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Entrainement 1


Généralités





48
[Calculer.] ◉◉◉
Pour chacune des suites suivantes, définies sur N\N, exprimer unu_n en fonction de un1u_{n-1} pour tout entier n1n \geqslant 1 puis un+2u_{n+2} en fonction de un+1u_{n+1} pour tout entier n.n.
En déduire une expression de un+2u_{n+2} en fonction de unu_n et de l’entier n.n .

1. {u0=3un+1=5un3\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=3} \\ {u_{n+1}=5 u_{n}-3}\end{array}\right.


2. {u0=1un+1=4un(n3)\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=1} \\ {u_{n+1}=4 u_{n}-(n-3)}\end{array}\right.


3. {u0=1un+1=(n+1)un+2\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=-1} \\ {u_{n+1}=(n+1) u_{n}+2}\end{array}\right.


4. {u0=1un+1=un22n+3\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=-1} \\ {u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^{2}}{2 n+3}}\end{array}\right.



52
[Chercher.]
La suite (un)(u_n) est définie par un=3n2n+1u_{n}=\dfrac{3 n-2}{n+1} pour tout entier naturel n.n .

1. Représenter graphiquement cette suite sur la calculatrice ou un logiciel. Conjecturer son sens de variation et sa limite.

Lancer le module Geogebra
2. Prouver la conjecture sur le sens de variation de la suite.


3. Montrer que pour tout n0n \geqslant 0 , 2un3.-2 \leqslant u_{n} \leqslant 3.


4. Déterminer, par un calcul, l’entier n0n_0 à partir duquel on a un2,8u_n \geqslant 2{,}8 pour tout nn0. n\geqslant n_0 .

51
[Représenter.]
Dans un repère orthonormé, on a représenté la fonction ff définie sur ]2;+[\left] -2\, ;\, +\infty \right[ par f(x)=6x+21f(x)=\dfrac{6}{x+2}-1 et la droite d’équation y=x.y = x .
On définit la suite (un)(u_n) par {u0=5un+1=f(un)\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=5} \\ {u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)}\end{array}\right.

Fonction et suite


1. Reproduire et représenter les cinq premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.

Lancer le module Geogebra
2. Émettre une conjecture sur le sens de variation de la suite, puis sur sa limite.

41
TABLEUR
[Calculer.]
On souhaite calculer les termes d’une suite à l’aide d’un tableur.

Tableur calculant les termes d'une suite

1. Si on étend la formule de la case C2 à la case D2, quelle est la valeur de u2u_2 ?


2. Exprimer le terme général unu_n en fonction de nn en utilisant la formule donnée par le tableur.

40
[Calculer.] ◉◉
Pour chacune des suites suivantes, calculer u0u_0 , u1u_1 , u2u_2 , u3u_3 , u4u_4 et u10u_{10} lorsque c’est possible.

1. un=n1+2nu_{n}=\sqrt{n-1}+2 n


2. un=5n32n2u_{n}=\dfrac{5 n-3}{2 n-2}


3. un=cos(nπ2)u_{n}=\cos \left(n \dfrac{\pi}{2}\right)


4. un=(12)nu_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}

43
[Calculer.] ◉◉
Pour chacune des suites suivantes définies sur N\N, exprimer un1u_{n-1} et un+1u_{n+1} en fonction de nn :

1. un=6n+8u_{n}=6 n+8


2. un=n22n+8u_{n}=n^{2}-2 n+8


3. un=n(n+1)n+2u_{n}=\dfrac{n(n+1)}{n+2}


4. un=5nu_{n}=5^{n}


5. un=3n+12nu_{n}=\dfrac{3^{n+1}}{2^{n}}


6. un=9n54n+6u_{n}=\dfrac{9 n-5}{4 n+6}


7. un=(n2n+1)n+1u_{n}=\left(\dfrac{n^{2}}{n+1}\right)^{n+1}

46
TABLEUR
[Modéliser.]
On souhaite calculer les termes d’une suite à l’aide d’un tableur.

Pour chacune des feuilles de calcul, écrire la relation donnant un+1u_{n+1} en fonction de un.u_n .

1.
Suite et tableur



2.
Suite et tableur


44
[Calculer.] ◉◉
Pour chacune des suites définies pour tout entier naturel nn , calculer les trois termes suivant le premier.

1. {u0=2un+1=3un4n\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=2} \\ {u_{n+1}=3 u_{n}-4 n}\end{array}\right.


