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COURS 1


1
Généralités




Intuitivement, une suite numérique est une liste ordonnée et infinie de nombres réels.

A
Définitions et modes de génération


Définition

Soit n0N.n_0 \in \mathbb{N}.
Une suite numérique uu est une fonction définie pour tout entier naturel nn0n \geqslant n_0 à valeurs dans R.\mathbb{R}. Pour chaque nn0n \geqslant n_0, on associe le nombre noté u(n)u(n) ou encore un.u_n. La suite est notée (un)nn0(u_n)_{n\geqslant n_0} ou, plus simplement, (un).(u_n).

NOTATION

Attention à ne pas confondre le nombre unu_n et la suite (un).(u_n).

Exemple

Soit (un)(u_n) la suite définie arbitrairement sur N\mathbb{N} par :
u0=2u_0 =2 ; u1=3u_1 = 3 ; u3=713u_3 = 713 ; u4=12u_4 = -12

Définition

Une suite est définie explicitement lorsque l’on peut calculer n’importe quel terme de la suite directement en fonction de n.n. On donne alors l’expression du terme général unu_n en fonction de n.n.

NOTATION

Il existe une fonction ff telle que un=f(n).u_n = f(n).

Exemple

La suite (vn)(v_n) définie sur N\mathbb{N} par vn=2n+1v_n= 2n+1 est définie explicitement :
v4=2×4+1=9v_4 = 2 \times 4 +1 = 9 ; v10=2×10+1=21v_{10}=2\times 10 +1 = 21 et v58=2×58+1=117.v_{58}=2\times 58 +1=117.

Définition

Une suite est définie par récurrence lorsqu’elle est définie par la donnée de son premier terme et d’une relation qui permet de calculer un terme à partir du terme précédent. On donne donc l’expression de un+1u_{n+1} en fonction de un.u_n. Cette relation est appelée relation de récurrence.

NOTATION

Il existe une fonction ff telle que un+1=f(un).u_{n+1} = f(u_n).

Exemple

La suite ww définie sur N\mathbb{N} par le premier terme w0=4 w_0 =4 et, pour tout entier nn, wn+1=2wn+1w _{n+1}=2w_n +1 est définie par récurrence. Pour trouver w4=79w_4 =79, il faut calculer w3w_3 qui nécessite de calculer w2w_2 qui nécessite à son tour le calcul de w1w_1 que l’on calcule grâce à : w1=2w0+1=2×4+1=9.w_1= 2w_0 + 1= 2\times 4 + 1 = 9. Puis w2=2w1+1w_2= 2w_1 + 1, etc.

NOTATION

On peut écrire

{w0=4wn+1=2wn+1\left\{\begin{array}{cc}{w_0} &=& 4 \\ w_{n+1} &= & {2 w_{n}+1}\end{array}\right.

Application et méthode

Énoncé

Pour chacune des suites définies pour tout entier naturel nn, déterminer les trois premiers termes.

1. (un)(u_n) définie par : un=2n+1n+5 u_n=\dfrac{2n+1}{n+5}

2. (vn) (v_n) définie par : {v0=3vn+1=2vn5n\left\{\begin{array}{cc}{v_0} &=& 3 \\ v_{n+1} &= & {2 v_{n}-5n}\end{array}\right.

Méthode

1. La suite (un) (u_n) est définie explicitement donc on remplace nn par 0 pour calculer u0u_0 puis on remplace nn par 1 pour calculer u1u_1 etc.

2. La suite (vn)(v_n) est définie par récurrence. Le premier terme est connu. Pour calculer v1v_1, on utilise le terme précédent v0.v_0. Puis on utilise v1v_1 pour calculer v2.v_2.

SOLUTION

1. u0=2×0+10+5=15u_{0}=\dfrac{2 \times 0+1}{0+5}=\dfrac{1}{5}

u1=2×1+11+5=36=12u_{1}=\dfrac{2 \times 1+1}{1+5}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

u2=2×2+12+5=57u_{2}=\dfrac{2 \times 2+1}{2+5}=\dfrac{5}{7}

2. v0=3v_0=3
v1=2v05×0=2×35×0=6v_{1}=2 v_{0}-5 \times 0=2 \times 3-5 \times 0=6
v2=2v15×1=2×65×1=7 v_{2}=2 v_{1}-5 \times 1=2 \times 6-5 \times 1=7


Pour s'entraîner : exercices 22 p. 31 et 23 p. 31

B
Représentation graphique d’une suite


Une suite uu peut être représentée soit en plaçant les réels u0u_0, u1u_1, u2u_2, ... sur une droite graduée, soit en plaçant les points de coordonnées (n(n, un)u_n) dans un repère.

