Entrainement 3


Suites géométriques





79
TABLEUR
[Modéliser.]
On considère la suite géométrique (un)(u_n) définie par un=(11,23100)nu_{n}=\left(1-\dfrac{1{,}23}{100}\right)^{n} pour tout nN.n \in \N.

1. Déterminer le premier terme et la raison de cette suite.


2. Cette suite est-elle croissante ou décroissante ?


3. On cherche à déterminer le plus petit nombre nn tel que un<0,5.u_n \lt 0{,}5 .

Tableur et suite géométriques

a. Reproduire la feuille de calcul ci-dessus et entrer dans la cellule A3 la formule permettant d’afficher toutes les valeurs de nn lorsqu’on l’étire vers le bas. Étirer cette cellule jusqu’à la ligne 101.

Lancer le module Geogebra
b. Entrer dans la cellule B2 la formule permettant d’afficher la valeur de u0u_0 à partir de la valeur de la cellule A2 puis étirer cette cellule jusqu’à la ligne 101.

c. Conclure.
Dans la vie professionnelle

Archéologue et paléonthologues


Les archéologues et les paléontologues sont parfois amené(e)s à déterminer l’âge d’un squelette ou d’un fossile. Ils utilisent pour cela la datation au carbone 14 qui est étudiée dans le cours d’enseignement scientique. Cette technique de datation nécessite l’utilisation de suites numériques similaires à celle étudiée dans l’exercice précédent ainsi que la fonction exponentielle étudiée dans le chapitre 6.

72
[Calculer.] ◉◉
Calculer les sommes suivantes.

1. S=1+4+16++262144\mathrm{S}=1+4+16+\ldots+262\,144


2. T=36+1224++192\mathrm{T}=3-6+12-24+\ldots+192


3. U=9+3+1+13++1729\mathrm{U}=9+3+1+\dfrac{1}{3}+\ldots+\dfrac{1}{729}


4. V=1+0,5+0,25++0,03125\mathrm{V}=1+0{,}5+0{,}25+\ldots+0{,}031 25

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 44 ; 49 ; 54 ; 60 ; 62 ; 65 et 69.
◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 53 ; 55 ; 59 ; 64 ; 70 ; 72 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 50 ; 56 ; 67 ; 71 ; 75 ; 84 et 86.

81
[Modéliser.]
Clément se sert plusieurs fois de la pizza. À chaque fois, il mange la moitié de ce qui reste.

1. Quelle portion de pizza a-t-il mangée après s’être servi cinq fois ?


2. Quelle part de pizza restera-t-il pour son frère Florian ?

73
[Calculer.]
Le but de l’exercice est de manipuler le symbole Σ.\Sigma.

1. Écrire chaque somme en développant puis la calculer.
a. S=i=0152i\mathrm{S}=\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{15} 2^i


b. T=i=27(14)i\mathrm{T}=\mathop{\sum}\limits_{i=2}\limits^{7} \left( \dfrac{1}{4} \right)^i


2. Écrire chaque somme avec le symbole Σ\Sigma puis la calculer.
a. U=112+1418++1256\mathrm{U}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\ldots+\dfrac{1}{256}


b. V=2+6+18+54++13122\mathrm{V}=2+6+18+54+\ldots+13 \, 122

76
ALGO
[Calculer.]
On reprend l’énoncé de l’exercice précédent.

1. Écrire un algorithme afin de déterminer le niveau de compression nécessaire pour stocker 100 000 photos sur une clé USB d’une capacité de 64 Go.


2. Le programmer sous Python afin de répondre à la question.




71
[Calculer.] ◉◉◉
Dans chaque cas, on considère deux termes d’une suite géométrique (vn)(v_n) définie sur N.\N. Déterminer la raison et le premier terme puis exprimer vnv_n en fonction de nn, pour tout nN.n \in \N.

1. v3=6v_3=6 et v8=1458.v_8=1\,458.


2. v6=18v_6=-18 et v12=932.v_{12}=-\dfrac{9}{32}.


3. v10=15v_{10}=15 et v15=46875.v_{15}=46\, 875.


4. v21=65536v_{21}=65\, 536 et v23=262144.v_{23}=262\, 144.

77
[Chercher.]
Déterminer le sens de variation des suites géométriques suivantes définies sur N.\N.

1. a. vn=4n3n+1v_{n}=\dfrac{4^{n}}{3^{n+1}}


b. vn=(7)nv_{n}=(-7)^{n}


c. vn=5n×2nv_{n}=5^{n} \times 2^{n}


d. vn=13nv_{n}=\dfrac{1}{3^{n}}



2. a. v3=6v_{3}=6 et v8=1458v_{8}=1\,458


b. v6=18v_{6}=-18 et v12=932v_{12}=-\dfrac{9}{32}


c. v10=15v_{10}=15 et v15=46875v_{15}=46\, 875


d. v21=65536v_{21}=65\, 536 et v23=262144v_{23}=262\, 144

80
[Modéliser.]

