Partie 1
Histoire des mathématiques


Algèbre





❚❙❙ Fibonacci

Après avoir vécu longtemps en Afrique du Nord, Léonard de Pise, dit Fibonacci (1170-1250), en rapporte l’ensemble des connaissances mathématiques qu’il publie en 1202 dans le Liber Abaci (ci-dessous). Outre l’utilisation de la numération arabe, on y trouve ce qui semble être la première modélisation mathématique d’une évolution démographique, la suite de Fibonacci : « Combien de couples de lapins obtient-on à la fin d’une année si, commençant avec un couple, chacun des couples produit chaque mois un nouveau couple qui devient productif au second mois ? »

Liber abaci : livre de Fibonacci

Le Liber Abaci, Fibonacci.

Questions

1. En utilisant une construction géométrique, comment peut-on représenter un segment de longueur 2\sqrt{2} et ainsi résoudre l’équation x2=2x^2 = 2 à la manière des Grecs ?


2. Écrire l’équation 2x2=4x3+28x+22 x^{2}=4 x^{3}+28 x+2 en utilisant la notation de Bombelli.

❚❙❙ Viète et la naissance des notations littérales

Pour accélérer la rédaction et la résolution d’équations, les mathématiciens ont progressivement introduit des notations formées de chiffres de lettres et de symboles. Pour Bombelli (1526-1572) par exemple, l’équation x3=32x+24x^{3}=32 x+24 se notait 1˘3a32˘1p.24˘0.\mathop{\breve{1}}\limits\limits^{3}a\mathop{\breve{32}}\limits\limits^{1}p.\mathop{\breve{24}}\limits\limits^{0}. C’est à Viète (1540-1603) que l’on doit l’utilisation systématique du calcul littéral pour traiter de façon générale un problème. Il désigna par des lettres les inconnues et leurs puissances ainsi que les coefficients indéterminés. Les méthodes actuelles sont un aboutissement de ce long cheminement.

❚❙❙ Résolution géométrique d’une équation du second degré

On trouve dans le livre II des Éléments d’Euclide (Alexandrie, vers 300 av. J.-C.) la résolution de la famille d’équations qui s’écrivent de nos jours ax=xax.\dfrac{a}{x}=\dfrac{x}{a-x}.
Pour résoudre une telle équation, Euclide, comme tous les mathématiciens avant Al-Khwârizmî, proposa une construction géométrique. Dans la figure ci-contre, les quadrilatères sont des carrés, les points F \text{F} , B\text{B} et C\text{C} sont sur un cercle de centre E\text{E}, AB=a\text{AB} = a et la longueur AM\text{AM} est la solution de l’équation.

Construction géométrique histoire des sciences

❚❙❙ Al-Khwârizmî et la naissance de l’algèbre

À l’origine, l’algèbre désignait l’étude des opérations mathématiques ainsi que la résolution d’équations. On en retrouve des traces dès l’Antiquité en Égypte et en Mésopotamie par exemple. À cette époque, pour résoudre une équation, les scientifiques utilisaient principalement des techniques géométriques et algorithmiques. Dans la Grèce antique, où la géométrie était au coeur des sciences, les mathématiciens réalisaient des constructions géométriques et assimilaient les longueurs à des nombres pour résoudre des équations. Le terme « algèbre » nous vient du manuscrit Abrégé de calcul par la restauration [al-jabr] et la comparaison [al-muqabala] du mathématicien Al-Khwârizmî (Perse, vers 780-850), offert à Al-Mamoun, calife de Bagdad célèbre pour son amour des sciences et des arts. « Al-jabr » a donné le mot « algèbre », et « Al-Khwârizmî » celui d’algorithme. Ce livre a ouvert la voie à l’algèbre moderne que nous connaissons.

Statue de Al-Khwarizmi

Statue d’Al-Khwârizmî, Khiva, Ouzbékistan.

Les méthodes utilisées par Al-Khwârizmî étaient elles aussi géométriques mais, dans son livre, il proposait également des algorithmes utilisables par le lecteur pour résoudre « à la main » des équations du second degré. Pour résoudre une telle équation, il suffisait d’appliquer, consigne après consigne, les indications qui menaient à la solution. À cette époque, les équations n’avaient pas encore la forme que nous connaissons actuellement. Elles étaient écrites en toutes lettres et formaient des phrases. Le mot « bien » (ou « chose ») désignait l’inconnue, « racine » la racine carrée de l’inconnue et « nombres » les coefficients de l’équation.

Livre d'Al-Khwarizmi

Copie d’une page du livre sur l’algèbre d’Al-Khwârizmî.

