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TRAVAILLER ENSEMBLE


Le bon choix





Une personne envisage de louer un appartement à partir du 1er janvier 2019. Le propriétaire lui propose trois formules de contrats. Dans les trois cas, le loyer annuel initial est de 8 880 €.

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe.
Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

Mise en commun

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1. Comparaison des contrats 1 et 2.

a. Comparer les loyers annuels de l’année 2028.

b. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle le loyer du contrat n° 2 est plus avantageux pour le locataire.

c. Le locataire a l’intention de louer cet appartement jusqu’au 31 décembre 2026, quel contrat devra-t-il choisir ?


Si le contrat n° 3 est résilié avant 9 ans, le locataire devra rembourser 360 euros par année occupée.

2. Vérifier si le loyer annuel avec le contrat n° 3 est effectivement plus intéressant que les contrats n° 1 et n° 2 la 9e année.


3. Le contrat n° 3 reste-t-il toujours le plus avantageux ? Justifier.

PARTIE 3 ★★★

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Contrat n° 3
Le locataire s’engage à rester au moins 9 ans. Chaque 1er janvier, le loyer annuel subira une augmentation de 8 % et recevra une réduction de 360 euros.
Pour tout entier naturel nn , on note wnw_n le montant annuel de l’année 2019 +n.+\,n.

1. Calculer w1w_1 et w2.w_2 .


2. Établir une relation de récurrence entre wn+1w_{n+1} et wn.w_n.


3. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, on pose tn=wn4500.t_n = w_n - 4\, 500. Prouver que (tn)(t_n) est géométrique et donner sa raison et son premier terme.


4. Donner alors une expression du terme tnt_n en fonction de n.n.


5. En déduire que wn=4380×1,08n+4500.w_n = 4\, 380 \times 1{,}08^n + 4\, 500.


PARTIE 1 ★★

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Contrat n° 1
Chaque 1er janvier, le loyer annuel subira une augmentation de 5 %. Pour tout entier naturel nn, on note unu_n le montant annuel de l’année 2019 + n+ \ n .

1. Calculer u1u_1 et u2.u_2 .


2. Établir une relation de récurrence entre un+1u_{n+1} et unu_n puis en déduire la nature de (un).(u_n).


3. En déduire une expression du terme unu_n en fonction de n.n .


4. On note SnS_n la somme totale des loyers payés à la fin des nn premières années de location. Déterminer une expression de SnS_n en fonction de n.n.



Choisir un contrat de loyer

PARTIE 2 ☆☆

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Contrat n° 2
Chaque 1er janvier, le loyer annuel subira une augmentation de 500 €. Pour tout entier naturel nn, on note vnv_n le montant annuel de l’année 2019 + n.+\ n.

1. Calculer v1v_1 et v2.v_2 .


2. Établir une relation de récurrence entre vn+1v_{n+1} et vnv_n puis en déduire la nature de (vn).(v_n).


3. En déduire une expression du terme vnv_n en fonction de n.n .


4. On note TnT_n la somme totale des loyers payés à la fin des nn premières années de location. Déterminer une expression de TnT_n en fonction de n.n.


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