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COURS 2


2
Suites arithmétiques




A
Généralités


Définition

Une suite (un)(u_n) est dite arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel rr tel que, pour tout entier naturel nn, un+1=un+r.u_{n+1}= u_n +r.

Le nombre réel r r est appelé la raison de la suite (un).(u_n).

LOGIQUE

« Il existe rr tel que pour tout nn » signifie qu’on utilise le même nombre rr pour toutes les valeurs de n.n.

Exemple

La suite (un)(u_n) est définie sur N\mathbb{N} par u0=3u_0 = -3 et un+1=un+2.u_{n +1} = u_n + 2. Par définition, (un)(u_n) est la suite arithmétique de raison 22 et de premier terme u0=3.u_0 = -3.

Propriété

Si (un)(u_n) est une suite arithmétique de raison rr, alors, pour tous entiers naturels nn et pp , un=up+(np)r.u_n = u_p + (n-p)r.

En particulier, pour tout entier naturel nn , un=u0+nr.u_n=u_0 + nr.

LOGIQUE

La réciproque est vraie : s’il existe rr tel que un=A+rnu_n = A + rn pour tout entier nn, alors (un)(u_n) est une suite arithmétique de raison rr et de premier terme u0=A.u_0 = A.

Démonstration


1. Cas où npn\geqslant p : de up u_p à unu_n, on ajoute npn - p fois la raison donc on a un=up+(np)r.u_n =u_p + (n - p)r.
2. Cas où npn\leqslant p : avec la formule précédente, on peut écrire up=un+(pn)ru_p =u_n + (p - n)r d’où un=up(pn)r=up+(np)ru_n =u_p - (p - n)r = u_p + (n-p)r.

LOGIQUE

On réalise ici une démonstration par disjonction des cas.

Démonstration au programme


Exemple

Soit (un)(u_n) la suite arithmétique de raison 3 telle que u10=2.u_{10} = 2.
Alors u22=u10+(2210)r=2+12×3=38.u_{22}=u_{10} + (22-10)r = 2+12\times 3 = 38.
u0=u10+(010)×r=210×3=28.u_0= u_{10} +(0-10)\times r=2-10\times 3 = -28.

Application et méthode

Énoncé

1. Soit (un)(u_n), la suite définie sur N\mathbb{N} par u0=2u_0 = 2 et un+1=un+6.u_{n+ 1} = u_n + 6.
Déterminer la raison et le premier terme de cette suite arithmétique.

2. Soit (vn)(v_n), la suite définie sur N\mathbb{N} par vn=5n+7.v_n=-5n+7. Montrer que la suite (vn)(v_n) est arithmétique.

Méthode

Calculer la différence un+1un.u_{n+1} - u_n.
Pour tout nNn \in \mathbb{N}, la différence doit être constante et indépendante de n.n.

SOLUTION


1. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1un=6u_{n+ 1} - u_n = 6 donc (un)(u_n) est une suite arithmétique de raison r=6r = 6 et de premier terme u0=2.u_0 =2.

2. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, vn+1=5(n+1)+7=5n+2v_{n+1}= -5(n + 1) +7 = -5n + 2 donc
vn+1vn=(5n+2)(5n+7)=5n+2+5n7=5.v_{n+1}-v_{n}=(-5 n+2)-(-5 n+7)=-5 n+2+5 n-7=-5.
La suite (vn)(v_n) est une suite arithmétique de raison r=5r = -5 et de premier terme v0=5×0+7=7.v_0=-5 \times 0 +7 = 7.

Pour s'entraîner : exercices 26, 27 et 28 p. 31

B
Somme de termes


Propriété

Pour tout entier naturel nn non nul, 1+2++n=n(n+1)2.1+2+\ldots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Démonstration


On pose : S=1+2++(n1)+n\mathrm{S}=1+2+\ldots+(n-1)+n
On peut aussi écrire : S=n+(n1)++2+1\mathrm{S}=n+(n-1)+\ldots+2+1
Ainsi, 2S=(1+n)+(2+(n1))++(2+(n1))+(n+1)2 \mathrm{S}=(1+n)+(2+(n-1))+\ldots+(2+(n-1))+(n+1)
donc 2S=n(n+1)2 \mathrm{S}=n(n+1) d'où S=n(n+1)2.\mathrm{S}=\dfrac{n(n+1)}{2}.

LOGIQUE

L’addition est commutative donc 1+2+3=3+2+1.1 + 2 + 3 = 3 + 2 + 1.

Démonstration au programme


Exemple

La somme des 100 premiers entiers naturels non nuls est :

1+2++100=100×(100+1)2=50×101=5050.1+2+\ldots+100=\dfrac{100 \times(100+1)}{2}=50 \times 101=5\,050.

Application et méthode

Énoncé

En utilisant la somme des termes d’une suite arithmétique, calculer la somme 10+13+16+...+163.10 + 13 + 16 + ... + 163.

Méthode

  • Simplifier la somme en faisant apparaître 1+2+3++n.1+2+3+\ldots+n.
  • Compter correctement le nombre de termes.
  • Utiliser la formule du cours pour calculer 1+2++n.1+2+\ldots+n.

SOLUTION


On a :
10+13+16+...+16310 + 13 + 16 + ... + 163
=(10+3×0)+(10+3×1)+(10+3×2)+...+(10+3×51)= (10 + 3 \times 0) + (10 + 3 \times 1) + (10 + 3 \times 2) + ... + (10 + 3 \times 51)
=10×52+3×(0+1+2+...+51)= 10 \times 52 + 3 \times (0 + 1 + 2 + ... + 51)
=520+3×51×522=4498= 520+3 \times \dfrac{51 \times 52}{2}=4\,498


Pour s'entraîner : exercices 60 p. 34 et 61 p. 35

C
Sens de variation


Propriété

Une suite arithmétique de raison rr est :
  • croissante si r>0r > 0 ;
  • décroissante si r<0r \lt 0 ;
  • constante si r=0. r = 0.

Démonstration


Soit (un) (u_n) une suite arithmétique de raison rr. Alors, pour tout nn, un+1=un+ru_{n+1}=u_{n}+r soit un+1un=ru_{n+1}-u_{n}=r. Le signe de un+1unu_{n+1}-u_{n} est donc celui de rr d’où la conclusion de la propriété.

Application et méthode

Énoncé

Soit (un)(u_n) la suite définie pour tout entier n0n \geqslant 0 par un=5n4.u_n= 5n-4.
Étudier le sens de variation de (un).(u_n).

Méthode

1. On calcule la différence un+1un.u_{n+1}-u_{n}.

2. Si la différence est constante, alors on conclut que la suite est arithmétique.

3. On utilise alors la propriété qui permet de déterminer le sens de variation selon le signe de la raison.

SOLUTION


Pour tout nNn\in \mathbb{N} , un+1=5(n+1)4=5n+54=5n+1.u_{n+1}=5(n+1)-4=5 n+5-4=5 n+1.
Pour tout nNn\in \mathbb{N} , un+1un=(5n+1)(5n4)=5n+15n+4=5.u_{n+1}-u_{n}=(5 n+1)-(5 n-4)=5 n+1-5 n+4=5.

La suite (un)(u_n) est donc une suite arithmétique de raison r=5.r = 5. Comme r>0r > 0, la suite (un)(u_n) est strictement croissante.

Pour s'entraîner : exercices 65 et 66 p. 35
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