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Algèbre
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Analyse

Géométrie

Probabilités et statistiques

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Chapitre 1
Activités

Suites numériques

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A
Soyons explicites

Objectif : Utiliser un tableur pour introduire et définir une suite de manière explicite.
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On souhaite introduire la notion de suite à l'aide d'un tableur afin de pouvoir trouver une expression du terme général en fonction de On considère la feuille de calcul suivante.

Placeholder pour Capture d'écran d'un tableur montrant la formule 1=4^A2+12Capture d'écran d'un tableur montrant la formule 1=4^A2+12
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1
Quel résultat sera affiché dans la cellule B2 ?
2
On étend la formule de la cellule B2 jusqu'à la cellule B100. On complète également la colonne A. Quelle est la valeur affichée en cellule B5 ?
3
Pour tout entier , on note la valeur affichée en cellule B( ) .
a) Dans quelle cellule est affichée ? Quelle est sa valeur ?
b) Mêmes questions avec , puis

4
Exprimer en fonction de pour tout entier

Remarque

On dit alors que la suite est définie de manière explicite ; autrement dit, directement en fonction de

5
On souhaite utiliser la colonne C pour calculer le nombre pour chaque entier de à
a) Quel sera le résultat pour ? ?  ?
b) Quelle formule doit-on écrire en cellule C1 puis recopier jusqu'en cellule C100 pour obtenir les 100 premiers termes de cette suite ?
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Bilan
Comment définir une suite de manière explicite ? Quel est le lien avec la notion de fonction apprise en seconde ?

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B
Un travail récurrent

Objectif : Utiliser un algorithme pour introduire et définir une suite par récurrence.
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On souhaite introduire la notion de suite définie par récurrence à l'aide du programme de calcul ci‑après.
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1
Appliquer le programme de calcul pour le nombre

2
Appliquer de nouveau le programme au résultat obtenu précédemment.
On continue d'appliquer ce programme à chaque nouveau résultat pour obtenir une suite de nombres. Pour tout entier supérieur ou égal à , on note le nombre obtenu lors de l'application du programme au -ième résultat. On pose et on obtient alors

3
Quelle est la valeur de et celle de ?
4
a) Quelle formule permet de passer de à ? Et de à ?
b) Pour tout entier , exprimer en fonction de .
5
Combien de termes faut-il calculer pour déterminer la valeur de ?
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Bilan
Que signifie « définir une suite par récurrence » ? Quelle différence principale y a-t-il avec les suites définies explicitement ?
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C
Suites arithmétiques et géométriques

Objectif : Introduire et utiliser les suites arithmétiques et géométriques.
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Dans le film de science fiction Time Out se déroulant en 2169, le temps est la nouvelle unité monétaire. Dans ce contexte, un étudiant souhaite trouver un travail pour le mois d'août, deux contrats lui sont proposés :

A : 10 000 secondes le premier jour puis une augmentation de 10 000 secondes supplémentaires par jour.
B : 2 secondes le premier jour et le salaire multiplié par 2 chaque jour.

Placeholder pour Affiche du film Time Out, thriller futuriste avec Amanda Seyfried et Justin Timberlake. Un compte à rebours sur un bras suggère que le temps est monnaie.Affiche du film Time Out, thriller futuriste avec Amanda Seyfried et Justin Timberlake. Un compte à rebours sur un bras suggère que le temps est monnaie.
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1
Estimer, sans calcul, le meilleur contrat pour cet étudiant.
2
On s'intéresse au premier contrat.
a) Combien gagnerait-il le 1er août ? Le 2 août ? Le 3 août ?
b) Quelle somme totale aura-t-il gagnée après trois jours de travail ?
c) On note le montant gagné au jour du mois d'août.
Exprimer les résultats de la question
2
a) en utilisant la notation

d) Justifier que, pour tout entier ,

Remarque

On dit alors que la suite est une suite arithmétique de raison et de premier terme

3
On s'intéresse maintenant au second contrat.
a) Combien gagnerait-il le 1er août ? Le 2 août ? Le 3 août ?
b) Quelle somme totale aura-t-il gagnée après trois jours de travail ?
c) On note le montant gagné au jour du mois d'août.
Exprimer les résultats de la question
3
a) en utilisant la notation

d) Justifier que, pour tout entier ,

Remarque

On dit que la suite est une suite géométrique de raison et de premier terme

4
On pose
a) Que représente cette somme ?
b) Montrer que

c) On note En remarquant que , montrer que

d) En déduire la valeur de puis celle de

5
On pose
a) Que représente cette somme ?
b) Montrer que

c) Calculer alors pour en déduire la valeur de

6
Quel contrat l'étudiant doit-il choisir ?
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Bilan
Comment définir une suite arithmétique et une suite géométrique ? Pour chaque suite, quelle formule permet de calculer la somme des premiers termes ?
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