2. {u0=0un+1=un2+12n+1\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=0} \\ {u_{n+1}=u_{n}^{2}+\dfrac{1}{2 n+1}}\end{array}\right.


3. {u0=3un=5un12\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=3} \\ {u_{n}=5 u_{n-1}-2}\end{array}\right.


4. {u0=1u1=2un+2=2un+1+un\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=1} \\ {u_{1}=2} \\ {u_{n+2}=2 u_{n+1}+u_{n}}\end{array}\right.


5. {u0=1u1=2un+2=un+1+n\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=1} \\ {u_{1}=2} \\ {u_{n+2}=u_{n+1}+n}\end{array}\right.

42
ALGO
[Calculer.]
On considère l’algorithme suivant :

Pour i allant de 1 aˋ 10:2i1Fin Pour \boxed{ \begin{array} { l } { \text {Pour i allant de } 1 \text{ à } 10 :} \\ \quad \text {U } \leftarrow 2\text{i} -1\\ \text {Fin Pour} \end{array} }

1. Quelle sera la dernière valeur calculée par cet algorithme ?


2. On appelle (un)(u_n) la suite associée aux valeurs calculées par l’algorithme.
Donner l’expression du terme général de cette suite.

45
[Calculer.]
Utiliser la calculatrice afin de faire afficher de la quatrième à la dixième valeur des deux suites suivantes définies sur N.\N.

1. {u0=2un+1=nun+5\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=2} \\ {u_{n+1}=n u_{n}+5}\end{array}\right.


2. {u0=1un+1=un2(n+2)\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=-1} \\ {u_{n+1}=u_{n}^{2}-(n+2)}\end{array}\right.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 44 ; 49 ; 54 ; 60 ; 62 ; 65 et 69.
◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 53 ; 55 ; 59 ; 64 ; 70 ; 72 et 74.
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 50 ; 56 ; 67 ; 71 ; 75 ; 84 et 86.

49
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la suite (un)(u_n) définie par :

1. un=n+1n+2u_{n}=\dfrac{n+1}{n+2} pour tout n0n\geqslant 0


2. un=3nnu_{n}=\dfrac{3^{n}}{n} pour tout n1n\geqslant 1


3. un=n23n+12u_{n}=n^{2}-3 n+12 pour tout n0n\geqslant 0


4. un=1n1n+1u_{n}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} pour tout n1n\geqslant 1



50
[Représenter.] ◉◉◉
Dans un repère orthonormé, on a représenté la fonction ff définie sur R\R par f(x)=0,5x+3f(x) = 0{,}5x + 3 et la droite d’équation y=x.y = x .
On définit la suite (un)(u_n) par {u0=1un+1=f(un)\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=1} \\ {u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)}\end{array}\right.

Fonction et suite

1. Reproduire la figure et représenter les cinq premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.

Lancer le module Geogebra
2. Conjecturer le sens de variation de la suite (un).\left(u_n\right).


3. Conjecturer la limite de la suite.

47
ALGO
[Calculer.]
On considère l'algorithme ci-dessous définissant une suite (un):\left(u_n\right)\::

U1Pour i allant de 1 aˋ 10:UU1U2Fin Pour \boxed{ \begin{array} { l } { \text {U} \leftarrow 1 } \\ \text {Pour i allant de } 1 \text{ à } 10 : \\ \quad \text {U} \leftarrow \dfrac{\text {U}-1}{\text {U}-2}\\ \text {Fin Pour} \end{array} }

1. Que calcule cet algorithme ?


2. Écrire une relation entre un+1u_{n+1} et un.u_n.

53
[Calculer.] ◉◉
Soit (un)(u_n) la suite définie pour tout entier naturel nn par un=5+32n+1u_{n}=5+\dfrac{3}{2 n+1}.

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite (un).(u_n).


2. Déterminer le sens de variation de (un).(u_n).


3. Déterminer par le calcul le plus petit entier n0n_0 tel que un050,001.\left|u_{n_0}-5\right| \leqslant 0{,}001.


4. Conjecturer la limite de la suite.


5. Question facultative :
a. Écrire un algorithme permettant de trouver le rang n0n_0 à partir duquel un05ε\left|u_{n_{0}}-5\right| \leqslant \varepsilon pour ε\varepsilon donné par l’utilisateur.


b. Programmer l’algorithme et le tester pour ε=0,001\varepsilon = 0{,}001, ε=105\varepsilon=10^{-5} puis ε=106.\varepsilon = 10^{-6}.


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