recherche à la classe. Valider la réponse correcte en reprenant la procédure utilisée lors du modelage.

« Pour associer un énoncé à un schéma ou à des écritures chiffrées ou des calculs, on lit l'énoncé, puis on prélève les mots qui donnent des informations utiles pour comprendre. On imagine ce que peut être la situation. Ensuite, on transforme les images mentales en schéma ou en écritures chiffrées, puis on traduit ce qu'on a compris de l'énoncé en calcul. » Compléter l'affiche créée en séance 1 avec l'association d'un énoncé à sa représentation ou modélisation.

Projeter et faire réaliser l'exercice 4 de la page 169 du fichier.

• Synthèse mathématique
« Qu'avez-vous appris durant cette séance ? »
Les élèves réfléchissent seuls, puis à deux.
Réponse attendue en revenant à la cible : associer un énoncé à un schéma.

• Bilan de l'apprentissage
Les élèves complètent oralement ou dans leur cahier d'apprentissage l'affirmation suivante : « Pour associer un énoncé à un schéma, je dois... »