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Chapitre 1


Suites numériques





Tokyo vue du ciel

Capacités attendues - chapitre 1

1. Passer du registre algébrique au registre graphique et inversement.
2. Modéliser des situations par des suites définies explicitement ou par récurrence.
3. Calculer le terme général et la somme de termes consécutifs pour les suites arithmétiques et géométriques.
4. Utiliser la notion intuitive de limite d’une suite.

Au sein d’une ville, plusieurs critères peuvent être étudiés, comme par exemple l’évolution de la population selon les catégories d’âge, l’étude des taxes, l’occupation du territoire, etc. Dans tous ces domaines, on peut étudier une évolution au cours du temps et utiliser les suites pour modéliser les valeurs observées.

Avant de commencer

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5
Utiliser un tableur

On considère la feuille de calcul suivante.

Tableur 'avant de commencer'

1. Quel sera le nombre affiché dans la cellule B2 ?


2. On recopie la formule vers le bas jusqu’à la ligne 20. Quelle formule contiendra la cellule B20 ?
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8
Problème

En 2019, 20 millions de visiteurs fréquentent un parc d’attraction. La construction de nouvelles attractions devrait permettre une augmentation du nombre de visiteurs de 15 % en 2020 puis de 10 % en 2021.

1. Calculer le nombre de visiteurs prévu ces deux années-là.


2. Si la construction de ces nouvelles attractions prend du retard, on estime au contraire que l’on aura une diminution de 5 % des visiteurs chaque année. Calculer, dans ce cas-là, le nombre de visiteurs en 2020 et en 2021.

Anecdote

Parmi les nombres de la suite de Fibonacci, les nombres 2;3;5;13;89;2332\: ; 3\: ; 5\: ; 13\: ; 89\: ; 233 et 15971\, 597 sont premiers. Il en existe beaucoup d’autres mais personne n’a encore réussi à prouver s’il existait une infinité de nombres de Fibonacci premiers.
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7
Déterminer le signe d’une expression

nn désigne un entier naturel. Déterminer le signe de chaque expression sur N\mathbb{N} en fonction de n.n.

1. 2n62n-6


2. n28n+16n^2-8n+16


3. (2n6)(n28n+16)(2n-6)(n^2-8n+16)


4. 2n6n28n+16\dfrac{2n-6}{n^2-8n+16}


Prérequis

1. Calculer avec des puissances.
2. Calculer et utiliser des pourcentages.
3. Calculer des images par une fonction.

4. Calculer des images à l’aide d’un programme de calcul.
5. Étudier le signe d’un produit ou d’un quotient.
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4
Utiliser les variations d’une fonction

On considère la fonction hh définie sur D=]0;+[\mathcal{D}=\left] 0\: ;+\infty \right[ par h(x)=1x.h(x)=\dfrac{1}{x}.

1. Calculer les images par hh des cinq premiers nombres entiers de D\mathcal{D}.


2. a. Quelle conjecture peut-on faire sur la suite de nombres obtenue si on continue le même procédé avec tous les entiers naturels non nuls ?


b. Démontrer cette conjecture à l’aide de la fonction h.h.


3. Soit nn un entier naturel non nul.

a. Que représente le nombre n+1n + 1 par rapport à nn ?


b. Exprimer en fonction de nn et simplifier le nombre U(n)=h(n+1)h(n).U(n) = h(n + 1) - h(n).


c. Déterminer le signe de U(n)U(n) et faire le lien avec la question 2..


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1
Calculer avec des puissances

nn désigne un entier naturel. Simplifier les expressions suivantes.

1. 24×2n2^4\times 2^n


2. 2n24\dfrac{2^n}{2^4}


3. 3n×2n3^n\times 2^n


4. 2n+12n\dfrac{2^{n+1}}{2^n}


5. (3n)2(3^n)^2


6. 15×5n\dfrac{1}{5}\times 5^n
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2
Utiliser des taux d’évolution

Le maire d’une ville fait une vérification sur les impôts prélevés à ses habitants.

1. La première année de son mandat, les impôts ont diminué de 1 % : quel est le coefficient multiplicateur associé ?


2. La deuxième année, les impôts ont encore diminué de 1 % : quel est le coefficient multiplicateur associé à ces deux baisses successives ?


3. On suppose que cette baisse a été la même durant chacune des six années du mandat du maire : quel est le taux global associé à cette diminution lors de ces six années ?
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6
Algorithme

Que calcule l’algorithme ci-dessous ?

Pour i allant de 1 aˋ 10 faire :U2i1Fin Pour \boxed{ \begin{array} { l } { \text{Pour } i \text { allant de 1 à 10 faire :} } \\ \quad \text {U} \leftarrow 2i-1 \\ \text{Fin Pour} \\ \end{array} }

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3
Simplifier des expressions

Soient ff et gg deux fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=2x7f(x) = 2x - 7 et g(x)=x2+2x+4.g(x) = x^2 + 2x + 4.

Pour chaque fonction, déterminer l’expression simplifiée de l’image de : 33 ; 3n3n ; n+1n + 1 et n1n - 1nN.n \in \mathbb{N}.
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