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Chapitre 5
Pour aller plus loin
Définition du nombre dérivé et équation de tangente
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Cette double-page permet d'approfondir les notions de ce chapitre et de travailler de façon différenciée avec les élèves de la classe, notamment avec les plus à l'aise en mathématiques ou bien avec celles et ceux qui souhaiteraient choisir l'option mathématiques complémentaires en terminale.
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Cours
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Définition
Soit une fonction définie sur un intervalle et soit a un réel appartenant à .
On dit que est dérivable en lorsque la limite du taux d'accroissement , quand prend des valeurs aussi proches que l'on veut de , est un nombre réel.
Ce réel, noté , est appelé nombre dérivé de en .
On écrit alors
On dit que est dérivable en lorsque la limite du taux d'accroissement , quand prend des valeurs aussi proches que l'on veut de , est un nombre réel.
Ce réel, noté , est appelé nombre dérivé de en .
On écrit alors
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Propriétés
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle . Alors, pour tout , une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse est donnée par .
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Exercices
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37
Soit la fonction définie sur par .
1. Soit un réel non nul. Exprimer en fonction de .
2. Montrer que est dérivable en et déterminer .
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38
Soit la fonction définie, pour tout réel , par . On souhaite déterminer, pour tout , la valeur de .
Soit un nombre réel non nul.
1. Montrer que, pour tous réels et :
2. Écrire le taux d'accroissement de la fonction entre et Simplifier l'expression obtenue au maximum.
3. En déduire que .
4. Quelle est la valeur de ? De ?
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40
Soit une fonction dont on note la courbe représentative. Soit un réel strictement positif. On considère les points d'abscisse et d'abscisse appartenant tous les deux à .
1. Donner l'ordonnée du point et du point en fonction de et .
2. Calculer et simplifier le coefficient directeur de la droite . Quel nombre retrouve-t-on ?
3. a. Que peut-on dire des points et lorsque le nombre devient aussi proche que l'on veut de ?
b. Quelle propriété retrouve-t-on sur les tangentes et les sécantes ?
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39GeoGebra
Soit la fonction définie sur .
Soit un réel strictement positif.
1. Montrer que
2. Que peut-on dire de ce quotient lorsque devient aussi proche que l'on veut de ?
3. a. La fonction est-elle définie pour ?
b. La fonction est-elle dérivable en ?
4. À l'aide de GeoGebra, tenter de tracer la tangente à la courbe de au point d'abscisse .
GeoGebra
Que remarque-t-on ? Justifier graphiquement que le nombre dérivé de en n'existe pas.
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41
Soit une fonction définie sur dont on donne la courbe représentative ci-dessous.
Déterminer par lecture graphique l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de dessinée en orange au point d'abscisse .
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42
Soit une fonction définie sur dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
Déterminer par lecture graphique l'équation réduite de la tangente à la courbe de dessinée en bleu au point d'abscisse .
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43
Soit une fonction définie sur dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
1. Déterminer graphiquement l'équation réduite de la tangente à la courbe de dessinée en orange au point d'abscisse .
2. Retrouver ce résultat en utilisant la propriété de la page précédente.
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44
L'objectif de cet exercice est de conjecturer une propriété portant sur les nombres dérivés des fonctions paires.
On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction paire définie sur ainsi que trois de ses tangentes.
On donne leurs équations : ; et
On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction paire définie sur ainsi que trois de ses tangentes.
On donne leurs équations : ; et
1. a. Comment observe-t-on graphiquement que fonction est paire ?
b. Déterminer la valeur de chacun des nombres suivants : , et .
2. a. En justifiant à l'aide de propriétés graphiques, déterminer , et .
b. Dans le cas général, quelle relation entre et peut-on conjecturer pour tout réel lorsque est une fonction paire ?
b. Déterminer la valeur de chacun des nombres suivants : , et .
2. a. En justifiant à l'aide de propriétés graphiques, déterminer , et .
b. Dans le cas général, quelle relation entre et peut-on conjecturer pour tout réel lorsque est une fonction paire ?
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45
On souhaite déterminer dans cet exercice un résultat pour les fonctions impaires analogue à celui étudié à l'exercice 44 pour les fonctions paires.
On a représenté ci-dessous une fonction impaire.
On a représenté ci-dessous une fonction impaire.
1. Comment observe-t-on graphiquement que cette fonction est impaire ?
2. Déterminer graphiquement les nombres dérivés suivants et les reporter dans le tableau.
3. Quel lien peut-on conjecturer entre et lorsque g est une fonction impaire ?
2. Déterminer graphiquement les nombres dérivés suivants et les reporter dans le tableau.
| -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | |
3. Quel lien peut-on conjecturer entre et lorsque g est une fonction impaire ?
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