Dérivation

Les travaux de Newton et de Leibniz sont sensiblement similaires. Il s'agit de déterminer une valeur approchée de la longueur de l'arc de courbe entre $\mathrm{M}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }$ en utilisant le triangle $\mathrm{MAB}$ ci-contre rectangle en $\mathrm{A}$, où $(\mathrm{MB})$ est la tangente à la courbe en $\mathrm{M}$.

Newton, célèbre pour sa théorie de la gravitation universelle, publie tardivement ses travaux sur le sujet en 1671 dans Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum. L'influence de la physique y est omniprésente. Il considère un objet se déplaçant du point $\mathrm{M}$ au point ${\mathrm{M}}^{\prime }$ en un temps infinitésimal qu'il note $o$. Les vitesses horizontale et verticale de cet objet théorique sont respectivement notées $\dot{x}$ et $\dot{y}$. Il peut alors écrire, dans le triangle ci-dessus, $a=\dot{xo}$ et $b=\dot{yo}$. Il effectue ses calculs en considérant que certaines valeurs peuvent être négligées puisque le temps $o$ considéré est infinitésimal. Cette démarche lui permet d'aboutir à une approximation valide de la longueur d'arc recherchée.

Leibniz ne connaît pas les travaux de Newton mais trouve que les méthodes de ses contemporains sont trop compliquées et cherche à les simplifier. En 1684, il écrit un mémoire où il introduit ses idées : Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus..., & Singulare pro illis Calculi Genus.

Il note $a=\mathrm{d}x$, $b=\mathrm{d}y$ et $c=\mathrm{d}s$ les longueurs du triangle $\mathrm{MAB}$ précédent qu'il appelle triangle caractéristique infinitésimal. Il utilise le théorème de Pythagore et simplifie ses calculs en expliquant lui aussi que certaines valeurs peuvent être considérées comme négligeables.

On sait depuis longtemps calculer des puissances entières comme $3^4=3\times 3\times 3\times 3$. Mais quelle signification pourrait-on donner à des puissances irrationnelles comme par exemple $3^{\sqrt{2}}$ ? La réponse rigoureuse à ce besoin n'a pu se faire qu'avec le développement du calcul différentiel, la formalisation de la notion de fonction et la construction de la fonction logarithme. Nous voici donc entre la fin du XVII^e siècle et le début du XVIII^e.

Dans une lettre de 1690 de Leibniz à Huygens (1629-1695), on trouve la première définition de la base naturelle des logarithmes, nombre qui sera plus tard noté e. En 1690, Jacques Bernoulli étudie le problème des taux d'intérêt composés continus et, en 1694, les échanges entre Jean Bernoulli et Leibniz permettent de mieux définir la fonction exponentielle. Dans son Principia Calculi Exponentialium seu Percurrentium publié en 1697, Jean Bernoulli étudie complètement la fonction exponentielle. C'est à Leonhard Euler (1707-1783) que l'on doit la première utilisation de la lettre $\mathrm{e}$ comme notation pour la base du logarithme naturel (1728) et comme notation pour l'exponentielle. En 1778, il démontre que e est un nombre irrationnel et il en donne une valeur approchée à $23$ décimales. Il faudra enfin attendre 1874 et les travaux de Charles Hermite (1822-1901) pour prouver que le nombre $\mathrm{e}$ est transcendant, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être solution d'une équation algébrique.