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Synthèse - Objectif BAC




Club de Maths


93
ÉNIGME

Dans l’antiquité, le roi des Indes demanda un nouveau jeu pour se distraire. Son vizir Sissa inventa le jeu d’échecs.

Jeu d'échecs

Le roi, ravi de ce nouvel amusement lui demanda comment le récompenser. Sissa dit : « Je voudrais un peu de riz. Placez un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième et ainsi de suite en doublant à chaque fois le nombre de grains de riz. » Le roi accepta cette demande, qu’il trouva bien modeste.
Le conseiller s’écria : « Sire ! Vous conduisez notre pays à la ruine ! »

Pourquoi le conseiller du roi réagit ainsi ?

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APPROFONDISSEMENT

On s’intéresse à la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn strictement positif par un=n2.u_n = n^2 .

1. Calculer 1+4+9+16+25.1 + 4 + 9 + 16 + 25. Que représente ce nombre pour la suite (un)(u_n) ?


2. On souhaite déterminer une formule permettant de calculer la somme SnS_n des nn premiers termes de la suite (un)(u_n) : Sn=12+22+32++n2.S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dots+n^{2}.
a. Démontrer que, pour tous entiers aa et bb , (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}.

b. En déduire alors le développement de (n+1)3(n+1)^{3} puis celui de (n+1)3n3.(n+1)^{3}-n^{3}.

c. Compléter le tableau suivant en s’appuyant sur le modèle de la première ligne :

n=1n=1 2313=2^{3}-1^{3}= 3×12+3×1+13 \times 1^{2}+3 \times 1+1
n=2n=2 3323=3^{3}-2^{3}=
n=3n=3 4333=4^{3}-3^{3}=
n:n : (n+1)3n3=(n+1)^{3}-n^{3}=

3. a. En imaginant que l’on a complété toutes les lignes de 1 jusqu’à nn , justifier que la somme de toutes les lignes de la deuxième colonne est égale à (n+1)313.(n+1)^{3}-1^{3}.

b. Justifier alors que (n+1)31=3×Sn+3A+n(n+1)^{3}-1=3 \times \mathrm{S}_{n}+3 \mathrm{A}+nA=1+2+3++n.\text{A}=1+2+3+\dots+n.


4. Justifier que 3Sn=(n+1)313n(n+1)2n.3 \mathrm{S}_{n}=(n+1)^{3}-1-\dfrac{3 n(n+1)}{2}-n.


5. Démontrer enfin que Sn=n(n+1)(2n+1)6S_{n}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6} et vérifier cette formule avec S5\text{S}_5 calculée à la question 1..

95
APPROFONDISSEMENT

On s’intéresse à la suite (vn)(v_n) définie pour tout entier naturel nn strictement positif par vn=n3.v_n = n^3.

1. Calculer 1+8+27+64+125.1 + 8 + 27 + 64 + 125. Que représente ce nombre pour la suite (vn)(v_n) ?


2. On souhaite déterminer une formule permettant de calculer la somme TnT_n des nn premiers termes de la suite vnv_n : Tn=13+23+33++n3.T_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dots+n^{3}.
a. Démontrer que, pour tous entiers aa et bb, (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.(a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}.

b. En utilisant la même démarche que l’exercice précédent, démontrer que, pour tout entier nn strictement positif, Tn=(n(n+1)2)2\mathrm{T}_{n}=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2} et vérifier cette formule avec T5\text{T}_5 calculée à la question 1.

92
ALGO

La suite de Syracuse est une suite de nombres entiers définie de la façon suivante :

a. On choisit un entier naturel non nul ;
b. Si ce nombre est pair, on le divise par 22 ; s’il est impair, on le multiplie par 33 et on ajoute 11 ;
c. On recommence l’étape b. avec le nombre obtenu. Par exemple, avec 77, on obtient la suite : 7;22;11;34;...7 ; 22 ; 11 ; 34 ; ...

1. Démontrer qu’en choisissant n=1n = 1 , la suite de nombres obtenue se répète rapidement de façon infinie.


2. Poursuivre la suite commençant par 7.7.


3. À partir de maintenant, on arrête la suite dès que la valeur 11 est obtenue. Écrire un algorithme qui, à partir d’un entier nn strictement positif, affiche tous les termes de la suite jusqu’à obtenir 1.1.


4. Programmer cet algorithme avec Python et faire quelques tests. La conjecture de Syracuse stipule qu’on arrive toujours à 1.1.





89
[Représenter.]
Afin de construire la courbe fractale ci-après, appelée flocon de Koch, on effectue à chaque étape le même programme de construction. On partage chaque segment en trois parties égales et on remplace le segment du milieu par un triangle équilatéral dont on efface la base.
Voici les 3 premières étapes de construction pour un côté.

