Sommaire

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 5

Cours 2

Opérations sur les limites

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A
Propriétés

On considère deux fonctions

f

g

, et deux réels

ℓ

ℓ^{'}

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Propriétés (admises)

Si $f$ a pour limite	$ℓ$	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$
et si $g$ a pour limite	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$
alors $f + g$ a pour limite	$ℓ + ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	F.I.

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Remarque

Ces propriétés donnent la limite en

a

de la somme, du produit ou du quotient de

f

g

a

pouvant désigner un réel ou

+ \infty

- \infty

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Remarque

« F.I. » signifie forme indéterminée : on ne peut pas déterminer la limite par simple lecture du tableau.

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Exemple

x \to + \infty lim x^{2} = + \infty

x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0

donc

x \to + \infty lim (x^{2} + \frac{1}{x}) = + \infty

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Propriétés (admises)

Si $f$ a pour limite	$ℓ$	$ℓ > 0$	$ℓ > 0$	$ℓ < 0$	$ℓ < 0$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$0$
et si $g$ a pour limite	$ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$ ou $- \infty$
alors $f \times g$ a pour limite	$ℓ ℓ^{'}$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	F.I.

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Exemple

x \to + \infty lim x^{2} = + \infty

x \to + \infty lim x = + \infty

donc

x \to + \infty lim (x^{2} x) = + \infty

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Propriétés (admises) : cas où

l i m_{x \to \infty} g (x) \neq = 0

Si $f$ a pour limite	$ℓ$	$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$ ou $- \infty$
et si $g$ a pour limite	$ℓ^{'} \neq = 0$	$+ \infty$ ou $- \infty$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$ℓ^{'} > 0$	$ℓ^{'} < 0$	$+ \infty$ ou $- \infty$
alors $\frac{f}{g}$ a pour limite	$\frac{ℓ}{ℓ ^{'}}$	$0$	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	F.I.

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Propriétés (admises) : cas où

l i m_{x \to σ} g (x) = 0

Si $f$ a pour limite	$ℓ > 0$ ou $+ \infty$	$ℓ < 0$ ou $- \infty$	$ℓ > 0$ ou $+ \infty$	$ℓ < 0$ ou $- \infty$	$0$
et si $g$ a pour limite	$0$ avec $g (x) > 0$	$0$ avec $g (x) > 0$	$0$ avec $g (x) < 0$	$0$ avec $g (x) < 0$	$0$
alors $\frac{f}{g}$ a pour limite	$+ \infty$	$- \infty$	$- \infty$	$+ \infty$	F.I.

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Exemple

x \to 2 lim x^{2} = 4

x \to 2 lim (x - 2)^{2} = 0

(x - 2)^{2} > 0

donc

x \to 2 lim \frac{x ^{2}}{( x - 2 ) ^{2}} = + \infty

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Notation

On peut écrire

0^{+}

pour indiquer que les valeurs sont aussi proches de

0

que l'on veut en restant positives (idem avec

0^{-}

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Application et méthode - 3

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Énoncé

f

est définie sur

R

par

f (x) = x^{4} - x

. Déterminer la limite de

f

- \infty

.
2.

g

est définie sur

] 0; + \infty [

par

g (x) = x^{2} (\frac{1}{x} + 5)

. Déterminer la limite de

g

+ \infty

.
3.

h

est définie sur

R \ {1}

par

h (x) = x^{2} + 3 x + \frac{1}{x - 1}

. Déterminer les limites à droite et à gauche en

1

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Méthode

On décompose les fonctions en somme, produit ou quotient de fonctions dont on connaît la limite.
On détermine la limite de chacune de ces fonctions connues.
On applique les propriétés résumées dans les tableaux.

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Solution

4

est pair donc

x \to - \infty lim x^{4} = + \infty

. De plus,

x \to - \infty lim x = - \infty

donc, par produit,

x \to - \infty lim (- x) = + \infty

.

Et donc, par somme,

x \to - \infty lim f (x) = + \infty

x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0

x \to + \infty lim 5 = 5

donc, par somme,

x \to + \infty lim (\frac{1}{x} + 5) = 5.

De plus,

x \to + \infty lim x^{2} = + \infty

donc, par produit,

x \to + \infty lim g (x) = + \infty.

3. On pose

P (x) = x^{2} + 3 x

P

est un polynôme donc

x \to 1 lim P (x) = P (1)

d'où

x \to 1 lim (x^{2} + 3 x) = 4

.

D'autre part,

x \to 1 x > 1 lim (x - 1) = 0^{+}

donc, par quotient,

x \to 1 x > 1 lim \frac{1}{x - 1} = + \infty

et ainsi, par somme,

x \to 1 x > 1 lim h (x) = + \infty.

De la même manière,

x \to 1 x < 1 lim (x - 1) = 0^{-}

. Ainsi,

x \to 1 x < 1 lim \frac{1}{x - 1} = - \infty

et donc, par somme,

x \to 1 x < 1 lim h (x) = - \infty.

Pour s'entraîner

Exercices 24 à 26
p. 177

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B
Formes indéterminées

Dans plusieurs cas, les théorèmes d'opérations ne permettent pas de déterminer la limite éventuelle d'une fonction. On parle alors de formes indéterminées. Cela signifie que l'on ne peut pas conclure immédiatement en utilisant les opérations.

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Exemple

x \to + \infty lim x = + \infty

x \to + \infty lim x^{2} = + \infty

.

Pour tout

x \neq = 0

\frac{x ^{2}}{x} = x

donc

x \to + \infty lim \frac{x ^{2}}{x} = x \to + \infty lim x = + \infty

.

En revanche, pour tout

x \neq = 0

\frac{x}{x ^{2}} = \frac{1}{x}

donc

x \to + \infty lim \frac{x}{x ^{2}} = x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0

.