Eras

  1. 700 - 1500 : Les Mathématiques du Monde Arabe
  2. 1500 - 1600 : La Renaissance Italienne

Évènements

  1. 780 - 850 :Muhammad Ibn Mūsā al-Khwârizmî | L’histoire le retient comme l’inventeur de l’algèbre. Il publie un manuscrit intitulé <i data-reactroot="">Abrégé de calcul par la restauration</i> [al-jabr] et <i data-reactroot="">la comparaison</i> [al-muqabala]. Bien que ses méthodes sont basées sur des démonstrations géométriques, il propose des algorithmes utilisables par le lecteur pour résoudre « à la main » des équations du second degré. Pour résoudre une telle équation, il suffit alors d’appliquer, consigne après consigne, les indications qui mènent à la solution. « Al-jabr » a donné le mot « algèbre », et « Al-Khwârizmî » celui d’algorithme. Ce livre a ouvert la voie à l’algèbre moderne que nous connaissons. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Al-Khw%C3%A2rizm%C3%AE" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à al-Khwârizmî.
  2. 1048 - 1131 :Omar al Khayyām | Poète, philosophe et scientifique, Omar al Khayyam publie dans son « traité d’algèbre » une classification algébrique de 25 équations de degré inférieur ou égal à 3, et, pour la première fois dans l’histoire propose une théorie géométrique des équations de degré 3. Dans d’autres de ses travaux, ne pouvant pas trouver de méthodes algébriques pour résoudre des équations plus compliquées, Omar al Khayyam propose également des méthodes que l’on pourra qualifier d’analytiques et qui en donnent les solutions approchées. Il précise qu’il « est possible d’augmenter la précision jusqu’à ce que l’erreur soit imperceptible ». Bien que la contribution d’Omar al Khayyam au développement des mathématiques, et en particulier de l’algèbre, soit importante, ses idées ne semblent pas avoir beaucoup circulé hors des frontières de la Perse. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Omar_Khayyam" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à al Khayyām.
  3. 1170 - 1250 :Leonardo Pisano dit Fibonnaci | Après avoir vécu longtemps en Afrique du Nord, Leonardo Pisano, dit Fibonacci, en rapporte l’ensemble des connaissances mathématiques qu’il publie en 1202 dans le <i data-reactroot="">Liber Abaci.</i> Outre l’utilisation de la numération arabe, on y trouve ce qui semble être la première modélisation mathématique d’une évolution démographique, la suite de Fibonacci. Ses écrits permettront d’imposer en Europe l’utilisation des chiffres dits arabes. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Fibonnaci.
  4. 1321 - 1382 :Nicole Oresme | Il trouve que le latin n’est pas assez riche pour des publications mathématiques et décide de simplifier ses manuscrits en le rédigeant en français. De ce fait, il invente de nouveaux termes scientifiques comme numérateur, dénominateur, cubique, divisible,... et des notations mathématiques comme celles sur les fractions ou les exposants. En donnant une équation pour caractériser une droite, il devient le précurseur de la géométrie algébrique . Il a été le précepteur du roi Charles V. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Nicole_Oresme" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Oresme.
  5. 1445 - 1517 :Luca Pacioli | Il reprend l’ensemble des connaissances de son époque et les publie dans différents manuscrits. Ses écrits servent surtout à trouver des solutions à des problèmes, en particulier en économie et commerce. Il simplifie certaines notations mathématiques et plus particulièrement celles sur les racines carrées. Dans le <i data-reactroot="">Summa e Arithmetica</i>, on trouve certainement ce qui est la première trace d’un problème à caractère probabiliste dit “du chevalier de Mérée”. Il est ami avec Leonardo da Vinci qui illustre certains de ses manuscrits. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Pacioli.
  6. 1445 - 1517 :Niccolo Tartaglia | D’origine particulièrement modeste, il est gravement blessé dans sa jeunesse par les troupes de Louis XII lors du sac de Brescia et il en gardera des séquelles toute sa vie. Il apporte, entre autres, une méthode générale de résolution de certaines équations du 3e degré et la donnera à Gerolamo Cardano. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="Cardano.https://fr.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Fontana_Tartaglia" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Tartaglia.
  7. 1501 - 1576 :Jérôme Cardan (Gerolamo Cardano) | Médecin, mathématicien, astrologue, chimiste,... Cardan avait plus d’une corde à son arc. En mathématiques, il développe les méthodes de résolutions des équations du 3e degré reprises à Tartaglia. Il découvre les nombres complexes qu’il qualifie alors de « tanto sottile quanto inutile ». En géométrie, il découvre une propriété qui laissera son nom à un joint de transmission (le cardan) que l’on utilise de nos jours en particulier dans l’automobile. Son livre <i data-reactroot="">Liber de ludo aleae</i> constitue le premier exposé de calcul sur les probabilités. Malgré de nombreuses amitiés avec des cardinaux, il est accusé d’hérésie et condamné en 1572 par l’inquisition. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/J%C3%A9r%C3%B4me_Cardan" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Cardan.
