Mathématiques 1re Spécialité

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Chapitre 1
Travailler ensemble

Le bon choix

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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Une personne envisage de louer un appartement à partir du 1er janvier 2019. Le propriétaire lui propose trois formules de contrats. Dans les trois cas, le loyer annuel initial est de 8 880 €.
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Placeholder pour Choisir un contrat de loyerChoisir un contrat de loyer
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Partie 1

Contrat n° 1
Chaque 1er janvier, le loyer annuel subira une augmentation de 5 %. Pour tout entier naturel n, on note u_n le montant annuel de l'année 2019 + \ n .

1. Calculer u_1 et u_2 .


2. Établir une relation de récurrence entre u_{n+1} et u_n puis en déduire la nature de (u_n).


3. En déduire une expression du terme u_n en fonction de n .


4. On note S_n la somme totale des loyers payés à la fin des n premières années de location. Déterminer une expression de S_n en fonction de n.
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Partie 2

Contrat n° 2
Chaque 1er janvier, le loyer annuel subira une augmentation de 500 €. Pour tout entier naturel n, on note v_n le montant annuel de l'année 2019 +\ n.

1. Calculer v_1 et v_2 .


2. Établir une relation de récurrence entre v_{n+1} et v_n puis en déduire la nature de (v_n).


3. En déduire une expression du terme v_n en fonction de n .


4. On note T_n la somme totale des loyers payés à la fin des n premières années de location. Déterminer une expression de T_n en fonction de n.
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Partie 3

Contrat n° 3
Le locataire s'engage à rester au moins 9 ans. Chaque 1er janvier, le loyer annuel subira une augmentation de 8 % et recevra une réduction de 360 euros. Pour tout entier naturel n , on note w_n le montant annuel de l'année 2019 +\,n.

1. Calculer w_1 et w_2 .


2. Établir une relation de récurrence entre w_{n+1} et w_n.


3. Pour tout n \in \mathbb{N}, on pose t_n = w_n - 4\, 500. Prouver que (t_n) est géométrique et donner sa raison et son premier terme.


4. Donner alors une expression du terme t_n en fonction de n.


5. En déduire que w_n = 4\, 380 \times 1{,}08^n + 4\, 500.
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Mise en commun
1. Comparaison des contrats 1 et 2. a. Comparer les loyers annuels de l'année 2028.

b. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle le loyer du contrat n° 2 est plus avantageux pour le locataire.

c. Le locataire a l'intention de louer cet appartement jusqu'au 31 décembre 2026, quel contrat devra-t-il choisir ?


Si le contrat n° 3 est résilié avant 9 ans, le locataire devra rembourser 360 euros par année occupée.

2. Vérifier si le loyer annuel avec le contrat n° 3 est effectivement plus intéressant que les contrats n° 1 et n° 2 la 9e année.


3. Le contrat n° 3 reste-t-il toujours le plus avantageux ? Justifier.

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