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Histoire des mathématiques : Algèbre
P.12-13

Partie 1
Histoire des mathématiques


Algèbre





❚❙❙ Al-Khwârizmî et la naissance de l’algèbre

À l’origine, l’algèbre désignait l’étude des opérations mathématiques ainsi que la résolution d’équations. On en retrouve des traces dès l’Antiquité en Égypte et en Mésopotamie par exemple. À cette époque, pour résoudre une équation, les scientifiques utilisaient principalement des techniques géométriques et algorithmiques. Dans la Grèce antique, où la géométrie était au coeur des sciences, les mathématiciens réalisaient des constructions géométriques et assimilaient les longueurs à des nombres pour résoudre des équations. Le terme « algèbre » nous vient du manuscrit Abrégé de calcul par la restauration [al-jabr] et la comparaison [al-muqabala] du mathématicien Al-Khwârizmî (Perse, vers 780-850), offert à Al-Mamoun, calife de Bagdad célèbre pour son amour des sciences et des arts. « Al-jabr » a donné le mot « algèbre », et « Al-Khwârizmî » celui d’algorithme. Ce livre a ouvert la voie à l’algèbre moderne que nous connaissons.

Statue de Al-Khwarizmi

Statue d’Al-Khwârizmî, Khiva, Ouzbékistan.

Les méthodes utilisées par Al-Khwârizmî étaient elles aussi géométriques mais, dans son livre, il proposait également des algorithmes utilisables par le lecteur pour résoudre « à la main » des équations du second degré. Pour résoudre une telle équation, il suffisait d’appliquer, consigne après consigne, les indications qui menaient à la solution. À cette époque, les équations n’avaient pas encore la forme que nous connaissons actuellement. Elles étaient écrites en toutes lettres et formaient des phrases. Le mot « bien » (ou « chose ») désignait l’inconnue, « racine » la racine carrée de l’inconnue et « nombres » les coefficients de l’équation.

Livre d'Al-Khwarizmi

Copie d’une page du livre sur l’algèbre d’Al-Khwârizmî.

❚❙❙ Résolution géométrique d’une équation du second degré

On trouve dans le livre II des Éléments d’Euclide (Alexandrie, vers 300 av. J.-C.) la résolution de la famille d’équations qui s’écrivent de nos jours
Pour résoudre une telle équation, Euclide, comme tous les mathématiciens avant Al-Khwârizmî, proposa une construction géométrique. Dans la figure ci-contre, les quadrilatères sont des carrés, les points , et sont sur un cercle de centre , et la longueur est la solution de l’équation.

Construction géométrique histoire des sciences

❚❙❙ Viète et la naissance des notations littérales

Pour accélérer la rédaction et la résolution d’équations, les mathématiciens ont progressivement introduit des notations formées de chiffres de lettres et de symboles. Pour Bombelli (1526-1572) par exemple, l’équation se notait C’est à Viète (1540-1603) que l’on doit l’utilisation systématique du calcul littéral pour traiter de façon générale un problème. Il désigna par des lettres les inconnues et leurs puissances ainsi que les coefficients indéterminés. Les méthodes actuelles sont un aboutissement de ce long cheminement.

❚❙❙ Fibonacci

Après avoir vécu longtemps en Afrique du Nord, Léonard de Pise, dit Fibonacci (1170-1250), en rapporte l’ensemble des connaissances mathématiques qu’il publie en 1202 dans le Liber Abaci (ci-dessous). Outre l’utilisation de la numération arabe, on y trouve ce qui semble être la première modélisation mathématique d’une évolution démographique, la suite de Fibonacci : « Combien de couples de lapins obtient-on à la fin d’une année si, commençant avec un couple, chacun des couples produit chaque mois un nouveau couple qui devient productif au second mois ? »

Liber abaci : livre de Fibonacci

Le Liber Abaci, Fibonacci.

Questions

1. En utilisant une construction géométrique, comment peut-on représenter un segment de longueur et ainsi résoudre l’équation à la manière des Grecs ?


2. Écrire l’équation en utilisant la notation de Bombelli.
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Frise chronologique

780 - 850
Muhammad Ibn Mūsā al-Khwârizmî
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