Mathématiques Spécialité Terminale

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2. Opérations sur les limites
P.167-168

COURS 2


2
Opérations sur les limites




A
Propriétés

On considère deux fonctions et , et deux réels et .

Propriétés (admises)

 Si a pour limite
 et si a pour limite
 alors a pour limite F.I.

Remarque

« F.I. » signifie forme indéterminée : on ne peut pas déterminer la limite par simple lecture du tableau.

Remarque

Ces propriétés donnent la limite en de la somme, du produit ou du quotient de et , pouvant désigner un réel ou ou .

Exemple

et donc .

Propriétés (admises)

 Si a pour limite
 et si a pour limite ou
 alors a pour limite F.I.

Exemple

et donc .

Propriétés (admises) : cas où

 Si a pour limite ou
 et si a pour limite ou ou
 alors a pour limite F.I.

Propriétés (admises) : cas où

 Si a pour limite ou ou ou ou
 et si a pour limite avec avec avec avec
 alors a pour limite F.I.

NOTATION

On peut écrire pour indiquer que les valeurs sont aussi proches de que l'on veut en restant positives (idem avec ).

Exemple

, et donc .

Application et méthode - 3

Énoncé

1. est définie sur par . Déterminer la limite de en .
2. est définie sur par . Déterminer la limite de en .
3. est définie sur par . Déterminer les limites à droite et à gauche en .

B
Formes indéterminées

Dans plusieurs cas, les théorèmes d’opérations ne permettent pas de déterminer la limite éventuelle d’une fonction. On parle alors de formes indéterminées. Cela signifie que l’on ne peut pas conclure immédiatement en utilisant les opérations.

Exemple

et .

Pour tout , donc .

En revanche, pour tout , donc .

Donc, lorsque deux fonctions ont pour limite , il n’est pas possible de déterminer la limite de leur quotient sans une étude plus approfondie. Pour les polynômes, la mise en facteur du monôme de plus haut degré permettra de lever l’indétermination. Cette méthode permet de démontrer les deux propriétés suivantes.

Remarque

D’autres méthodes pour lever une indétermination seront développées dans les exercices.

Propriété

En et en , une fonction polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.

Remarque

Cette propriété et la suivante ne sont valables qu’en et .

DÉMONSTRATION

Soit une fonction polynôme définie pour tout réel par et .
Pour tout , on a
On sait que, pour tout , .
Donc, .
Donc, par produit, a la même limite en que .
On procède de même pour la limite en .

Propriété (admise)

Soient une fonction polynôme dont est le monôme de plus haut degré, et une fonction polynôme dont le monôme de plus haut degré est , où et sont des entiers naturels.
Alors et

Remarque

Une fonction écrite sous la forme d'un quotient de polynômes est une fonction rationnelle.

Remarque

Pour l’exemple 3., on factorise par puis on utilise la propriété suivante :
« Pour tout , . »

Exemples

1.

2.

3.Cas d'une fonction non rationnelle :

Application et méthode - 4

Énoncé

1. est définie sur par . Déterminer la limite de en .
2. est définie sur par . Déterminer la limite de en .
3. est définie sur par . Déterminer la limite de en .
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