Enseignement mathématique 1re

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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
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Partie 2
Histoire des mathématiques

Probabilités

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Une histoire des probabilités
C'est à Gerolamo Cardano (1501-1576) que l'on doit la toute première tentative de mathématiser les probabilités, dans son livre Liber de ludo alea (1564). Cependant, un des points de départ d'une réflexion scientifique sur les probabilités est le célèbre problème des partis, énoncé pour la première fois en 1494 par Luca Pacioli (1445-1517) dans son encyclopédie mathématique, la Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita (voir ci-après).

150 ans plus tard, Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre de Fermat (1607-1665) échangent sur ce même problème, qui porte alors le nom du problème du chevalier de Méré, afin de lui apporter une solution généralisable. S'inspirant de ces échanges, Christian Huygens (1629-1695) publie en 1657 son Tractatus de Ratiociniis in Alea Ludo qui constitue le premier traité mathématique consacré aux probabilités et ouvre la voie à cette nouvelle branche des mathématiques.

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Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita de Luca Pacioli.
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Le problème des partis
On peut résumer le problème dont il est question dans les échanges épistolaires entre Pascal et Fermat de la façon suivante : deux joueurs (appelés partis) misent chacun 32 pistoles et participent à un jeu qui se gagne au meilleur des cinq manches. Le gagnant remporte la somme des deux mises soit 64 pistoles. Si le jeu est interrompu avant de pouvoir arriver à sa fin (par exemple sur le score de deux manches à une), comment les joueurs doivent‑ils se répartir les gains pour l'équité ?

Ni Pascal ni Fermat ne parlent encore de probabilités mais chacun calculent pourtant ce qui s'apparente à des espérances de gains. Fermat apporte une solution qui se base sur le dénombrement alors que Pascal choisit une solution élégante qui s'appuie sur son triangle arithmétique. Les solutions présentées dans ces échanges épistolaires sont généralisables à d'autres situations.

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FermatPierre de
Fermat
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Pierre de Fermat (1607‑1665)

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Blaise Pascal (1623-1662)

Placeholder pour triangle arithmétique de Blaise Pascaltriangle arithmétique de Blaise Pascal
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Réponse apportée par Pascal au problème des partis sur six manches avec une mise de 256 pistoles chacun.
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Solution proposée par Pascal
Pascal explique un premier principe : si les deux partis (ayant la même chance de gagner) ont deux victoires chacun, lors de la partie suivante, l'un emportera la mise et l'autre rien. L'espérance du gain est donc \frac{1}{2} \times 64+\frac{1}{2} \times 0=32. Puis, il procède à reculons comme on l'illustre avec les arbres suivants.

Placeholder pour Extrait de « Œuvres » de Blaise Pascal.Extrait de « Œuvres » de Blaise Pascal.
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Extrait de « Œuvres » de Blaise Pascal.

étapes de la solution de Pascal
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L'espérance de gains lors de cette étape 2 est donc {\frac{1}{2} \times 64+\frac{1}{2} \times 32=48}. Il remonte alors toutes les étapes pour obtenir les espérances de gains à tous les instants où la partie peut s'interrompre.
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Probabilités conditionnelles et indépendance
Dans The Doctrine of Chances publié à Londres en 1718, Abraham de Moivre (1667-1754) est le premier mathématicien à aborder la notion d'indépendance d'événements. C'est à une œuvre de Thomas Bayes (1702-1761), publiée à titre posthume en 1763 par son ami mathématicien Richard Price (1723-1791), que l'on doit la première théorie sur les probabilités conditionnelles : An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances.

Placeholder pour Thomas BayesThomas Bayes
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Thomas Bayes (1702-1761)

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					Doctrine of Chances.Extrait de An Essay towards Solving a Problem in the
					Doctrine of Chances.
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Extrait de An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances.

Le corollaire ci-dessus fait partie de la proposition 3 du livre et correspond à la définition que l'on donne aujourd'hui de la probabilité d'un événement \mathrm{B} conditionné par un événement {\mathrm{A}: \mathrm{P}_\mathrm{{A}}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}} lorsque \mathrm{P}(\mathrm{A}) \neq 0

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