Construction d'une fractale

On obtient alors la construction complète du flocon.

Construction d'une fractale

1. Nombre de côtés.
Pour tout entier naturel n1n\geqslant 1 , on note cnc_n le nombre de côtés du flocon à l’étape n.n .
a. Déterminer les quatre premières valeurs de la suite (cn).(c_n).

b. Prouver que la suite (cn)(c_n) est géométrique.

c. Exprimer cnc_n en fonction de n.n .


2. Périmètre du flocon.
Pour tout entier naturel n1n \geqslant 1 , on note n\ell _n la longueur d’un segment à l’étape n.n .
a. Prouver que la suite (n)(\ell_n) est géométrique.

b. Exprimer n\ell_n en fonction de n.n .

c. Pour tout entier naturel n1n \geqslant 1 , on note pnp_n le périmètre d’un flocon à l’étape n.n .
Prouver que pn=31×(43)n1.p_{n}=3 \ell_{1} \times\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-1}.

d. Si le côté du triangle initial est de 10 cm, le périmètre peut-il dépasser 1 km ? Si oui, à quelle étape ?

87
[Calculer.]
Soit la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0 = 1, u1=5u_1 = 5 et, pour tout entier naturel nn , un+2=6un+18un.u_{n+2} =6 u_{n+ 1} - 8u_n.

1. a. Démontrer que, pour tout xRx \in \R, x26x+8=(x2)(x4).x^{2}-6 x+8=(x-2)(x-4).


b. Résoudre x26x+8=0.x^{2}-6 x+8=0.


2. Soient α\alpha et β\beta deux nombres réels. On considère les suites (vn)(v_n) et (wn)(w_n) définies pour tout entier naturel nn par vn=un+1αunv_{n}=u_{n+1}-\alpha u_{n} et wn=un+1βun.w_{n}=u_{n+1}-\beta u_{n}.
Déterminer la valeur des réels α\alpha et β\beta pour que les suites (vn)(v_n) et (wn)(w_n) soient géométriques.


3. Déterminer vnwnv_n - w_n en fonction de unu_n pour tout entier naturel n.n .


4. En déduire une expression de vnv_n, wnw_n et unu_n en fonction de n.n .


5. Question bonus (voir aussi l’exercice transversal
2
p. 336
). Utiliser cette méthode pour trouver une expression du terme général de la suite de Fibonacci définie par : u0=1u_0 = 1, u1=1u_1=1 et pour tout entier naturel nn , un+2=un+1+un.u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}.


Spirale

Histoire des maths

Statue de Leonardo Pisano

Leonardo Pisano, dit Fibonacci, était un mathématicien italien des XIIe et XIIIe siècles qui introduisit les chiffres indo-arabes en Europe après ses voyages. Dans un de ses ouvrages, Liber abaci, il décrit la croissance d’une population de lapins. En partant d’un couple de lapins, combien de couples obtient-on en un an, si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple de lapins à compter de son troisième mois d’existence ? Le nombre d’or φ=1+52\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} est la limite du quotient de deux termes consécutifs.
Dans la nature, le nombre de pétales de fleurs, de graines des tournesols, de pommes de pin d’un arbre appartiennent à la suite de Fibonacci. Les spirales des coquilles des mollusques suivent la spirale d’or construite à partir de la suite de Fibonacci.

83
ALGO
[Modéliser.]
Une médiathèque a ouvert début 2017 et 3 000 personnes se sont inscrites durant la première année. Chaque année, 75 % des inscrits renouvellent leur abonnement et 500 nouvelles adhésions ont lieu. On modélise la situation par la suite (an)(a_n) définie pour tout entier naturel nn , où a0=3000a_0 = 3\,000 est le nombre d’adhérents en 2017 et ana_n le nombre d’inscrits l’année 2017 + n+\ n .

1. a. Calculer a1a_1 et a2.a_2.

b. Justifier que, pour tout entier naturel nn, on a an+1=0,75an+500.a_{n+1}=0{,}75 a_{n}+500.


2. On pose bn=an2000b_{n}=a_{n}-2\,000 pour tout entier naturel n.n .
a. Prouver que la suite (bn)(b_ n) est une suite géométrique en précisant sa raison et son premier terme.

b. En déduire l’expression du terme général de la suite (bn)(b_ n) puis de la suite (an).(a_n).

c. Quel est le sens de variation de chaque suite ?

b. Conjecturer les limites des suites (an)(a_n) et (bn).(b_ n). Que peut-on en déduire pour le nombre d’adhésions de cette médiathèque ?


