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Synthèse - objectif BAC
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Synthèse - Objectif BAC





83
ALGO
[Modéliser.]
Une médiathèque a ouvert début 2017 et 3 000 personnes se sont inscrites durant la première année. Chaque année, 75 % des inscrits renouvellent leur abonnement et 500 nouvelles adhésions ont lieu. On modélise la situation par la suite définie pour tout entier naturel , où est le nombre d’adhérents en 2017 et le nombre d’inscrits l’année 2017 .

1. a. Calculer et

b. Justifier que, pour tout entier naturel , on a


2. On pose pour tout entier naturel
a. Prouver que la suite est une suite géométrique en précisant sa raison et son premier terme.

b. En déduire l’expression du terme général de la suite puis de la suite

c. Quel est le sens de variation de chaque suite ?

b. Conjecturer les limites des suites et Que peut-on en déduire pour le nombre d’adhésions de cette médiathèque ?


3. On propose l’algorithme suivant.


a. Que permet de calculer cet algorithme ?

b. Interpréter le résultat obtenu à la fin de cet algorithme.

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84
[Modéliser.] ◉◉◉
Le gazon d’un champ de 5 000 m² est envahi par des pissenlits qui détruisent 20 % de la surface en un an. Chaque automne, Catherine arrache 250 m² de pissenlits afin de semer de la pelouse. On pose la surface initiale en m² de pelouse et la surface à la fin de années où

Gazon et pissenlit envahissant

1. Calculer la surface de pelouse au bout d’une et deux années.


2. Exprimer, pour tout , en fonction de


3. On définit, pour tout entier naturel , la suite par
a. Déterminer la nature de la suite , sa raison et son premier terme.

b. Donner l’expression du terme général en fonction de

c. En déduire une expression de en fonction de pour tout


4. Quel est le sens de variation de la suite ?


5. Quelle sera l’aire de gazon sans pissenlit au bout de 10 ans ?


6. Dans combien d’années la surface de gazon sera-t-elle inférieure à 1 000 m² ? Justifier.
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85
EN ÉCONOMIE
[Modéliser.]
Perrine place 8 000 € sur un compte dont le taux d’intérêts cumulés est de 3,8 %. Chaque année, 76 € de frais de gestion sont prélevés. Pour tout entier , on note le capital de l’année On suppose que l’année 0 est l’année du premier dépôt.

1. On cherche le capital dont disposera Perrine dans 10 ans.
a. Établir une relation de récurrence pour définir la suite

b. Soit la suite définie pour tout entier par Prouver que cette suite est géométrique et donner sa raison et son premier terme.

c. En déduire une expression de en fonction de et répondre au problème posé.


2. Combien d’années seront nécessaires pour que le capital augmente de 50 % ?
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86
[Calculer.] ◉◉◉
On considère les suites et définies pour tout entier naturel par :
et

1. Calculer , , et


2. On considère la suite définie pour tout entier naturel par
a. Montrer que la suite est une suite géométrique dont on donnera sa raison et son premier terme.

b. En déduire l’expression de en fonction de


3. On considère la suite définie pour tout entier naturel par
a. Calculer , et Que peut-on conjecturer ?

b. Montrer que, pour tout , Qu’en déduit-on ?


4. En déduire une expression de et en fonction de


5. Déterminer, en fonction de :
a.

b.
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87
[Calculer.]
Soit la suite définie par , et, pour tout entier naturel ,

1. a. Démontrer que, pour tout ,


b. Résoudre


2. Soient et deux nombres réels. On considère les suites et définies pour tout entier naturel par et
Déterminer la valeur des réels et pour que les suites et soient géométriques.


3. Déterminer en fonction de pour tout entier naturel


4. En déduire une expression de , et en fonction de


5. Question bonus (voir aussi l’exercice transversal
2
p. 336
). Utiliser cette méthode pour trouver une expression du terme général de la suite de Fibonacci définie par : , et pour tout entier naturel ,


Spirale
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88
[Modéliser.]
D’après Bac - Asie - 2016
Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant. Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus. L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.
On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite définie de la façon suivante : et, pour tout entier naturel ,

1. a. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé. On précisera en particulier ce que représente

b. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

c. On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Recopier et compléter cet algorithme.




2. On admet que pour tout entier naturel , Démontrer que la suite est croissante.


3. On définit la suite pour tout entier naturel par
a. Démontrer que la suite est une suite géométrique.

b. Exprimer puis en fonction de

c. Conjecturer la limite de la suite


Chercheuse observant des cultures de bactéries

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89
[Représenter.]
Afin de construire la courbe fractale ci-après, appelée flocon de Koch, on effectue à chaque étape le même programme de construction. On partage chaque segment en trois parties égales et on remplace le segment du milieu par un triangle équilatéral dont on efface la base.
Voici les 3 premières étapes de construction pour un côté.

Construction d'une fractale

On obtient alors la construction complète du flocon.

