Vers la troisième

Les pages suivantes permettent aux élèves de se préparer à la classe de troisième en proposant des exercices variés. Certains de ces exercices utilisent des notions de plusieurs chapitres. Le tableau suivant indique les chapitres concernés pour chaque exercice.

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Chapitres

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,

3

et

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Soit $x$ un nombre.
Dans cet exercice, on s'intéresse à l'expression $\mathrm{A}=\frac{1}{\frac{9}{8}\times x+\frac{3}{4}}.$

1. a. Quelle est la valeur de $\text{A}$ lorsque $x=\frac{2}{3}$ ?

b. Quelle est la valeur de $\text{A}$ lorsque $x=\frac{1}{\frac{9}{8}\times \frac{2}{3}+\frac{3}{4}}$ ?

2. Sans effectuer de calcul, déterminer la valeur de l'expression $\text{B}=\frac{1}{\frac{9}{8}\times \frac{1}{\frac{9}{8}\times \frac{1}{\frac{9}{8}\times \frac{2}{3}+\frac{3}{4}}+\frac{3}{4}}+\frac{3}{4}}.$

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Chapitre

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1. a. Tracer un carré $\text{ABCD}$ de côté 8 carreaux.

b. À l'aide d'un compas et d'une règle non graduée, suivre le programme de construction suivant.
c. Montrer que le triangle $\text{ABE}$ et le carré $\text{ABCD}$ ont la même aire.

2. a. Tracer un triangle $\text{FGH}$ rectangle en $\text{F}$ et de dimensions quelconques.

b. Proposer un programme de construction permettant, avec une règle non graduée et un compas, de tracer un rectangle ayant la même aire que $\text{FGH}$.

4

Chapitres

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et

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$\text{ABC}$ est un triangle. $\text{M}$ est un point de $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$ et $\text{N}$ est un point de $[\mathrm{A}\mathrm{C}]$ tels que $(\mathrm{M}\mathrm{N})$ est parallèle à $(\mathrm{B}\mathrm{C})$. De plus, on sait que $\text{AN = 12 cm}$ et $\text{NC = 6 cm}$.

1. Faire un schéma.

2. Exprimer la longueur $\text{MN}$ en fonction de la longueur $\text{BC}$.

3. a. Que vaut la longueur $\text{MN}$ si $\text{BC = 5 cm}$  ?

b. Compléter le tableau ci-dessous.


4. Que peut-on dire des longueurs $\text{BC}$ et $\text{MN}$ ? Pouvait‑on le prévoir ? Justifier.

5

Chapitres

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et

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Trois élèves d'une même classe de quatrième ont chacun obtenu trois notes sur 20 en mathématiques, toutes de même coefficient.

En utilisant les informations données, déterminer les élèves qui se trompent dans leur raisonnement. Justifier.

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Chapitres

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Chapitres

4

et

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9

Chapitre

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1. Tracer un quadrilatère $\text{ABCD}$ quelconque dont les côtés ne se croisent pas.


2. Déterminer la valeur de $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}}+\widehat{\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B}}$.

3. On suppose maintenant que $\widehat{\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=90^{\circ }$, que $\widehat{\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}}=110^{\circ }$ et que $\mathrm{A}\mathrm{B}=8\mathrm{c}\mathrm{m}$ et $\mathrm{B}\mathrm{D}=10\mathrm{c}\mathrm{m}$.
a. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{C}}$.

b. Calculer les mesures des angles du triangle $\text{BCD}$, arrondies au dixième près.

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Chapitres

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et

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11

Chapitre

5

Soit $x$ un nombre strictement positif. Reproduire et compléter les schémas suivants de manière à ce que toutes les figures représentées aient pour périmètre $\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

12

Chapitres

8

et

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Pour remplir la deuxième colonne du tableau suivant, Drishti décide de lancer deux dés équilibrés à six faces. La première ligne du tableau ci-dessous est complétée avec le résultat du premier dé et la deuxième ligne avec celui du deuxième dé. Drishti se demande quelle la probabilité qu'il obtienne ainsi un tableau de proportionnalité.


1. Dans le tableau suivant, cocher les cases permettant d'obtenir un tableau de proportionnalité.


2. En déduire alors la probabilité que Drishti obtienne un tableau de proportionnalité.

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Chapitres

2

et

7

Olivier, employé d'un institut de sondage, est chargé de créer un diagramme circulaire récapitulant les réponses obtenues à la question « De quelle couleur est votre voiture ? ». Malheureusement, un bug dans le système a détruit une grande majorité des données de ce sondage. Il ne lui reste plus que les informations suivantes.

• Les participants ne pouvaient répondre que bleue, rouge, grise ou noire à cette question.


• Les sondés ont répondu grise ou noire avec une fréquence de $\frac{5}{16}$.


• Les sondés ont répondu bleue ou rouge avec une fréquence de $\frac{11}{16}$.


• Les sondés ont répondu rouge ou grise avec une fréquence de $\frac{23}{48}$.


• $\frac{7}{48}$ des sondés ont répondu que leur voiture était noire.

Construire le diagramme circulaire représentant cette série statistique.

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Chapitres

11

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Chapitre

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Chapitres

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On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre $x$ par la formule $3x-5$.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant.


2. a. La fonction $f$ est représentée par une droite. Tracer cette droite dans un repère en prenant 1 carreau comme unité sur les deux axes.

b. Lire graphiquement le nombre en ordonnée associé au nombre $\text{2,5}$ en abscisse.

c. Lire graphiquement le nombre en abscisse auquel on associe le nombre $\text{4}$ en ordonnée.

3. a. Lorsque $x=-3,2$, calculer la valeur de la fonction $f$.

b. Calculer la valeur du nombre auquel on associe le nombre $-11$.

c. La droite représentant $f$ coupe l'axe des abscisses en un point. Calculer les coordonnées exactes de ce point.

4. Placer de façon exacte le nombre $\frac{1}{3}$ sur l'axe des abscisses.

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Chapitres

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Chapitre

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Soit $x$ un nombre strictement supérieur à $\text{1}$. On considère le rectangle suivant de longueur $x+1$ et de largeur $x-1$. 1. Exprimer l'aire de ce rectangle en fonction de $x$.

2. On colorie dans ce rectangle un rectangle en rouge de largeur $\text{1}$, comme indiqué.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Donner les dimensions (longueur et largeur) de ce rectangle rouge, puis celles du rectangle resté blanc, en fonction de $x$.

3. On découpe ce rectangle rouge avant de le coller comme indiqué. Déterminer les valeurs manquantes sur la figure 2.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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4. Justifier que l'aire de la figure 2 est égale à $x^2-1$.

5. En découpant ce rectangle rouge et en le déplaçant, a-t-on modifié l'aire de la figure initiale ? Que peut-on donc dire de $(x+1)(x-1)$ et de $x^2-1$ ?

6. Sans calculatrice et sans poser de calcul, déterminer le résultat du produit $101\times 99$.

7. En utilisant le résultat de la question 5, résoudre l'équation $(x+1)(x-1)=24$.

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Chapitre

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Chapitre

4

On colorie un carré de la façon suivante.

Combien y aura-t-il de petits carrés colorés en rouge à la dixième étape ?

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Chapitres

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