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TP / TICE 1


Évolution d’abonnés




MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
PYTHON

On considère l’algorithme ci-dessous. On souhaite étudier la suite (un)(u_n) définie par cet algorithme.

075Tant que ...:...n+1Fin Tant que \boxed{ \begin{array} { l } { \text {n } \leftarrow 0 } \\ { \text {U } \leftarrow 75 } \\ \text{Tant que }... :\\ \quad \text {U } \leftarrow ...\\ \quad \text {n } \leftarrow \text {n} + 1 \\ \text {Fin Tant que} \end{array} }

1. a. Recopier et compléter l’algorithme afin de déterminer au bout de combien de mois le nombre d’abonnés sera supérieur à 230.


b. Le programmer à l’aide de Python et déterminer le nombre de mois pour que le nombre d’abonnés dépasse 230.


2. Quelle modification apporter pour que l’on obtienne le nombre de mois où le nombre d’abonnés sera supérieur à 240 ?



3. Modifier le programme pour que l’utilisateur puisse choisir le nombre d’abonnés à dépasser.


 

4. On définit pour tout entier naturel nn, la suite (vn)(v_n) par vn=un250.v_n = u_n -250.
a. Exprimer vn+1v_{n+1} en fonction de vn.v_n.


b. En déduire la nature de la suite (vn).(v_n).


c. Exprimer vnv_n puis unu_n en fonction de n.n.


d. Conclure sur le sens de variation de la suite (un).(u_n).
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. À l’aide d’un tableur, faire afficher les 22 premiers termes de la suite (un).(u_n).

Lancer le module Geogebra

2. Comment évolue le nombre d’abonnés ? Vers quelle valeur semble tendre le nombre d’abonnés lorsque nn devient très grand ?


3. À partir de combien de mois dépasse-t-on 230 abonnés ?


4. Pour tout entier naturel nn, la suite (vn)(v_n) est définie par vn=un250.v_n= u_n- 250.
a. Exprimer vn+1v_{n+1} en fonction de vnv_n.

b. En déduire la nature de la suite (vn).(v_n).

c. Exprimer vnv_n puis unu_n en fonction de n.n.

d. Conclure sur le sens de variation de la suite (un).(u_n).

Énoncé

Un youtubeur compte 75 abonnés le 1er janvier 2019. Il remarque que, chaque mois, il en conserve 60 % et 100 nouvelles personnes le suivent.
On souhaite déterminer l’évolution de son nombre d’abonnés.

Questions préliminaires :
1. Montrer que le nombre d’abonnés au 1er février 2019 est 145.


2. On modélise la situation par une suite (un)(u_n), où unu_n est le nombre d’abonnés nn mois après janvier 2019.
a. Déterminer u0u_0 et u1u_1 puis montrer que u2=187.u_2 =187.

b. Justifier que, pour tout entier nn, un+1=0,6un+100.u_{n+1}=0{,}6u_n+100.

Objectif

Étudier le comportement d’une suite à l’aide d’une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
GEOGEBRA

3. Conjecturer le sens de variation à partir de cette représentation graphique.


4. Pour tout entier naturel nn, la suite (vn)(v_n) est définie par vn=un250.v_n = u_n -250.
a. Exprimer vn+1v_{n+1} en fonction de vn.v_n.


b. En déduire la nature de la suite (vn).(v_n).


c. Exprimer vnv_n puis unu_n en fonction de n.n.


d. Conclure sur le sens de variation de la suite (un).(u_n).



1. Dans un repère orthogonal, représenter la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=0,6x+100f(x) = 0{,}6x + 100 et la droite d’équation y=x.y = x.

Lancer le module Geogebra
On définit la suite (un)(u_n) par {u0=75un+1=f(un)\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=75} \\ {u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)}\end{array}\right.

2. Représenter graphiquement les sept premiers termes de la suite.
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