Exemple

La suite ww définie sur N\mathbb{N} par le premier terme w0=4w_0 = 4 et pour tout entier nn, wn+1=2wn+1w_{n+1}= 2w_n + 1 est représentée sur la droite réelle ci-dessous.

Représentation graphique d’une suite

Application et méthode

Énoncé

Dans un repère, représenter graphiquement les trois premiers termes des deux suites (un)( u_ n) et (vn)(v_ n) définies précédemment.

Méthode

1. On a calculé précédemment u0=15u_0= \dfrac{1}{5} donc on place le point (0;15)\left(0\, ;\, \dfrac{1}{5}\right) dans le repère.
De même, on place les points (1;12)\left(1\, ;\, \dfrac{1}{2}\right) et (2;57).\left(2\, ;\, \dfrac{5}{7}\right).

2. On sait que v0=3v_0 = 3 donc on place le point (0;3)(0\,;\, 3) dans le repère.
De même, on place les points (1;6)(1\,;\, 6) et (2;7).(2\,;\, 7).

SOLUTION


1.
Représentation graphique d’une suite

2.
Représentation graphique d’une suite

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 31 et 50 et 51 p. 33

C
Sens de variation


Définitions

Soit n0N.n_0 \in \mathbb{N}.
1. Une suite (un)(u_n) est croissante à partir du rang n0n_0 lorsque, pour tout entier nn0n \geqslant n_0, un+1un.u_{n+1} \geqslant u_n.
2. Une suite (un)(u_n) est décroissante à partir du rang n0n_0 lorsque, pour tout entier nn0n \geqslant n_0, un+1un.u_{n+1} \leqslant u_n.
2. Une suite est dite monotone à partir du rang n0n_0 lorsqu’elle est soit croissante, soit décroissante à partir du rang n0.n_0.

LOGIQUE

un+1un u_{n+1} \geqslant u_n est équivalent à un+1un0. u_{n+1}-u_n\geqslant 0.

Exemple

Soit zz la suite définie par z0=1 z_0 =1 et, pour tout entier naturel nn, zn+1=zn2.z_{n+1} = z_n - 2.
Pour tout nNn \in \mathbb{N} , zn+1zn=2.z_{n+1}- z_n =- 2. donc (zn)(z_n) est décroissante à partir de n=0.n = 0.

Application et méthode

Énoncé

Étudier le sens de variation de la suite (un)(u_n) définie pour tout entier n>0n > 0 par un=1n.u_n = \dfrac{1}{n}.

Méthode

1. On étudie le signe de la différence un+1un.u_{n+1}-u_{n}.
  • Si pour tout entier nn, un+1un>0u_{n+1}-u_{n}>0, la suite est strictement croissante.
  • Si pour tout entier nn, un+1un<0u_{n+1}-u_{n} \lt 0 , la suite est strictement décroissante.

2. Si la suite est définie explicitement, on étudie le sens de variation de la fonction ff telle que un=f(n). u_n=f(n).

3. Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on compare le quotient un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} à 1.1.
  • Si pour tout entier nn, un+1un>1\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}>1, la suite est strictement croissante.

  • Si pour tout entier nn, un+1un<1\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\lt 1, la suite est strictement décroissante.

Cette dernière méthode n’est pas la plus simple, car il faut d’abord justifier que tous les termes de la suite sont strictement positifs.

SOLUTION


Pour tout entier n>0n>0 : un+1=1n+1u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}
3 méthodes sont enisageables :

1re méthode :
Pour tout n0n\ne 0 , un+1un=1n+11n=nn(n+1)n+1n(n+1)=nn1n(n+1)=1n(n+1).u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n}{n(n+1)}-\dfrac{n+1}{n(n+1)}=\dfrac{n-n-1}{n(n+1)}=\dfrac{-1}{n(n+1)}.

Comme un+1un<0u_{n+1} - u_n \lt 0 car n>0n > 0 et n+1>0n + 1 > 0, la suite (un)(u_n) est strictement décroissante.

2e méthode
f:x1xf : x \mapsto \dfrac{1}{x} est une fonction strictement décroissante sur ]0;+[]0 \, ; +\infty [ On en déduit que la suite (un)(u_n) définie par un=f(n)u_n=f(n) est donc strictement décroissante sur N.\mathbb{N}.

3e méthode
Puisque un>0u_n>0 pour tout entier n0n \ne 0, on peut calculer :
un+1un=1n+11n=1n+1×n1=nn+1\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{n}{1}=\dfrac{n}{n+1}

Or, n<n+1n\lt n+1 donc un+1un<1\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\lt 1 donc un+1<un.u_{n+1}\lt u_n. Ainsi, (un)(u_n) est strictement décroissante.

Pour s'entraîner : exercices 24 p. 31 et 49 p. 33
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