  8. 1526 - 1572 :Raphaël Bombelli | Ingénieur de formation, il est admiratif des travaux de Cardan et décide de publier son propre livre d’algèbre, l’<i data-reactroot="">Algebra</i>, qu’il écrira en italien ce qui facilitera sa diffusion et l’utilisation de l’algèbre. Dans ce livre, il expose l’algèbre depuis ses fondements et adopte des notations novatrices qui facilitent les opérations algébriques, comme un système de parenthèses, ainsi que des notations exponentielles pour désigner la puissance d’une inconnue avec son coefficient (par exemple, l’équation actuelle <span class="sc-ktHwxA kLoJAe"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msup><mi>x</mi><mn>3</mn></msup><mo>=</mo><mn>32</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>24</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">x^3=32x+24</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8141079999999999em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">x</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8141079999999999em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.72777em;vertical-align:-0.08333em;"></span><span class="mord">3</span><span class="mord">2</span><span class="mord mathdefault">x</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.64444em;vertical-align:0em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mord">4</span></span></span></span></span></span> se note <span class="sc-ktHwxA kLoJAe"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi><mover><mo><mover accent="true"><mn>1</mn><mo>˘</mo></mover></mo><mn>3</mn></mover></mi><mtext> </mtext><mi>a</mi><mtext> </mtext><mi><mover><mo><mover accent="true"><mn>32</mn><mo>˘</mo></mover></mo><mn>1</mn></mover></mi><mtext> </mtext><mi>p</mi><mi mathvariant="normal">.</mi><mtext> </mtext><mi><mover><mo><mover accent="true"><mn>24</mn><mo>˘</mo></mover></mo><mn>0</mn></mover></mi><mi mathvariant="normal">.</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\overset{3}{\breve{1}}\ a\ \overset{1}{\breve{32}}\ p.\ \overset{0}{\breve{24}}.</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.8534279999999999em;vertical-align:-0.19444em;"></span><span class="mord"><span class="mop op-limits"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:1.658988em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span><span class="mop"><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.90788em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord"><span class="mord">1</span></span></span><span style="top:-3.21344em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;">˘</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-4.10788em;margin-left:0em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">3</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace"> </span><span class="mord mathdefault">a</span><span class="mspace"> </span><span class="mord"><span class="mop op-limits"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:1.658988em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span><span class="mop"><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.90788em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord"><span class="mord">3</span><span class="mord">2</span></span></span><span style="top:-3.21344em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;">˘</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-4.10788em;margin-left:0em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace"> </span><span class="mord mathdefault">p</span><span class="mord">.</span><span class="mspace"> </span><span class="mord"><span class="mop op-limits"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:1.658988em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span><span class="mop"><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.90788em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord"><span class="mord">2</span><span class="mord">4</span></span></span><span style="top:-3.21344em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;">˘</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-4.10788em;margin-left:0em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">0</span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mord">.</span></span></span></span></span></span> Il donne une explication aux nombres complexes (découverts par Cardan) qu’il considère ni positifs ni négatifs et qu’il nomme “più di meno” et “meno di meno”. Il expose alors les règles de calcul qui leurs sont propres; en signant ainsi leur acte de naissance. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Rapha%C3%ABl_Bombelli" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Bombelli.
  9. 1540 - 1603 :François Viète | François Viète est considéré de nos jours comme le père de l’algèbre moderne. Il reprend les notations les plus simples et efficaces utilisées par ses prédécesseurs comme Stifel ou Bombelli (sauf la notation exponentielle), et généralise le signe + pour l’addition, - pour la soustraction et / pour la division, ainsi que <span class="sc-ktHwxA kLoJAe"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msqrt><mtext> </mtext></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\sqrt{\ }</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.04em;vertical-align:-0.2395em;"></span><span class="mord sqrt"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8005em;"><span class="svg-align" style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord" style="padding-left:0.833em;"><span class="mspace"> </span></span></span><span style="top:-2.7605em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="hide-tail" style="min-width:0.853em;height:1.08em;"><svg width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z'/></svg></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2395em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> pour la racine carrée. Au delà de leur utilisation avec des nombres, la nouveauté de son approche est leur application systématique de ces règles algébriques à des grandeurs non numériques qu’il représentera par des lettres. L’utilisation des lettres dans le calcul algébrique facilite alors la perception des relations qui lient ces quantités ainsi que les méthodes à mettre en oeuvre pour résoudre des problèmes. Il en profite aussi pour résoudre des problèmes géométriques en utilisant également des notations littérales et les règles algébriques qu’il vient de mettre en place. Viète a été pendant presque toute sa vie conseiller privé des rois Henri III et Henri IV et ses concepts n’ont pas été particulièrement diffusés à son époque. Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te" target="_blank" class="sc-hzDEsm eBoAdz"> page wikipédia</a> dédiée à Viète.
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