Mathématiques Terminale Spécialité

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Cours 2

Opérations sur les limites

9 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Propriétés


On considère deux fonctions f et g, et deux réels \ell et \ell'.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés (admises)
Si f a pour limite\ell\ell\ell+\infty-\infty+\infty
et si g a pour limite\ell'+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty
alors f + g a pour limite\ell + \ell'+\infty-\infty+\infty-\inftyF.I.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

Ces propriétés donnent la limite en a de la somme, du produit ou du quotient de f et g, a pouvant désigner un réel ou +\infty ou -\infty.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

« F.I. » signifie forme indéterminée : on ne peut pas déterminer la limite par simple lecture du tableau.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x^2=+\infty et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{1}{x}=0 donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left(x^2+\frac{1}{x}\right)=+\infty.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés (admises)
Si f a pour limite\ell\ell > 0\ell > 0\ell \lt 0\ell \lt 0+\infty+\infty-\infty0
et si g a pour limite\ell'+\infty-\infty+\infty-\infty+\infty-\infty-\infty+\infty ou -\infty
alors f \times g a pour limite\ell \ell'+\infty-\infty-\infty+\infty+\infty-\infty+\inftyF.I.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x^2=+\infty et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\sqrt{x}=+\infty donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left(x^2\sqrt{x}\right)=+\infty.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés (admises) : cas où \bm{\lim _{x \rightarrow \infty} g(x) \neq 0}
Si f a pour limite\ell\ell+\infty+\infty-\infty-\infty+\infty ou -\infty
et si g a pour limite\ell' \neq 0+\infty ou -\infty\ell' > 0\ell' \lt 0\ell' > 0\ell' \lt 0+\infty ou -\infty
alors \frac{f}{g} a pour limite\frac{\ell }{ \ell'}0+\infty-\infty-\infty+\inftyF.I.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés (admises) : cas où \bm{\lim _{x \rightarrow \sigma} g(x)=0}
Si f a pour limite\ell > 0 ou +\infty\ell \lt 0 ou -\infty\ell > 0 ou +\infty\ell \lt 0 ou -\infty0
et si g a pour limite0 avec g(x) >00 avec g(x) >00 avec g(x) \lt00 avec g(x) \lt00
alors \frac{f}{g} a pour limite+\infty-\infty-\infty+\inftyF.I.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Notation

On peut écrire 0^+ pour indiquer que les valeurs sont aussi proches de 0 que l'on veut en restant positives (idem avec 0^-).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
\lim\limits_{\substack{x \to 2}}{x^2}=4, \lim\limits_{\substack{x \to 2}}(x-2)^{2}=0 et (x-2)^{2}>0 donc \lim\limits_{\substack{x \to 2}}\frac{x^{2}}{(x-2)^{2}}=+\infty.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 3
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
1. f est définie sur \R par f(x)=x^{4}-x. Déterminer la limite de f en -\infty.
2. g est définie sur ] 0 ;+\infty[ par g(x)=x^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+5\right). Déterminer la limite de g en +\infty.
3. h est définie sur \mathbb{R} \backslash\{1\} par h(x)=x^{2}+3 x+\frac{1}{x-1}. Déterminer les limites à droite et à gauche en 1.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

  • On décompose les fonctions en somme, produit ou quotient de fonctions dont on connaît la limite.
  • On détermine la limite de chacune de ces fonctions connues.
  • On applique les propriétés résumées dans les tableaux.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. 4 est pair donc \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}x^4=+\infty. De plus, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}x=-\infty donc, par produit, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}(-x)=+\infty.

Et donc, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}f(x)=+\infty
2.\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{1}{\sqrt{x}}=0 et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}5=5 donc, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+5\right)=5.

De plus, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x^2=+\infty donc, par produit, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}g(x)=+\infty.

3. On pose \text{P}(x)=x^{2}+3 x. \text{P} est un polynôme donc \lim\limits_{\substack{x \to 1}}\text{P}(x)=\text{P}(1) d'où \lim\limits_{\substack{x \to 1}}\left(x^{2}+3 x\right)=4.

D'autre part, \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x>1}}(x-1)=0^{+} donc, par quotient, \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x>1}}\frac{1}{x-1}=+\infty et ainsi, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x>1}}h(x)=+\infty.

De la même manière, \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x\lt1}}(x-1)=0^{-}. Ainsi, \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x\lt1}}\frac{1}{x-1}=-\infty et donc, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x\lt1}}h(x)=-\infty.

Pour s'entraîner
Exercices p. 177
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Formes indéterminées


Dans plusieurs cas, les théorèmes d'opérations ne permettent pas de déterminer la limite éventuelle d'une fonction. On parle alors de formes indéterminées. Cela signifie que l'on ne peut pas conclure immédiatement en utilisant les opérations.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x=+\infty et \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x^2=+\infty.

Pour tout x \neq 0, \frac{x^{2}}{x}=x donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x=+\infty.

En revanche, pour tout x \neq 0, \frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x} donc \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x}{x^2}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{1}{x}=0.

