Activités




B
Un travail récurrent


On souhaite introduire la notion de suite définie par récurrence à l’aide du programme de calcul ci-dessous.

Eˊtape 1 : Prendre un nombre.Eˊtape 2 : Le multiplier par 2.Eˊtape 3 : Ajouter 10. \boxed{ \begin{array} { l } { \text {Étape 1 : Prendre un nombre.}} \\ \text {Étape 2 : Le multiplier par 2.} \\ \text {Étape 3 : Ajouter 10.} \\ \end{array} }

1
Appliquer le programme de calcul pour le nombre 3.3.


2
Appliquer de nouveau le programme au résultat obtenu précédemment.


On continue d’appliquer ce programme à chaque nouveau résultat pour obtenir une suite de nombres. Pour tout entier nn supérieur ou égal à 11, on note vnv_n le nombre obtenu lors de l’application du programme au nn-ième résultat. On pose v0=3v_0 =3 et on obtient alors v1=16.v_1 =16.

3
Quelle est la valeur de v2v_2 et celle de v3v_3 ?


4
a) Quelle formule permet de passer de v1v_1 à v2v_2 ? Et de v2v_2 à v3v_3 ?


b) Pour tout entier nn, exprimer vn+1v_{n+1} en fonction de vnv_n.


5
Combien de termes faut-il calculer pour déterminer la valeur de v100v_{100} ?


Objectif
Utiliser un algorithme pour introduire et définir une suite par récurrence.

Voir les réponses


Bilan
Que signifie « définir une suite par récurrence » ? Quelle différence principale y a-t-il avec les suites définies explicitement ?

A
Soyons explicites


On souhaite introduire la notion de suite à l’aide d’un tableur afin de pouvoir trouver une expression du terme général en fonction de n.n. On considère la feuille de calcul suivante.

Tableur activité Soyons explicites

1
Quel résultat sera affiché dans la cellule B2 ?


2
On étend la formule de la cellule B2 jusqu’à la cellule B100. On complète également la colonne A. Quelle est la valeur affichée en cellule B5 ?


3
Pour tout entier nn, on note unu_n la valeur affichée en cellule B(n+1\mathbf{n+ 1} ) .
a) Dans quelle cellule est affichée u0u_0 ? Quelle est sa valeur ?


b) Mêmes questions avec u1u_1, u49u_{49} puis u99.u_{99}.


Objectif
Utiliser un tableur pour introduire et définir une suite de manière explicite.

Remarque :

4
On dit alors que la suite (un)(u_n) est définie de manière explicite ; autrement dit, directement en fonction de n.n.

4
Exprimer unu_n en fonction de nn pour tout entier n.n.


5
On souhaite utiliser la colonne C pour calculer le nombre (n+1)4(n + 1)^4 pour chaque entier nn de 00 à 99.99.
a) Quel sera le résultat pour n=0n = 0 ? n=4n = 4 ? n=10n = 10 ?


b) Quelle formule doit-on écrire en cellule C1 puis recopier jusqu’en cellule C100 pour obtenir les 100 premiers termes de cette suite ?
Voir les réponses


Bilan
Comment définir une suite de manière explicite ? Quel est le lien avec la notion de fonction apprise en seconde ?

C
Suites arithmétiques et géométriques

Voir les réponses


Bilan
Comment définir une suite arithmétique et une suite géométrique ? Pour chaque suite, quelle formule permet de calculer la somme des premiers termes ?


Affiche de Time-out

4
On pose S=u1+u2+....+u31.S = u_1+u_2+....+u_{31}.
a) Que représente cette somme ?


b) Montrer que S=10000(1+2+...+31).S = 10\, 000 (1 + 2 + ... + 31).


c) On note S=1+2+...+31.S' = 1 + 2 + ... + 31. En remarquant que S=31+30+...+1S' = 31 + 30 + ... + 1, montrer que 2S=31×32.2S' = 31 \times 32.


d) En déduire la valeur de SS' puis celle de S.S.


5
On pose T=v1+v2+....+v31.T= v_1+v_2+....+v_{31}.
a) Que représente cette somme ?


b) Montrer que 2T=v2+v3+....+v31+232.2T = v_2+v_3+....+v_{31}+2^{32}.


c) Calculer alors 2TT2T - T pour en déduire la valeur de T.T.


6
Quel contrat l’étudiant doit-il choisir ?

Dans le film de science fiction Time Out se déroulant en 2169, le temps est la nouvelle unité monétaire. Dans ce contexte, un étudiant souhaite trouver un travail pour le mois d’août, deux contrats lui sont proposés :

A : 10 000 secondes le premier jour puis une augmentation de 10 000 secondes supplémentaires par jour.
B : 2 secondes le premier jour et le salaire multiplié par 2 chaque jour.

1
Estimer, sans calcul, le meilleur contrat pour cet étudiant.


2
On s’intéresse au premier contrat.

a) Combien gagnerait-il le 1er août ? Le 2 août ? Le 3 août ?


b) Quelle somme totale aura-t-il gagnée après trois jours de travail ?


c) On note unu_n le montant gagné au jour nn du mois d’août.
Exprimer les résultats de la question
2
a) en utilisant la notation un.u_n.


d) Justifier que, pour tout entier n0n \ne 0, un=10000n.u_n = 10\, 000n.


3
On s’intéresse maintenant au second contrat.

a) Combien gagnerait-il le 1er août ? Le 2 août ? Le 3 août ?


b) Quelle somme totale aura-t-il gagnée après trois jours de travail ?


c) On note vnv_n le montant gagné au jour nn du mois d’août.
Exprimer les résultats de la question
3
a) en utilisant la notation vn.v_n.


d) Justifier que, pour tout entier n0n \ne 0, vn=2n.v_n = 2^n.

Remarque :

2
On dit alors que la suite (un)(u_n) est une suite arithmétique de raison 1000010\,000 et de premier terme u1=10000.u_1 =10\,000.

3
On dit que la suite (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison 22 et de premier terme v1=2.v_1 = 2.


Objectif
Introduire et utiliser les suites arithmétiques et géométriques.

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