Nos classiques
Sommaire
Mes pages
N° Page
Algèbre
Analyse
Géométrie
Probabilités et statistiques
Annexes
/ 353
Chapitre 7
Cours 2

Cosinus et sinus d'un nombre réel

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Généralités

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Définition
On considère un réel x ayant pour point image le point \text{M} sur le cercle trigonométrique.
  • L'abscisse du point \text{M} est appelée cosinus de x. On la note \cos (x).
  • L'ordonnée du point \text{M} est appelée sinus de x. On la note \sin (x).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Cosinus et sinus d'un nombre réel
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Pour tout nombre réel x, on a :
  • -1 \leqslant \cos (x) \leqslant 1
  • -1 \leqslant \sin (x) \leqslant 1
  • \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Notation

Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on pourra écrire directement \cos x et \sin x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Comme \text{M} est sur le cercle trigonométrique et que ce cercle a pour rayon 1, par définition du sinus et du cosinus, on obtient directement les deux premiers résultats. Pour le dernier résultat, on utilise le théorème de Pythagore en prenant le rayon [\mathrm{OM}] du cercle comme hypoténuse.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
  • \cos ^{2}\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\sin ^{2}\left(\dfrac{\pi}{7}\right)=1

  • \cos ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)+\sin ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=1
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Notation

{\cos ^{2}(x)} {=[\cos (x)]^{2}}
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Sachant que x \in\left[\dfrac{\pi}{2} \:; \pi\right] et que \sin (x)=0{,}4, donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de \cos (x).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

  • On utilise la formule \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1 qui permet de relier le sinus et le cosinus d'un nombre.
  • On résout l'équation associée.
  • On choisit la bonne valeur en utilisant l'intervalle auquel appartient x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
On sait que \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1 donc \cos ^{2}(x)=1-0{,}4^{2}=0{,}84.
On en déduit que \cos (x)=\sqrt{0{,}84} ou \cos (x)=-\sqrt{0{,}84}
Or, x \in\left[\dfrac{\pi}{2} \:; \pi\right] donc \cos (x) \leqslant 0 et ainsi \cos (x)=-\sqrt{0{,}84} \approx-0{,}92

Pour s'entraîner
Exercices
29
 à
31
 p. 193
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Valeurs remarquables

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Tableau des valeurs remarquables à connaître :

 angle0\dfrac{\pi}{6}\dfrac{\pi}{4}\dfrac{\pi}{3}\dfrac{\pi}{2}\pi\dfrac{3\pi}{2}2\pi
 \cos(x)1\dfrac{\sqrt{3}}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{1}{2}0-101
 \sin(x)0\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{2}10-10
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Voir
Travailler ensemble
 p. 192.

Cosinus et sinus d'un nombre réel
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

Grâce à ce tableau, on peut en déduire d'autres mesures de cosinus et sinus comme on le verra dans les exercices.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration au programme

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration au programme

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
Sans utiliser la calculatrice, déterminer la valeur exacte de \cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right) \times \sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

  • On commence par repérer les valeurs remarquables qui seront utiles.
  • En s'aidant du cercle trigonométrique et des symétries, on détermine les valeurs intervenant dans l'expression.
  • On effectue le calcul sans faire d'erreur de signe.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=-\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{-1}{2}

\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right)=-\sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{-1}{2}

\sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=-\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}

Donc, \cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right) \times \sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{-\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{-2+\sqrt{3}}{4}

Pour s'entraîner
Exercices
32
 et
33
 p. 193
Fermer
Page précédente
Page suivante

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

j'ai une idée !

Oups, une coquille

Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.