L'essentiel BAC




CARTE MENTALE

carte mentale sur les suites

FICHE DE RÉVISION

1
Une suite (un)(u_n) peut être définie de façon explicite : il existe alors une fonction ff définie sur Df\mathcal{D}_f telle que, pour tout entier nDf,n \in \mathcal{D}_f, un=f(n).u_n=f(n). Cela permet de :

✔ modéliser une situation qui dépend de nn ;
✔ calculer un terme quelconque de la suite en lien avec la situation.

2
Une suite (un)(u_n) à valeurs dans Dg\mathcal{D}_g peut être définie par récurrence : il existe alors une fonction gg définie sur Dg\mathcal{D}_g telle que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=g(un).u_{n+ 1} = g(u_n). Cela permet de :

✔ modéliser une situation dans laquelle un terme dépend du précédent.

3
(un)(u_n) est croissante à partir de n=0n = 0 lorsque, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1unu_{n+1}\geqslant u_n et (un)(u_n) est décroissante à partir de n=0 n = 0 lorsque, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1un. u_{n+1}\leqslant u_n. Cela permet de :

✔ trouver le sens de variation d’une suite ;
✔ résoudre des problèmes liés à des situations de variations.

4
Une suite est arithmétique lorsqu’il existe un réel rr tel que, pour tout nN n \in \mathbb{N}, un+1=un+r. u_{n+1} = u_n +r.
Pour tous entiers naturels nn et pp, un=up+(np)ru_{n}=u_{p}+(n-p) r et, en particulier, un=u0+nr. u_n = u_0 +nr.
Une suite arithmétique de raison rr est croissante si r>0r > 0, décroissante si r<0r \lt 0 et constante si r=0. r = 0.
Pour tout entier naturel nn non nul, 1+2++n=n(n+1)21+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} Cela permet de :

✔ étudier une situation de récurrence où un terme s’obtient à partir du précédent en ajoutant toujours le même nombre.

5
Une suite est géométrique lorsqu’il existe un réel q0q \ne 0 tel que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, vn+1=q×vn.v_{n+1} = q\times v_n.
Pour tous entiers naturels nn et pp, vn=vp×qnp.v_n = v_p \times q^{n-p}.
En particulier, pour tout entier naturel nn, vn=v0×qn.v_n = v_0\times q^n.
Une suite géométrique de raison qq et dont tous les termes sont strictement positifs est croissante si q>1q > 1, décroissante si 0<q<10 \lt q \lt 1 et constante si q=1.q = 1.
Pour tout entier naturel nn non nul et si q1q \ne 1, 1+q+q2++qn=1qn+11q.1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.Cela permet d':

✔ étudier une situation de récurrence où un terme s’obtient à partir du précédent en multipliant toujours par le même nombre.

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