Fiche méthode 8
Outils mathématiques
L' écriture du résultat d'un calcul
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A Chiffres significatifs
❯ Définition
Ce sont les chiffres de la valeur expérimentale qui indiquent la précision de la mesure.
Exemple : une longueur de 2 m est une longueur comprise entre 1\text{,}5 et 2\text{,}5 m. Une longueur de 2\text{,}0 m est comprise entre 1\text{,}95 et 2\text{,}05 m. En sciences physiques, un 0 de plus à droite change beaucoup de choses alors qu'en mathématiques, écrire 2 et 2\text{,}0 reviendrait au même. En sciences, dans 2\text{,}0 m, on dit que le 2 et le 0 sont significatifs.
❯ Compter les chiffres significatifs d'une valeur
Ce sont les chiffres de la valeur expérimentale qui indiquent la précision de la mesure.
Exemple : une longueur de 2 m est une longueur comprise entre 1\text{,}5 et 2\text{,}5 m. Une longueur de 2\text{,}0 m est comprise entre 1\text{,}95 et 2\text{,}05 m. En sciences physiques, un 0 de plus à droite change beaucoup de choses alors qu'en mathématiques, écrire 2 et 2\text{,}0 reviendrait au même. En sciences, dans 2\text{,}0 m, on dit que le 2 et le 0 sont significatifs.
❯ Compter les chiffres significatifs d'une valeur
- Un 0 est compté s'il y a au moins un chiffre différent de 0 sur l'une des positions à gauche dans l'écriture du nombre.
- Une puissance de 10 ne compte pas.
Notation
CS : chiffres significatifs.
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B Expression du résultat d'un calcul
❯ Addition et soustraction
Le résultat a le même niveau de précision que le nombre qui a la décimale la moins précise.
Exemple : d_{1}=2\text{,}0 m, d_{2}=16 cm et D=d_{1}+d_{2}. Avec d_{1}=2\text{,}0 m et d_{2}=0\text{,}16 m. Alors : D=d_{1}+d_{2}=(2\text{,}0 + 0\text{,}16) m =2\text{,}2 m.
d_{1} est précis au 10e de mètre alors que d_{2} l'est au 100e de mètre. Le résultat est donc au 10e de mètre.
Le résultat a le même niveau de précision que le nombre qui a la décimale la moins précise.
Exemple : d_{1}=2\text{,}0 m, d_{2}=16 cm et D=d_{1}+d_{2}. Avec d_{1}=2\text{,}0 m et d_{2}=0\text{,}16 m. Alors : D=d_{1}+d_{2}=(2\text{,}0 + 0\text{,}16) m =2\text{,}2 m.
d_{1} est précis au 10e de mètre alors que d_{2} l'est au 100e de mètre. Le résultat est donc au 10e de mètre.
❯ Multiplication et division
Le résultat a le même nombre de chiffres significatifs que le terme le moins précis.
Exemple : v=\dfrac{2 \pi R}{t}=\dfrac{2 \pi \times 5\text{,}42}{1\text{,}5 \times 10^{2}}=2\text{,}3 \times 10^{-1} m·s‑1
2 \pi et 102 ne sont pas issues de mesures : ces valeurs sont exactes. Il n'y a donc pas de CS à compter.
5\text{,}42 a 3 CS et 1\text{,}5 a 2 CS \rightarrow 2 CS au résultat.
Le résultat a le même nombre de chiffres significatifs que le terme le moins précis.
Exemple : v=\dfrac{2 \pi R}{t}=\dfrac{2 \pi \times 5\text{,}42}{1\text{,}5 \times 10^{2}}=2\text{,}3 \times 10^{-1} m·s‑1
2 \pi et 102 ne sont pas issues de mesures : ces valeurs sont exactes. Il n'y a donc pas de CS à compter.
5\text{,}42 a 3 CS et 1\text{,}5 a 2 CS \rightarrow 2 CS au résultat.
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C Estimer la réussite d'une mesure
❯ Remarque : X_{\text {théo}} peut aussi être accompagné d'une incertitude. Elle est donnée si besoin.
- Regarder si l'intervalle de confiance de X_{\text {théo}} a des points communs avec celui de X_{\text {exp}}.
- Estimer si l'écart relatif (noté \text{E}(X)) est inférieur à 5 % (critère arbitraire classique au lycée).
E(X)=\left|\dfrac{X_{\text {théo}}-X_{\text {exp}}}{X_{\text {théo}}}\right| Il indique si l'écart entre X_{\text {exp}} et X_{\text {théo}} est important ou non. Il permet donc d'estimer la qualité du résultat : plus il est petit, et meilleure est la mesure.
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