Donc, lorsque deux fonctions ont pour limite

+ \infty

, il n'est pas possible de déterminer la limite de leur quotient sans une étude plus approfondie. Pour les polynômes, la mise en facteur du monôme de plus haut degré permettra de lever l'indétermination. Cette méthode permet de démontrer les deux propriétés suivantes.

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Remarque

D'autres méthodes pour lever une indétermination seront développées dans les exercices.

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Propriété

+ \infty

et en

- \infty

, une fonction polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.

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Remarque

Cette propriété et la suivante ne sont valables qu'en

+ \infty

- \infty

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Démonstration

Soit

P

une fonction polynôme définie pour tout

x

réel par

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

où

a_{n} \neq = 0

n ⩾ 1

.
Pour tout

x \neq = 0

, on a

P (x) = x^{n} (a_{n} + a_{n - 1} \frac{1}{x} + \dots + a_{1} \frac{1}{x ^{n - 1}} + a_{0} \frac{1}{x ^{n}}) .

On sait que, pour tout

n \in N^{*}

x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0

.
Donc,

x \to + \infty lim (a_{n} + a_{n - 1} \frac{1}{x} + \dots + a_{1} \frac{1}{x ^{n - 1}} + a_{0} \frac{1}{x ^{n}}) = a_{n}

.
Donc, par produit,

P

a la même limite en

+ \infty

que

x \mapsto a_{n} x^{n}

.
On procède de même pour la limite en

- \infty

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Propriété (admise)

Soient

P

une fonction polynôme dont

a_{p} x^{p}

est le monôme de plus haut degré, et

Q

une fonction polynôme dont le monôme de plus haut degré est

a_{q} x^{q}

, où

p

q

sont des entiers naturels.
Alors

x \to + \infty lim \frac{P ( x )}{Q ( x )}

= x \to + \infty lim (\frac{a _{p}}{a _{q}} \times x^{p - q})

x \to - \infty lim \frac{P ( x )}{Q ( x )} = x \to - \infty lim (\frac{a _{p}}{a _{q}} \times x^{p - q}) .

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Remarque

Une fonction écrite sous la forme d'un quotient de polynômes est une fonction rationnelle.

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Exemples

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{4} - 2 x + 1}{2 x - 1}

= x \to + \infty lim \frac{3 x ^{4}}{2 x}

= x \to + \infty lim \frac{3}{2} x^{3} = + \infty

x \to - \infty lim \frac{x ^{4} - 2 x + 1}{x - 1}

= x \to - \infty lim \frac{x ^{4}}{x}

= x \to - \infty lim x^{3} = - \infty

3. Cas d'une fonction non rationnelle :

x \to + \infty lim \frac{x + 1}{x - 1}

= x \to + \infty lim \frac{x ( 1 + \frac{1}{x} )}{x ( 1 - \frac{1}{x} )}

= x \to + \infty lim x = + \infty

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Remarque

Pour l'exemple 3., on factorise par

x

puis on utilise la propriété suivante : « Pour tout

x ⩾ 0

x = x \times x

. »

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Application et méthode - 4

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Énoncé

f

est définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = \frac{x + 2}{x ^{2} + x x} .

Déterminer la limite de

f

+ \infty.

g

est définie sur

R

par

g (x) = \frac{x ^{3} - x ^{2} + 4}{x ^{2} + 1}

. Déterminer la limite de

g

- \infty

.
3.

h

est définie sur

R \ {1}

par

h (x) = \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x - 1}

. Déterminer la limite de

h

1

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Méthode

1. • On obtient une forme de type «

\frac{\infty}{\infty}

» : on ne peut donc pas conclure immédiatement.
• On met en facteur le terme dominant du numérateur et du dénominateur.
• On simplifie l'expression au maximum.
• On applique les propriétés résumées dans les tableaux.
2. • On reconnaît une fonction rationnelle.
• On utilise la propriété du cours permettant de trouver sa limite en

- \infty

.
3. • On obtient une forme de type «

\frac{0}{0}

» : on ne peut donc pas conclure immédiatement.
•

h

est une fonction rationnelle mais on cherche sa limite en

1

. On ne peut donc pas utiliser la propriété utilisée en 2..
• On factorise à l'aide d'une identité remarquable et on conclut.

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Solution

1. Pour tout

x > 0

f (x) = \frac{x + 2}{x ^{2} + x x}

= \frac{x ( 1 + \frac{2}{x} )}{x ^{2} ( 1 + \frac{x x}{x ^{2}} )}

= \frac{1 + \frac{2}{x}}{x ( 1 + \frac{1}{x} )}

x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0

donc, par produit,

x \to + \infty lim \frac{2}{x} = 0

et donc, par somme,

x \to + \infty lim (1 + \frac{2}{x}) = 1

x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0

donc, par somme,

x \to + \infty lim (1 + \frac{1}{x}) = 1

x \to + \infty lim x = + \infty

donc, par produit,

x \to + \infty lim x (1 + \frac{1}{x}) = + \infty

.

Enfin, par quotient,

x \to + \infty lim f (x) = 0

g

est une fonction rationnelle donc

x \to - \infty lim g (x)

= x \to - \infty lim \frac{x ^{3}}{x ^{2}}

= x \to - \infty lim x = - \infty

.

Donc

x \to - \infty lim g (x) = - \infty

.
3. Pour tout

x \in R \ {1}

h (x) = \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 1} = x - 1.

x \to 1 lim (x - 1) = 0

donc

x \to 1 lim h (x) = 0.

Pour s'entraîner

Exercices 27
et 28
p. 177

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Méthode

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B
Formes indéterminées