Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r.$

Le nombre réel $r$ est appelé la raison de la suite $(u_n).$

« Il existe $r$ tel que pour tout $n$ » signifie qu'on utilise le même nombre $r$ pour toutes les valeurs de $n.$

Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ , $u_n=u_p+(n-p)r.$

En particulier, pour tout entier naturel $n$ , $u_n=u_0+nr.$

La réciproque est vraie : s'il existe $r$ tel que $u_n=A+rn$ pour tout entier $n$, alors $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0=A.$

1. Cas où $n⩾p$ : de $u_p$ à $u_n$, on ajoute $n-p$ fois la raison donc on a $u_n=u_p+(n-p)r.$
2. Cas où $n⩽p$ : avec la formule précédente, on peut écrire $u_p=u_n+(p-n)r$ d'où $u_n=u_p-(p-n)r=u_p+(n-p)r$.

On réalise ici une démonstration par disjonction des cas.

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison 3 telle que $u_{10}=2.$
Alors $u_{22}=u_{10}+(22-10)r=2+12\times 3=38.$
$u_0=u_{10}+(0-10)\times r=2-10\times 3=-28.$

1. Soit $(u_n)$, la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n+6.$ Déterminer la raison et le premier terme de cette suite arithmétique.
2. Soit $(v_n)$, la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=-5n+7.$ Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.

Calculer la différence $u_{n+1}-u_n.$ Pour tout $n\in \mathbb{N}$, la différence doit être constante et indépendante de $n.$

On pose : $\mathrm{S}=1+2+\dots +(n-1)+n$
On peut aussi écrire : $\mathrm{S}=n+(n-1)+\dots +2+1$
Ainsi, $2\mathrm{S}=(1+n)+(2+(n-1))+\dots +(2+(n-1))+(n+1)$
donc $2\mathrm{S}=n(n+1)$ d'où $\mathrm{S}=\frac{n(n+1)}{2}.$

L'addition est commutative donc $1+2+3=3+2+1.$

La somme des 100 premiers entiers naturels non nuls est :

$1+2+\dots +100=\frac{100\times (100+1)}{2}=50\times 101=5050.$

En utilisant la somme des termes d'une suite arithmétique, calculer la somme $10+13+16+...+163.$

• Simplifier la somme en faisant apparaître $1+2+3+\dots +n.$
• Compter correctement le nombre de termes.
• Utiliser la formule du cours pour calculer $1+2+\dots +n.$

Une suite arithmétique de raison $r$ est :

• croissante si $r>0$ ;
• décroissante si $r<0$ ;
• constante si $r=0.$

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$. Alors, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+r$ soit $u_{n+1}-u_n=r$. Le signe de $u_{n+1}-u_n$ est donc celui de $r$ d'où la conclusion de la propriété.

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n⩾0$ par $u_n=5n-4.$ Étudier le sens de variation de $(u_n).$

1. On calcule la différence $u_{n+1}-u_n.$
2. Si la différence est constante, alors on conclut que la suite est arithmétique.
3. On utilise alors la propriété qui permet de déterminer le sens de variation selon le signe de la raison.