Fonction carré, fonction racine carrée

38

[Calculer.]
1. a. Développer et simplifier ( \sqrt { 5 } - 7 ) ^ { 2 }.

b. En déduire les antécédents du nombre réel 54 - 14 \sqrt { 5 } par la fonction carré.

2. Le nombre 3 + \sqrt { 6 } est-il un antécédent de 15 + 3 \sqrt { 6 } par la fonction carré ?

37

[Raisonner.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant si l'affirmation est vraie ou fausse. Dans le cas où l'affirmation est fausse, rectifier l'affirmation pour qu'elle soit vraie.
1. L'image de -5 par la fonction carré est -25.

2. L'image de 4 par la fonction carré est 2.

3. Les solutions de l'équation x^2 = 5 sont - \sqrt { 5 } et \sqrt { 5 }.

4. Les antécédents de -5 par la fonction carré sont - \sqrt { 5 } et \sqrt { 5 }.

5. Si x = 3, alors x^2 = 9.

6. Si x^2 = 9, alors x = 3.

40

[Chercher.]
Sans faire de calcul, ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant : \left( \dfrac { 1 } { 7 } \right) ^ { 2 }\: ; 3{,}14 ^ { 2 }\: ; ( - 5 ) ^ { 2 }\: ; \pi ^ { 2 }\: ; ( - 1 ) ^ { 2 }.

41

[Chercher.]
Une des affirmations suivantes correspond à la fonction carré : laquelle ? Quelle est celle qui correspond à la fonction racine carrée ?
1. Ma courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonction carré

Fonction racine carrée

Ni l'une, ni l'autre
2. Je suis une fonction impaire strictement croissante sur \mathbb { R }.

Fonction carré

Fonction racine carrée

Ni l'une, ni l'autre
3. Je ne suis pas définie en x = -2 .

Fonction carré

Fonction racine carrée

Ni l'une, ni l'autre

42

[Raisonner.]
Placer les nombres suivants en face de leur carré, sans effectuer aucun calcul.

44

[Représenter.]
x est un réel tel que - 5 \leqslant x \leqslant 3.
1. Dresser le tableau de variations de la fonction carré sur l'intervalle [ - 5\: ; 3 ].

2. En déduire les extremums de f sur l'intervalle [ - 5\: ; 3 ].

3. Donner un encadrement de x^2.

45

[Représenter.]
x est un réel tel que - 4 \leqslant x \leqslant 6.
Peut-on affirmer que 16 \leqslant x ^ { 2 } \leqslant 36 ? Justifier précisément.

47

[Représenter.]
On considère un carré \text{ABCD} de côté x \gt 0. Le but de cet exercice est de retrouver les variations de la fonction carré sur ] 0\: ; + \infty [ avec une approche géométrique.
1. Exprimer l'aire du carré \text{ABCD} en fonction de x.

2. Soient a et b deux réels strictement positifs tels que a \lt b. L'aire du carré \text{ABCD} est-elle plus grande lorsque x = a ou lorsque x = b ?

3. Retrouver le sens de variation de la fonction carré sur ] 0\: ; + \infty [.

50

[Chercher.]
Ranger les nombres suivants par ordre croissant.
\sqrt { 3 }\:; \sqrt { \dfrac { 5 } { 3 } }\:; \sqrt { \pi } \:; \sqrt { 3\text{,}8 }\:; \sqrt { 0\text{,}1287 }

51

[Calculer.]
Dans chaque cas, donner un encadrement de \sqrt { x }.
1. 1 \lt x \lt 2

2. 4 \leqslant x \lt 12

3. 5 \leqslant 4 x \lt 16

4. 1\text{,}44 \lt x \leqslant \pi ^ { 2 } + 2 \pi + 1

52

[Calculer.]
Écrire les expressions suivantes sans racine carrée au dénominateur.
1. \dfrac { 2 } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } }

2. \dfrac { \sqrt { 2 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 3 } }

3. \dfrac { 1 + 2 \sqrt { 3 } } { 1 + \sqrt { 2 } }

4. \dfrac { 5 - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } + \sqrt { \pi + 1 } }

5. \dfrac { 2 - 3 \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 } }

6. \dfrac { 1 + 5 \sqrt { 2 } } { 3 \sqrt { 2 } }

53

[Raisonner.]
Soient a et b deux réels strictement positifs. Montrer que les réels suivants ont le même signe.
1. 9 - a et 3 - \sqrt { a }

2. b - 5 et \sqrt { b } - \sqrt { 5 }

3. b - a et \sqrt { b } - \sqrt { a }

54

[Représenter.]
On considère un carré \text{ABCD} d'aire x \gt 0. Le but de cet exercice est de retrouver les variations de la fonction racine carrée sur ] 0\:; + \infty [ avec une approche géométrique.

1. Exprimer la longueur \text{AB} en fonction de x.

2. Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que a \lt b. La longueur \text{AB} est-elle plus grande lorsque x = a ou lorsque x = b\:?

3. Retrouver le sens de variation de la fonction racine carrée sur ] 0\:; + \infty [.