Enseignement mathématique 1re

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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 2
Méthodes

Méthodes et automatismes

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Méthode 1
Calculer des fréquences à partir d'un tableau

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Énoncé
Un groupe de skieurs est réparti selon leur préférence entre le ski de fond et le ski de piste de la façon ci-contre. Les skieurs qui ne sont pas débutants sont considérés comme étant expérimentés.

Répartition des skieurs
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1. Construire le tableau croisé d'effectifs correspondant en différenciant les caractéristiques Débutant/Expérimenté d'une part et Ski de fond/Ski de piste d'autre part.

2. Calculer la fréquence des skieurs préférant le ski de piste.

3. Calculer, parmi les skieurs préférant le ski de piste, la fréquence des skieurs débutants.
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Méthode

1. Le diagramme permet de remplir les quatre cases roses. Ensuite, on remplit par additions les cellules jaunes, qui correspondent aux effectifs marginaux. Enfin, on remplit la cellule verte avec l'effectif total.

2. À partir d'un tableau croisé, on peut calculer :
  • les fréquences marginales en utilisant les effectifs marginaux (cases jaunes) ;
  • les fréquences conditionnelles en utilisant une sous-population de la population étudiée (donc une seule ligne ou une seule colonne).
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Solution
1. On obtient le tableau d'effectifs suivant.

DébutantsExpérimentésTotal
Ski de fond131730
Ski de piste11920
Total242650

2. La fréquence des skieurs préférant le ski de piste est \frac{20}{50}=0,4. Il s'agit d'une fréquence marginale.

3. Parmi les skieurs préférant le ski de piste, la fréquence des débutants est \frac{11}{20}=0,55. Il s'agit d'une fréquence conditionnelle.
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Automatismes

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7
À l'oral

On considère le tableau d'effectifs suivant.

\mathbf{A}\mathrm{\overline{\mathbf{A}}}Total
\mathrm{\mathbf{B}}412376788
\mathrm{\overline{\mathbf{B}}}12367561992
Total164811322780

1. Calculer la fréquence marginale de \mathrm{A}.


2. Quelle est la fréquence marginale de \mathrm{\overline{\mathrm{B}}} ?


3. Calculer la fréquence conditionnelle de \mathrm{A} sachant \mathrm{B}.


4. Quelle est la fréquence conditionnelle de \mathrm{\overline{\mathrm{B}}} sachant \mathrm{A} ?
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8

Le tableau ci-dessous présente les activités préférées d'un groupe de 50 personnes.

1. Compléter ce tableau croisé.

PétanquePiscineCartesTotal
Femmes6168
Hommes1028
Total

2. Calculer les cinq fréquences marginales, et interpréter les résultats.


3. a. Calculer la fréquence conditionnelle des femmes parmi les joueurs de cartes.


b. Parmi les femmes, quelle est la fréquence des joueuses de pétanque ?
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9

On donne la répartition des élèves d'un groupe en fonction des langues étudiées.

EspagnolAllemand
Garçon36
Fille96

1. Recopier le tableau, en ajoutant une ligne et une colonne pour y indiquer les effectifs marginaux.


2. Parmi tous les élèves, quelle est la fréquence marginale des garçons ? Des élèves étudiant l'espagnol ?


3. a. Parmi les garçons, quelle est la fréquence des élèves étudiant l'espagnol ?


b. Parmi les élèves étudiant l'espagnol, quelle est la fréquence de garçons ?
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Méthode 2
Passer d'un tableau à un arbre pondéré

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Énoncé
On reprend la situation de la méthode 1. On choisit un skieur au hasard et on note \text{A} l'événement « Le skieur préfère le ski de piste » et \text{B} l'événement « Le skieur est débutant ».

1. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{A}), puis compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
arbre pondéré
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2. Donner la valeur de \mathrm{P_{A}(B)} et interpréter le résultat.
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Méthode

  • On utilise le tableau d'effectifs pour calculer les probabilités désirées

  • Attention, les probabilités du deuxième niveau de l'arbre (et éventuellement les suivants) sont des probabilités conditionnelles.
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Solution
1. \mathrm{P}(\mathrm{A}) est indiqué en rouge sur la branche menant à l'événement \mathrm{A: P(A)=\frac{20}{50}=0,4}.
\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{A})=0,6.

2. \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0,55. C'est la probabilité conditionnelle que \mathrm{B} se réalise sachant que \mathrm{A} s'est réalisé. La probabilité que le skieur choisi soit débutant, sachant qu'il préfère le ski de piste, est \mathrm{0,55}.

correction de l'arbre
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Automatismes

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10
À l'oral

Une étude portant sur 100 personnes a donné les résultats suivants.

GauchiersDroitiersTotal
Filles54550
Garçons153550
Total2080100

On choisit au hasard une des personnes ayant participé à l'étude et on note :
  • \mathrm{D} l'événement : « La personne choisie est droitière » ;
  • \mathrm{F} l'événement : « La personne choisie est une fille »

Compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

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11

Le club de badminton de la commune souhaite organiser une coupe loisir et sonde ses adhérents pour savoir s'ils comptent y participer.

Souhaitent participerNe souhaitent pas participer
Hommes255
Femmes202

On choisit un adhérent du club au hasard et on note :
  • \mathrm{P} l'événement : « L'adhérent souhaite participer à la coupe loisir » ;
  • \mathrm{H} l'événement : « L'adhérent est un homme ».

Compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.

On écrira les probabilités sous forme de fractions irréductibles.

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Méthode 3
Vérifier l'indépendance de deux événements

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Énoncé
Pour chacune des situations suivantes, déterminer si les événements \mathrm{A} et \mathrm{B} sont indépendants.

Situation 1 : À partir de valeurs.

Soit \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements tels que :

\mathrm{P}(\mathrm{A})=0,375
\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0,2
\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=0,3
\mathrm{A} et \mathrm{B} sont-ils indépendants ?

Situation 2 : À partir d'un tableau croisé d'effectifs.

On donne les statistiques suivantes sur les élèves d'un lycée.
Porte des lunettesNe porte pas de lunettesTotal
Mesure plus de 1,80 m162440
Mesure moins de 1,80 m6298160
Total78122200

On choisit au hasard un élève. Les événements \mathrm{A} : « L'élève mesure plus de 1,80 m » et \mathrm{B} : « L'élève porte des lunettes » sont-ils indépendants ?
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Méthode

  • Une première méthode consiste à se ramener à la définition d'une probabilité conditionnelle pour calculer la probabilité \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) et conclure

  • Dans un tableau, on peut calculer directement les probabilités \mathrm{P}(\mathrm{B}) et \mathrm{P_{A}(B)}, puis vérifier qu'elles sont égales pour répondre à la question.
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Solution
Situation 1 :
On calcule \mathrm{P}(\mathrm{B})=1-\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0,8 et \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\frac{0,3}{0,375}=0,8.
Comme \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}), alors \mathrm{A} et \mathrm{B} sont indépendants.

Situation 2 :

On calcule directement à l'aide des données du tableau \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{78}{200}=0,39 et \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\frac{16}{40}=0,4 \neq 0,39.
Donc \mathrm{A} et \mathrm{B} ne sont pas indépendants.
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Automatismes

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12
À l'oral

Soit \mathrm{A} et \mathrm{B} deux événements tels que \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,8, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0,4 et \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=0,32.

Les événements \mathrm{A} et \mathrm{B} sont-ils indépendants ? Justifier.
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13
À l'oral

Sur les 50 bâtiments d'une rue, on a relevé les effectifs suivants.

