Suites numériques

1

Une suite $({\mathbf{u}}_{\mathbf{n}})$ peut être définie de façon explicite : il existe alors une fonction $\mathbf{f}$ définie sur ${\mathcal{D}}_{\mathbf{f}}$ telle que, pour tout entier $\mathbf{n}\in {\mathcal{D}}_{\mathbf{f}},$ ${\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{f}(\mathbf{n}).$ Cela permet de :

✔ modéliser une situation qui dépend de $n$ ;
✔ calculer un terme quelconque de la suite en lien avec la situation.

2

Une suite $({\mathbf{u}}_{\mathbf{n}})$ à valeurs dans ${\mathcal{D}}_{\mathbf{g}}$ peut être définie par récurrence : il existe alors une fonction $\mathbf{g}$ définie sur ${\mathcal{D}}_{\mathbf{g}}$ telle que, pour tout $\mathbf{n}\in \mathbb{N}$, ${\mathbf{u}}_{\mathbf{n}+1}=\mathbf{g}({\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}).$ Cela permet de :

✔ modéliser une situation dans laquelle un terme dépend du précédent.

3

$({\mathbf{u}}_{\mathbf{n}})$ est croissante à partir de $\mathbf{n}=0$ lorsque, pour tout $\mathbf{n}\in \mathbb{N}$, ${\mathbf{u}}_{\mathbf{n}+1}⩾{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}$ et $({\mathbf{u}}_{\mathbf{n}})$est décroissante à partir de $\mathbf{n}=0$ lorsque, pour tout $\mathbf{n}\in \mathbb{N}$, ${\mathbf{u}}_{\mathbf{n}+1}⩽{\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}.$ Cela permet de :

✔ trouver le sens de variation d'une suite ;
✔ résoudre des problèmes liés à des situations de variations.

4

Une suite est arithmétique lorsqu'il existe un réel $\mathbf{r}$ tel que, pour tout $\mathbf{n}\in \mathbb{N}$, ${\mathbf{u}}_{\mathbf{n}+1}={\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}+\mathbf{r}.$
Pour tous entiers naturels $\mathbf{n}$ et $\mathbf{p}$, ${\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{u}}_{\mathbf{p}}+(\mathbf{n}-\mathbf{p})\mathbf{r}$ et, en particulier, ${\mathbf{u}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{u}}_0+\mathbf{nr}.$
Une suite arithmétique de raison $\mathbf{r}$ est croissante si $\mathbf{r}>0$, décroissante si $\mathbf{r}<0$ et constante si $\mathbf{r}=0.$
Pour tout entier naturel $\mathbf{n}$ non nul, $1+2+\dots +\mathbf{n}=\frac{\mathbf{n}(\mathbf{n}+1)}{2}$ Cela permet de :

✔ étudier une situation de récurrence où un terme s'obtient à partir du précédent en ajoutant toujours le même nombre.

5

Une suite est géométrique lorsqu'il existe un réel $\mathbf{q}\ne 0$ tel que, pour tout $\mathbf{n}\in \mathbb{N}$, ${\mathbf{v}}_{\mathbf{n}+1}=\mathbf{q}\times {\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}.$
Pour tous entiers naturels $\mathbf{n}$ et $\mathbf{p}$, ${\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}\times {\mathbf{q}}^{\mathbf{n}-\mathbf{p}}.$
En particulier, pour tout entier naturel $\mathbf{n}$, ${\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{v}}_0\times {\mathbf{q}}^{\mathbf{n}}.$
Une suite géométrique de raison $\mathbf{q}$ et dont tous les termes sont strictement positifs est croissante si $\mathbf{q}>1$, décroissante si $0<\mathbf{q}<1$ et constante si $\mathbf{q}=1.$
Pour tout entier naturel $\mathbf{n}$ non nul et si $\mathbf{q}\ne 1$, $1+\mathbf{q}+{\mathbf{q}}^2+\dots +{\mathbf{q}}^{\mathbf{n}}=\frac{1-{\mathbf{q}}^{\mathbf{n}+1}}{1-\mathbf{q}}.$Cela permet d':

✔ étudier une situation de récurrence où un terme s'obtient à partir du précédent en multipliant toujours par le même nombre.