3. On propose l’algorithme suivant.

00Tant que (A>2100):0,75 A+500n+1Fin tant que \boxed{ \begin{array} { l } { \text {n } \leftarrow 0 } \\ { \text {A } \leftarrow 0 } \\ { \text {Tant que } (\text {A} > 2\,100): } \\ \quad \text {A } \leftarrow 0{,}75\text{ A}+500 \\ \quad \text {n } \leftarrow \text {n} +1 \\ \text {Fin tant que} \end{array} }

a. Que permet de calculer cet algorithme ?

b. Interpréter le résultat obtenu à la fin de cet algorithme.


91
[Calculer.]
Tapis de Sierpiński
On considère un carré dont l'aire est de 1 m². Pour construire la figure ci-dessous, on partage ce carré en 9 carrés égaux et on noircit celui du centre. On partage chacun des 8 carrés restants en 9 carrés égaux et on noircit les 8 carreaux au centre. On recommence cette construction à chaque étape. Pour tout entier naturel n1n \geqslant 1 , An\mathrm{A}_n désigne l’aire totale noircie lors de l’étape n.n .
On a donc A1=19.\mathrm{A}_1= \dfrac{1}{9}.

Tapis de Sierpiński

1. a. En remarquant qu’à chaque étape, on noircit 19\dfrac{1}{9} de la surface verte, justifier que pour tout entier naturel n1n \geqslant 1, on a An+1=89An+19. \mathrm{A}_{n+1}=\dfrac{8}{9} \mathrm{A}_{n}+\dfrac{1}{9}.

b. À l’aide de la calculatrice ou d’un programme, donner les valeurs A5\mathrm{A}_{5}, A10\text{A}_{10}, A25\mathrm{A}_{25} et A50. \mathrm{A}_{50}.

c. Conjecturer le sens de variation et la limite de (An).(\text{A}_n).


2. Pour tout entier naturel nn non nul, on pose Bn=An1.\text{B}_n = \text{A}_n - 1.
a. Prouver que la suite (Bn)(\text{B}_n) est géométrique.

b. Exprimer Bn\text{B}_n en fonction de n.n .

c. En déduire l’expression de An\text{A}_n en fonction de n.n .

d. Prouver la conjecture faite à la question 1.


3. Peut-on avoir plus de 80 %, 95 %, 99 % du carré noirci ? Si oui, préciser les étapes correspondantes à chaque fois.

86
[Calculer.] ◉◉◉
On considère les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies pour tout entier naturel nn par :
{u0=1un+1=3un+2vn5\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=1} \\ {u_{n+1}=\dfrac{3 u_{n}+2 v_{n}}{5}}\end{array}\right. et {v0=2vn+1=2un+3vn5\left\{\begin{array}{l}{v_{0}=2} \\ {v_{n+1}=\dfrac{2 u_{n}+3 v_{n}}{5}}\end{array}\right.

1. Calculer u1u_1, v1v_1, u2u_2 et v2.v_2 .


2. On considère la suite (dn)(d_n) définie pour tout entier naturel nn par dn=vnun.d_n = v_n - u_n .
a. Montrer que la suite (dn)(d_ n) est une suite géométrique dont on donnera sa raison et son premier terme.

b. En déduire l’expression de dnd_n en fonction de n.n.


3. On considère la suite (sn)(s_n) définie pour tout entier naturel nn par sn=un+vn.s_n = u_n + v_n .
a. Calculer s0s_0, s1s_1 et s2.s_2 . Que peut-on conjecturer ?

b. Montrer que, pour tout nNn \in \N, sn+1=sn.s_{n+1} = s_n. Qu’en déduit-on ?


4. En déduire une expression de unu_n et vnv_n en fonction de n.n .


5. Déterminer, en fonction de nNn \in \N :
a. Tn=u0+u1++un\mathrm{T}_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}

b. Wn=v0+v1++vn\mathrm{W}_{n}=v_{0}+v_{1}+\ldots+v_{n}

Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

Exercices transversaux
; ; ; ; ; ; ; et

85
EN ÉCONOMIE
[Modéliser.]
Perrine place 8 000 € sur un compte dont le taux d’intérêts cumulés est de 3,8 %. Chaque année, 76 € de frais de gestion sont prélevés. Pour tout entier nn , on note CnC_n le capital de l’année n.n. On suppose que l’année 0 est l’année du premier dépôt.

1. On cherche le capital dont disposera Perrine dans 10 ans.
a. Établir une relation de récurrence pour définir la suite Cn.C_n .

b. Soit DnD_n la suite définie pour tout entier nn par Dn=Cn2000.D_n = C_n - 2\, 000. Prouver que cette suite est géométrique et donner sa raison et son premier terme.

c. En déduire une expression de CnC_n en fonction de nn et répondre au problème posé.