ClimatisésNon-climatisésTotal
Habitations122335
Bureaux10515
Total222850

On entre dans un bâtiment au hasard. Les événements « Le bâtiment est climatisé » et « Il s'agit d'un bâtiment de bureaux » sont-ils indépendants ?
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14

Soit \mathrm{C} et \mathrm{D} deux événements tels que \mathrm{P(C)=0,28, P(\bar{D})=0,7} et \mathrm{P(C \cap D)=0,196}.

Les événements \mathrm{C} et \mathrm{D} sont-ils indépendants ?
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15

Les garçons et les filles d'une classe de première sont soit demi-pensionnaires, soit externes. Leur répartition est donnée selon le tableau d'effectifs à double entrée suivant.

ExternesDemi-pensionnaires
Garçons39
Filles412

On choisit dans la classe un élève au hasard.

Les deux événements « L'élève est un garçon » et « L'élève est externe » sont-ils indépendants ?


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16

Lors de l'impression d'un document par un imprimeur, deux défauts majeurs peuvent intervenir : une erreur liée à l'encre, dont on estime la probabilité d'apparition à \mathrm{0,08}, ou une erreur liée à la feuille, dont la probabilité d'apparition s'élève à \mathrm{0,02}.

On estime que la probabilité qu'une impression cumule les deux défauts s'élève à \mathrm{0,01}.

Les deux événements « L'impression rencontre un problème d'encre » et « L'impression rencontre un problème de feuille » sont-ils indépendants ? Justifier.
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Méthode 4
Modéliser une succession d'événements indépendants

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Énoncé
On lance trois fois de suite une punaise en l'air, de manière identique et indépendante. On suppose que la probabilité qu'elle tombe à plat sur le dos à chaque lancer est égale à \mathrm{0,43}. Quelle est la probabilité qu'elle ne tombe jamais à plat sur le dos ? Arrondir le résultat à \mathrm{10^{-3}} près.
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Solution
On peut modéliser cette expérience aléatoire par l'arbre pondéré ci-contre, où \mathrm{T}_i est l'événement « La punaise est tombée à plat sur le dos au i-ième lancer ».

Pour tout i , on a \mathrm{P}(\mathrm{T}_i)=0,43 donc \mathrm{P(\overline{\mathrm{T}_i})=0,57}.

Le chemin rouge est celui qui nous intéresse. La probabilité cherchée est donc \mathrm{0,57 \times 0,57 \times 0,57 \approx 0,185}.
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Méthode

On utilise la bonne propriété du cours : dans un arbre, la probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités situées sur les branches qui le composent.

correction de l'arbre
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Automatismes

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17
À l'oral

On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir deux résultats différents ?
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18
À l'oral

Dans une urne opaque contenant deux boules rouges et trois boules vertes, on prélève successivement trois boules, au hasard et avec remise. Quelle est la probabilité que la troisième boule prélevée soit rouge ?
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19

On considère l'arbre pondéré ci-dessous.

1. Calculer \mathrm{P(A \cap S)}
2. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{S})
3. Quelle probabilité peut-on facilement lire sur cet arbre : \mathrm{P}_{\mathrm{S}}(\mathrm{B}) ou \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{S}) ?


arbre pondéré
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20

On a regroupé, dans deux sachets distincts, des jetons correspondant aux six voyelles de l'alphabet dans le premier sachet et aux vingt consonnes de l'alphabet dans le second.

On pioche au hasard un jeton de chacun des sachets, en commençant par le sachet contenant les voyelles.

Calculer la probabilité d'obtenir \mathrm{Y} puis \mathrm{C}.
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21

On lance quatre fois de suite une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir pile à chaque fois ?
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22

On lance successivement trois dés cubiques non pipés. Construire un arbre pondéré modélisant cette situation et en déduire la probabilité d'obtenir au maximum deux 4.

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23

Chaque jour du lundi au vendredi, Timéo est en retard au lycée avec une probabilité égale à \mathrm{0,15}. En supposant ses déplacements indépendants, quelle est la probabilité que, une semaine donnée, Timéo ne soit jamais en retard ?
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