Méthodes et automatismes

On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par $f(x)=\frac{1}{4}{x}^2$ dont on donne la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ ci-dessous.



Tracer la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point $\mathrm{A}$ d'abscisse $-2$ sachant que son coefficient directeur vaut $-1.$

• On calcule l'ordonnée du point $\mathrm{A}$ pour le placer correctement.


• En partant de $\mathrm{A}$, on se décale d'une unité en suivant l'axe des abscisses puis du coefficient directeur $-1$ en suivant l'axe des ordonnées. Le point d'arrivée est noté $\mathrm{B}$.


• On trace la droite $(\mathrm{AB})$ qui est la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ en $\mathrm{A}$.

Le point $\mathrm{A}$ d'abscisse $-2$ appartient à ${\mathcal{C}}_f$ donc son ordonnée est $f(-2)=\frac{1}{4}\times (-2{)}^2=1$.

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À l'oral

Soit $d$ une droite et $\mathrm{M}$ un point de $d$.

Que peut-on dire de la tangente à $d$ au point $\mathrm{M}$ ?

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À l'oral

Soit $\mathcal{C}$ une courbe et $\mathrm{A}$ un point de $\mathcal{C}$. On note $\mathrm{T}$ la tangente à $\mathcal{C}$ en $\mathrm{A}$.

Vrai ou faux : l'ordonnée du point $\mathrm{A}$ est le coefficient directeur de $\mathrm{T}$ ? Justifier.

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Tracer approximativement les tangentes à cette courbe aux points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$.

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Soit $f$ la fonction inverse définie pour tout réel $x\ne 0$ et $f(x)=\frac{1}{x}$.

1. Tracer la courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $[0,5;5]$.

2. Tracer la tangente au point d'abscisse $2$ sachant que le coefficient directeur est $-0,25$.

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Soit $f$ la fonction carré définie pour tout réel $x$. Les coefficients directeurs des tangentes à la courbe représentative de $f$ aux points d'abscisse $-2$ ; $-1,5$ ; $-1$ ; $0$ ; $1$ et $2$ valent respectivement $-4$ ; $-3$ ; $-2$ ; $0$ ; $2$ et $4$.

Tracer la représentation graphique de $f$ en prenant en compte ces informations.

Soit $g$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $g(x)=x^3+1,5x^2-9x+4$. On note ${\mathcal{C}}_g$ sa représentation graphique. Soit $\mathrm{D}(-2;20)\in {\mathcal{C}}_g$ et $\mathrm{T}$ la tangente à ${\mathcal{C}}_g$ au point $\mathrm{D}$. On admet que $\mathrm{T}$ passe par $\mathrm{E}(2;8)$. Déterminer $g^{\prime }(-2)$.

• Il faut se rappeler qu'un nombre dérivé correspond au coefficient directeur de la tangente au point considéré.


• On utilise la formule $\frac{y_{\mathrm{E}}-y_{\mathrm{D}}}{x_{\mathrm{E}}-x_{\mathrm{D}}}$ pour calculer le coefficient directeur de la droite $(\mathrm{DE})$.


• Le nombre obtenu correspond au nombre dérivé de $g$ en $-2$.

$g^{\prime }(-2)$ est le nombre dérivé de la fonction $g$ en $-2$, donc $g^{\prime }(-2)$ est le coefficient directeur de la tangente à ${\mathcal{C}}_g$ au point d'abscisse $-2$.

Ainsi, $g^{\prime }(-2)=\frac{8-20}{2-(-2)}=\frac{-12}{4}=-3$ donc le nombre dérivé de $g$ au point $\mathrm{D}$ d'abscisse $-2$ est $g^{\prime }(-2)=-3$.

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À l'oral

Si la courbe représentative de $f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $a$, quelle est la valeur de $f^{\prime }(a)$ ? Justifier.

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On a tracé ci-dessous la représentation graphique d'une fonction $f$ et sa tangente au point $\mathrm{A}$ d'abscisse $-1$.



1. En utilisant les coordonnées de deux points, déterminer le coefficient directeur de cette tangente.

2. Quel nombre dérivé peut-on en déduire ?

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La courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$. Les droites tracées sont les tangentes à ${\mathcal{C}}_f$ en $\mathrm{A}$, en $\mathrm{B}$ et en $\mathrm{C}$. Déterminer graphiquement les valeurs de $f^{\prime }(0)$, $f^{\prime }(2)$ et $f^{\prime }(3)$.

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Tracer une courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f(2)=-1\text{ et }{f}^{\prime }(2)=3$.