2. Combien d’années seront nécessaires pour que le capital augmente de 50 % ?

84
[Modéliser.] ◉◉◉
Le gazon d’un champ de 5 000 m² est envahi par des pissenlits qui détruisent 20 % de la surface en un an. Chaque automne, Catherine arrache 250 m² de pissenlits afin de semer de la pelouse. On pose p0=5000p_0 = 5\,000 la surface initiale en m² de pelouse et pnp_n la surface à la fin de nn années où nN.n \in \N .

Gazon et pissenlit envahissant

1. Calculer la surface de pelouse au bout d’une et deux années.


2. Exprimer, pour tout nNn \in \N, pn+1p_{n+1} en fonction de pn.p_n .


3. On définit, pour tout entier naturel nn , la suite (vn)(v_n) par vn=pn1250.v_n = p_n -1\, 250.
a. Déterminer la nature de la suite (vn)(v_n), sa raison et son premier terme.

b. Donner l’expression du terme général vnv_n en fonction de nN.n \in \N .

c. En déduire une expression de pnp_n en fonction de nn pour tout nN.n \in \N .


4. Quel est le sens de variation de la suite (pn)(p_n) ?


5. Quelle sera l’aire de gazon sans pissenlit au bout de 10 ans ?


6. Dans combien d’années la surface de gazon sera-t-elle inférieure à 1 000 m² ? Justifier.

88
[Modéliser.]
D’après Bac - Asie - 2016
Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant. Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus. L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite (un)(u_n) définie de la façon suivante : u0=1000u_0 = 1\,000 et, pour tout entier naturel nn , un+1=1,2un100.u_{n+1} = 1{,}2u_n -100.

1. a. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé. On précisera en particulier ce que représente un.u_n.

b. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

c. On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Recopier et compléter cet algorithme.

01000Tant que ...:...n+1Fin tant que \boxed{ \begin{array} { l } { \text {n } \leftarrow 0 } \\ { \text {u } \leftarrow 1\,000 } \\ { \text {Tant que } ...: } \\ \quad \text {u } \leftarrow ... \\ \quad \text {n } \leftarrow \text {n} +1 \\ \text {Fin tant que} \end{array} }



2. On admet que pour tout entier naturel nn , un1000.u_n \geqslant 1\, 000 . Démontrer que la suite (un)(u_n) est croissante.


3. On définit la suite (vn)(v_n) pour tout entier naturel nn par vn=un500.v_n = u_n -500.
a. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est une suite géométrique.

b. Exprimer vnv_n puis unu_n en fonction de n.n .

c. Conjecturer la limite de la suite (un).(u_n).


Chercheuse observant des cultures de bactéries


90
GEOGEBRA
[Calculer.]
Le segment [OA0]\left[\text{OA}_0\right] ci-dessous a pour longueur 1 cm. On trace une série de triangles OAnAn+1\text{OA}_n \text{A}_{n+1} rectangles et isocèles en An+1\text{A}_{n+1} comme sur la figure ci-dessous.
On souhaite calculer la longueur de la ligne polygonale A0A1A2A8\text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 ainsi que l’aire du polygone A0A1A2A8.\text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8.

Schéma support d'une construction géométrique

1. Reproduire la figure sur GeoGebra et donner une valeur approchée de la longueur de la ligne polygonale A0A1A2A8\text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 ainsi que l’aire du polygone A0A1A2A8.\text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8.

Lancer le module Geogebra
2. On définit, pour tout entier naturel nn , n\ell_n la longueur OAn.\text{OA}_n .
a. Prouver que la suite (n)(\ell_n) est géométrique.

b. En déduire une expression de n\ell_n en fonction de nn pour tout entier naturel n.n .

c. Justifier que la longueur de la ligne polygonale A0A1A2A8\text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 est égale à p8=1+2++8.p_{8}=\ell_{1}+\ell_{2}+\ldots+\ell_{8}.

d. Prouver que p8=152+1516.p_{8}=\dfrac{15 \sqrt{2}+15}{16}.


3. Pour tout entier naturel nn, on pose un=n2.u_{n}=\ell_{n}^{2}.
a. Prouver que la suite (un)(u_n) est géométrique.

b. En déduire une expression de unu_n en fonction de nn pour tout entier naturel n.n .

c. Justifier que l’aire du polygone A0A1A2A8\text{A}_0\text{A}_1\text{A}_2 \dots \text{A}_8 est égale à a8=12(u1+u2++u8).a_{8}=\dfrac{1}{2}\left(u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{8}\right).

d. Prouver que a8=255512.a_{8}=\dfrac{255}{512}.
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