Donc, lorsque deux fonctions ont pour limite +\infty, il n'est pas possible de déterminer la limite de leur quotient sans une étude plus approfondie. Pour les polynômes, la mise en facteur du monôme de plus haut degré permettra de lever l'indétermination. Cette méthode permet de démontrer les deux propriétés suivantes.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

D'autres méthodes pour lever une indétermination seront développées dans les exercices.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
En +\infty et en -\infty, une fonction polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

Cette propriété et la suivante ne sont valables qu'en +\infty et -\infty.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Soit \text{P} une fonction polynôme définie pour tout x réel par \mathrm{P}(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}a_{n} \neq 0 et n \geqslant 1.
Pour tout x \neq 0, on a \mathrm{P}(x)=x^{n}\left(a_{n}+a_{n-1} \frac{1}{x}+\ldots+a_{1} \frac{1}{x^{n-1}}+a_{0} \frac{1}{x^{n}}\right).
On sait que, pour tout n \in \mathbb{N}^{*}, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{1}{x^{n}}=0.
Donc, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left(a_{n}+a_{n-1} \frac{1}{x}+\ldots+a_{1} \frac{1}{x^{n-1}}+a_{0} \frac{1}{x^{n}}\right)=a_{n}.
Donc, par produit, \text{P} a la même limite en +\infty que x \mapsto a_{n} x^{n}.
On procède de même pour la limite en -\infty.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété (admise)
Soient \text{P} une fonction polynôme dont a_{p} x^{p} est le monôme de plus haut degré, et \text{Q} une fonction polynôme dont le monôme de plus haut degré est a_{q} x^{q}, où p et q sont des entiers naturels.
Alors \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{\text{P}(x)}{\text{Q}(x)} =\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left(\frac{a_{p}}{a_{q}} \times x^{p-q}\right) et \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\frac{\text{P}(x)}{\text{Q}(x)}=\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\left(\frac{a_{p}}{a_{q}} \times x^{p-q}\right).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

Une fonction écrite sous la forme d'un quotient de polynômes est une fonction rationnelle.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemples
1. \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{3 x^{4}-2 x+1}{2 x-1}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{3 x^{4}}{2 x}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{3}{2} x^{3}=+\infty

2.\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\frac{x^{4}-2 x+1}{x-1}=\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\frac{x^{4}}{x}=\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}} x^{3}=-\infty

3. Cas d'une fonction non rationnelle :
\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x+1}{\sqrt{x}-1}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{x}\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}=\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}} \sqrt{x}=+\infty
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

Pour l'exemple 3., on factorise par \sqrt{x} puis on utilise la propriété suivante : « Pour tout x \geqslant 0, x=\sqrt{x} \times \sqrt{x}. »
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 4
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
1. f est définie sur ] 0\:;+\infty[ par f(x)=\frac{x+2}{x^{2}+x \sqrt{x}}. Déterminer la limite de f en +\infty.
2. g est définie sur \R par g(x)=\frac{x^{3}-x^{2}+4}{x^{2}+1}. Déterminer la limite de g en -\infty.
3. h est définie sur \mathbb{R} \backslash\{1\} par h(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x-1}. Déterminer la limite de h en 1.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

1. • On obtient une forme de type « \frac{\infty}{\infty} » : on ne peut donc pas conclure immédiatement.
• On met en facteur le terme dominant du numérateur et du dénominateur.
• On simplifie l'expression au maximum.
• On applique les propriétés résumées dans les tableaux.
2. • On reconnaît une fonction rationnelle.
• On utilise la propriété du cours permettant de trouver sa limite en -\infty.
3. • On obtient une forme de type « \frac{0}{0} » : on ne peut donc pas conclure immédiatement.
h est une fonction rationnelle mais on cherche sa limite en 1. On ne peut donc pas utiliser la propriété utilisée en 2..
• On factorise à l'aide d'une identité remarquable et on conclut.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
1. Pour tout x > 0, f(x)=\frac{x+2}{x^{2}+x \sqrt{x}}=\frac{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}{x^{2}\left(1+\frac{x \sqrt{x}}{x^{2}}\right)}=\frac{1+\frac{2}{x}}{x\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}.

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{1}{x}=0 donc, par produit, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{2}{x}=0
et donc, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left(1+\frac{2}{x}\right)=1.

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\frac{1}{\sqrt{x}}=0 donc, par somme, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=1.

\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x=+\infty donc, par produit, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}x\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=+\infty.

Enfin, par quotient, \lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)=0.

2. g est une fonction rationnelle donc \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}g(x)=\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}\frac{x^{3}}{x^{2}}=\lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}x=-\infty.

Donc \lim\limits_{\substack{x \to -\infty}}g(x)=-\infty.
3. Pour tout x \in \mathbb{R} \backslash\{1\}, h(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x-1}=\frac{(x-1)^{2}}{x-1}=x-1.

Or \lim\limits_{\substack{x \to 1}}(x-1)=0 donc \lim\limits_{\substack{x \to 1}}h(x)=0.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 177

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.