Variations instantanées

Soit $\mathrm{A}\in {\mathcal{C}}_f$. On appelle tangente à ${\mathcal{C}}_f$ en $\mathrm{A}$, lorsqu'elle existe, la droite qui passe par $\mathrm{A}$ et qui est la position limite des sécantes $(\mathrm{AM})$ lorsque le point $\mathrm{M}$ devient aussi proche que l'on veut du point $\mathrm{A}$.

En conservant les notations précédentes, la tangente obtenue est une approximation de la courbe au voisinage du point $\mathrm{A}$. Si on zoome assez sur la courbe en $\mathrm{A}$, la tangente et la courbe sont confondues.

Le coefficient directeur de la tangente $\mathrm{T}$ à ${\mathcal{C}}_f$ en $\mathrm{A}$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$. Il se note $f^{\prime }(a)$.

Pour calculer le coefficient directeur d'une droite $d$, on utilise la méthode suivante.

1. On choisit deux points $\mathrm{A}\left(x_A;y_A\right)$ et $\mathbf{B}\left(x_{\mathrm{B}};y_{\mathrm{B}}\right)$ appartenant à $d$. Il faut choisir des points $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$ dont les coordonnées peuvent être lues ou calculées précisément.

2. On calcule le coefficient directeur de d à l'aide de la formule $\frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}$.

$f^{\prime }(a)$ peut s'interpréter comme étant le taux de variation instantanée de $f$ en $a$. En particulier, on a vu dans

l'activité C

que le nombre dérivé $f^{\prime }(a)$ correspond à la vitesse instantanée en km/h au temps $a$ lorsque $f(x)$ représente la distance parcourue en km au bout d'un temps $x$ exprimé en heure.

Une voiture est arrêtée à un feu rouge. Lorsque le feu passe au vert, la voiture avance et accélère progressivement. Si la voiture parcourt $100$ mètres en 20 secondes, sa vitesse moyenne est

$V_m=\frac{d}{t}=\frac{100}{20}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Notons $V(t)$ la vitesse de la voiture à n'importe quel instant t entre 0 s et 20 s.

Notons $V(8)$ donne la vitesse instantanée en m/s. Cette vitesse est indiquée par le compteur de la voiture, en km/h, au bout de 8 secondes.

$V^{\prime }(8)$ donne la variation de la vitesse au bout de 8 secondes. C'est ce qu'on appelle l'accélération instantanée de la voiture. L'accélération représente donc le taux de variation instantanée de la vitesse.