Deux amis partent pour une randonnée de 200 km. Le premier jour, ils marchent 20 km. En raison de la fatigue, la distance parcourue diminue de 5 % par jour. Déterminer à l’aide de la calculatrice en combien de jours ils termineront leur randonnée.


69
[Calculer.] ◉◉
Pour chacune des suites, calculer v20.v_{20}.

1. La suite (vn)(v_n) est géométrique de raison q=3q = 3 et telle que v3=12.v_3 =12.


2. La suite (vn)(v_n) est géométrique de raison q=2q = -2 et telle que v31=32.v_{31} =32.


3. La suite (vn)(v_n) est définie par {v0=5vn+1=2vn,nN\left\{\begin{array}{l}{v_{0}=-5} \\ {v_{n+1}=2 v_{n}, n \in \mathbb{N}}\end{array}\right.


4. La suite (vn)(v_n) est définie par {v1=2048vn+1=12vn,nN\left\{\begin{array}{l}{v_{1}=2\,048} \\ {v_{n+1}=-\dfrac{1}{2} v_{n}, n \in \mathbb{N}}\end{array}\right.

70
[Calculer.] ◉◉
Déterminer si les suites suivantes sont géométriques. Si oui, donner le premier terme et la raison.

1. Pour tout nNn \in \N, vn=4n3n+1.v_{n}=\dfrac{4^{n}}{3^{n+1}}.


2. Pour tout nNn \in \N, vn=(7)n.v_{n}=(-7)^{n}.


3. Pour tout nNn \in \N, vn=5n+2n.v_{n}=5 n+2^{n}.


4. Pour tout nNn \in \N, vn=13n.v_{n}=\dfrac{1}{3^{n}}.

75
EN SNT
[Modéliser.] ◉◉◉
Pour stocker des photos numériques, on utilise un algorithme de compression. On estime qu’à chaque niveau de compression, la taille diminue de 21,4 %.
La taille initiale d’une photo est de 4 Mo. On pose T0=4T_0 =4 et, pour tout entier naturel non nul nn , TnT_n désigne la taille de cette photo après une compression de niveau n.n.

1. Calculer T1T_1 et T2.T_2 .


2. Pour tout nNn \in \N, exprimer Tn+1T_{n+1} en fonction de Tn.T_n . En déduire la nature de la suite (Tn).(T_n).


3. Exprimer TnT_n en fonction de n.n .


4. Peut-on stocker 20 000 photos sur une clé USB d’une capacité de 32 Go ? Avec quelle compression ?

78
[Calculer.]
Soit (un)(u_n) la suite définie par {u0=3un+1=12un4,nN\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=-3} \\ {u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_{n}-4, n \in \mathbb{N}}\end{array}\right.
On pose vn=un+8v_n = u_n +8 pour tout nN.n \in \N.

1. Montrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique. Donner sa raison et son premier terme.


2. Exprimer vnv_n puis unu_n en fonction de n.n .


3. Déterminer le sens de variation de chaque suite.

74
EN MÉDECINE
[Modéliser.] ◉◉
Afin de greffer 10 cm² de peau à une personne brûlée, on lui en prélève 20 mm². La culture permet d’augmenter de 15 % la surface de peau chaque jour.
Dans combien de jours pourra se faire la greffe de peau ?

1. Calculer la surface les deuxième et troisième jours.


2. Pour tout entier naturel nn , vnv_n modélise la surface de peau le jour n.n . Écrire une relation entre vn+1v_{n+1} et vn.v_n.


3. Quelle est la nature de la suite (vn)(v_n) ?


4. Donner l’expression de vnv_n en fonction de n.n .


5. Répondre au problème posé.

82
[Modéliser.]
Le format d’une feuille de papier est tel que le rapport entre la longueur et la largeur soit constant.
La surface du format A0 est de 1 m². Pour le format A1, la longueur est divisée par deux et devient la nouvelle largeur. On recommence ainsi pour chaque format en divisant la longueur du format précédent par deux et en conservant le même rapport entre la longueur et la largeur.

Différents formats de papier

1. On souhaite que le rapport des longueurs aux largeurs soit toujours le même.
Suites géométriques : schéma de définition des notations

a. À partir de l’égalité L11=L0l0\dfrac{\mathrm{L}_{1}}{\ell_{1}}=\dfrac{\mathrm{L}_{0}}{l_{0}} en déduire la valeur du rapport L00.\dfrac{\mathrm{L}_{0}}{\ell_{0}}.


b. Sachant que la feuille au format A0 a une aire de 1 m², en déduire les valeurs L0\mathrm{L}_0 et 0.\ell_{0}.


2. a. Prouver que la suite (Ln)(L_n) des longueurs des feuilles AnA_n est une suite géométrique de raison q=22.q=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.


b. Quel est son sens de variation ?


c. Donner une expression du terme général LnL_n en fonction de nN.n \in \N .


3. Quelle est la nature de la suite (n)(\ell_n) des largeurs ? Quel est son sens de variation ?


4. Retrouver alors les dimensions d’une feuille A4.
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