Construction d'une fractale

1. Nombre de côtés.
Pour tout entier naturel , on note le nombre de côtés du flocon à l’étape
a. Déterminer les quatre premières valeurs de la suite

b. Prouver que la suite est géométrique.

c. Exprimer en fonction de


2. Périmètre du flocon.
Pour tout entier naturel , on note la longueur d’un segment à l’étape
a. Prouver que la suite est géométrique.

b. Exprimer en fonction de

c. Pour tout entier naturel , on note le périmètre d’un flocon à l’étape
Prouver que

d. Si le côté du triangle initial est de 10 cm, le périmètre peut-il dépasser 1 km ? Si oui, à quelle étape ?
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90
GEOGEBRA
[Calculer.]
Le segment ci-dessous a pour longueur 1 cm. On trace une série de triangles rectangles et isocèles en comme sur la figure ci-dessous.
On souhaite calculer la longueur de la ligne polygonale ainsi que l’aire du polygone

Schéma support d'une construction géométrique

1. Reproduire la figure sur GeoGebra et donner une valeur approchée de la longueur de la ligne polygonale ainsi que l’aire du polygone

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2. On définit, pour tout entier naturel , la longueur
a. Prouver que la suite est géométrique.

b. En déduire une expression de en fonction de pour tout entier naturel

c. Justifier que la longueur de la ligne polygonale est égale à

d. Prouver que


3. Pour tout entier naturel , on pose
a. Prouver que la suite est géométrique.

b. En déduire une expression de en fonction de pour tout entier naturel

c. Justifier que l’aire du polygone est égale à

d. Prouver que
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91
[Calculer.]
Tapis de Sierpiński
On considère un carré dont l'aire est de 1 m². Pour construire la figure ci-dessous, on partage ce carré en 9 carrés égaux et on noircit celui du centre. On partage chacun des 8 carrés restants en 9 carrés égaux et on noircit les 8 carreaux au centre. On recommence cette construction à chaque étape. Pour tout entier naturel , désigne l’aire totale noircie lors de l’étape
On a donc

Tapis de Sierpiński

1. a. En remarquant qu’à chaque étape, on noircit de la surface verte, justifier que pour tout entier naturel , on a

b. À l’aide de la calculatrice ou d’un programme, donner les valeurs , , et

c. Conjecturer le sens de variation et la limite de


2. Pour tout entier naturel non nul, on pose
a. Prouver que la suite est géométrique.

b. Exprimer en fonction de

c. En déduire l’expression de en fonction de

d. Prouver la conjecture faite à la question 1.


3. Peut-on avoir plus de 80 %, 95 %, 99 % du carré noirci ? Si oui, préciser les étapes correspondantes à chaque fois.
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Club de Maths


92
ALGO

La suite de Syracuse est une suite de nombres entiers définie de la façon suivante :

a. On choisit un entier naturel non nul ;
b. Si ce nombre est pair, on le divise par ; s’il est impair, on le multiplie par et on ajoute ;
c. On recommence l’étape b. avec le nombre obtenu. Par exemple, avec , on obtient la suite :

1. Démontrer qu’en choisissant , la suite de nombres obtenue se répète rapidement de façon infinie.


2. Poursuivre la suite commençant par


3. À partir de maintenant, on arrête la suite dès que la valeur est obtenue. Écrire un algorithme qui, à partir d’un entier strictement positif, affiche tous les termes de la suite jusqu’à obtenir


4. Programmer cet algorithme avec Python et faire quelques tests. La conjecture de Syracuse stipule qu’on arrive toujours à




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93
ÉNIGME

Dans l’antiquité, le roi des Indes demanda un nouveau jeu pour se distraire. Son vizir Sissa inventa le jeu d’échecs.

Jeu d'échecs

Le roi, ravi de ce nouvel amusement lui demanda comment le récompenser. Sissa dit : « Je voudrais un peu de riz. Placez un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième et ainsi de suite en doublant à chaque fois le nombre de grains de riz. » Le roi accepta cette demande, qu’il trouva bien modeste.
Le conseiller s’écria : « Sire ! Vous conduisez notre pays à la ruine ! »

Pourquoi le conseiller du roi réagit ainsi ?
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94
APPROFONDISSEMENT

On s’intéresse à la suite définie pour tout entier naturel strictement positif par

1. Calculer Que représente ce nombre pour la suite ?


2. On souhaite déterminer une formule permettant de calculer la somme des premiers termes de la suite :
a. Démontrer que, pour tous entiers et ,

b. En déduire alors le développement de puis celui de

c. Compléter le tableau suivant en s’appuyant sur le modèle de la première ligne :


3. a. En imaginant que l’on a complété toutes les lignes de 1 jusqu’à , justifier que la somme de toutes les lignes de la deuxième colonne est égale à

b. Justifier alors que


4. Justifier que


5. Démontrer enfin que et vérifier cette formule avec calculée à la question 1..
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95
APPROFONDISSEMENT

On s’intéresse à la suite définie pour tout entier naturel strictement positif par

1. Calculer Que représente ce nombre pour la suite ?


2. On souhaite déterminer une formule permettant de calculer la somme des premiers termes de la suite :
a. Démontrer que, pour tous entiers et ,

b. En utilisant la même démarche que l’exercice précédent, démontrer que, pour tout entier strictement positif, et vérifier cette formule avec calculée à la question 1.
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre

Exercices transversaux
; ; ; ; ; ; ; et
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