Mathématiques 1re Spécialité

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Algèbre
Ch. 2
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Ch. 3
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Ch. 4
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Ch. 5
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Ch. 6
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Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 1
Cours 1

Généralités

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A
Définitions et modes de génération

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Remarque

Intuitivement, une suite numérique est une liste ordonnée et infinie de nombres réels.
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Définition
Soit n_0 \in \mathbb{N}.
Une suite numérique u est une fonction définie pour tout entier naturel n \geqslant n_0 à valeurs dans \mathbb{R}. Pour chaque n \geqslant n_0, on associe le nombre noté u(n) ou encore u_n. La suite est notée (u_n)_{n\geqslant n_0} ou, plus simplement, (u_n).
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Notation

Attention à ne pas confondre le nombre u_n et la suite (u_n).
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Exemple
Soit (u_n) la suite définie arbitrairement sur \mathbb{N} par :
u_0 =2 ; u_1 = 3 ; u_3 = 713 ; u_4 = -12
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Définition
Une suite est définie explicitement lorsque l'on peut calculer n'importe quel terme de la suite directement en fonction de n. On donne alors l'expression du terme général u_n en fonction de n.
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Notation

Il existe une fonction f telle que u_n = f(n).
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Exemple
La suite (v_n) définie sur \mathbb{N} par v_n= 2n+1 est définie explicitement :
v_4 = 2 \times 4 +1 = 9 ; v_{10}=2\times 10 +1 = 21 et v_{58}=2\times 58 +1=117.
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Définition
Une suite est définie par récurrence lorsqu'elle est définie par la donnée de son premier terme et d'une relation qui permet de calculer un terme à partir du terme précédent. On donne donc l'expression de u_{n+1} en fonction de u_n. Cette relation est appelée relation de récurrence.
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Notation

Il existe une fonction f telle que u_{n+1} = f(u_n).
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Exemple
La suite w définie sur \mathbb{N} par le premier terme w_0 =4 et, pour tout entier n, w _{n+1}=2w_n +1 est définie par récurrence. Pour trouver w_4 =79, il faut calculer w_3 qui nécessite de calculer w_2 qui nécessite à son tour le calcul de w_1 que l'on calcule grâce à : w_1= 2w_0 + 1= 2\times 4 + 1 = 9. Puis w_2= 2w_1 + 1, etc.
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Notation

On peut écrire

\left\{\begin{array}{cc}{w_0} &=& 4 \\ w_{n+1} &= & {2 w_{n}+1}\end{array}\right.
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Application et méthode
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Énoncé
Pour chacune des suites définies pour tout entier naturel n, déterminer les trois premiers termes.
1. (u_n) définie par : u_n=\dfrac{2n+1}{n+5}

2. (v_n) définie par : \left\{\begin{array}{cc}{v_0} &=& 3 \\ v_{n+1} &= & {2 v_{n}-5n}\end{array}\right.
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Méthode

1. La suite (u_n) est définie explicitement donc on remplace n par 0 pour calculer u_0 puis on remplace n par 1 pour calculer u_1 etc.

2. La suite (v_n) est définie par récurrence. Le premier terme est connu. Pour calculer v_1, on utilise le terme précédent v_0. Puis on utilise v_1 pour calculer v_2.
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Solution
1. u_{0}=\dfrac{2 \times 0+1}{0+5}=\dfrac{1}{5}

u_{1}=\dfrac{2 \times 1+1}{1+5}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

u_{2}=\dfrac{2 \times 2+1}{2+5}=\dfrac{5}{7}

2. v_0=3
v_{1}=2 v_{0}-5 \times 0=2 \times 3-5 \times 0=6
v_{2}=2 v_{1}-5 \times 1=2 \times 6-5 \times 1=7

Pour s'entraîner
Exercices p. 31 et p. 31
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B
Représentation graphique d'une suite

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Une suite u peut être représentée soit en plaçant les réels u_0, u_1, u_2, ... sur une droite graduée, soit en plaçant les points de coordonnées (n, u_n) dans un repère.
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Exemple
La suite u définie sur \mathbb{N} par le premier terme u_0 = 4 et pour tout entier n, u_{n+1}= 2u_n + 1 est représentée sur la droite réelle ci-dessous.

Représentation graphique d'une suite
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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Application et méthode
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Énoncé
Dans un repère, représenter graphiquement les trois premiers termes des deux suites ( u_ n) et (v_ n) définies précédemment.
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Méthode

1. On a calculé précédemment u_0= \dfrac{1}{5} donc on place le point \left(0\, ;\, \dfrac{1}{5}\right) dans le repère.
De même, on place les points \left(1\, ;\, \dfrac{1}{2}\right) et \left(2\, ;\, \dfrac{5}{7}\right).

2. On sait que v_0 = 3 donc on place le point (0\,;\, 3) dans le repère.
De même, on place les points (1\,;\, 6) et (2\,;\, 7).
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Solution
1.
Représentation graphique d'une suite
Le zoom est accessible dans la version Premium.

2.
Représentation graphique d'une suite
Le zoom est accessible dans la version Premium.


Pour s'entraîner
Exercices p. 31 et et p. 33
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C
Sens de variation

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Définitions
Soit n_0 \in \mathbb{N}.
1. Une suite (u_n) est croissante à partir du rang n_0 lorsque, pour tout entier n \geqslant n_0, u_{n+1} \geqslant u_n.
2. Une suite (u_n) est décroissante à partir du rang n_0 lorsque, pour tout entier n \geqslant n_0, u_{n+1} \leqslant u_n.
2. Une suite est dite monotone à partir du rang n_0 lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante à partir du rang n_0.
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Logique

u_{n+1} \geqslant u_n est équivalent à u_{n+1}-u_n\geqslant 0.
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Exemple
Soit z la suite définie par z_0 =1 et, pour tout entier naturel n, z_{n+1} = z_n - 2.
Pour tout n \in \mathbb{N} , z_{n+1}- z_n =- 2. donc (z_n) est décroissante à partir de n = 0.
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Application et méthode
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Énoncé
Étudier le sens de variation de la suite (u_n) définie pour tout entier n > 0 par u_n = \dfrac{1}{n}.
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Méthode

1. On étudie le signe de la différence u_{n+1}-u_{n}.
  • Si pour tout entier n, u_{n+1}-u_{n}>0, la suite est strictement croissante.
  • Si pour tout entier n, u_{n+1}-u_{n} \lt 0 , la suite est strictement décroissante.

2. Si la suite est définie explicitement, on étudie le sens de variation de la fonction f telle que u_n=f(n).

3. Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on compare le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} à 1.
  • Si pour tout entier n, \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}>1, la suite est strictement croissante.

  • Si pour tout entier n, \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\lt 1, la suite est strictement décroissante.

Cette dernière méthode n'est pas la plus simple, car il faut d'abord justifier que tous les termes de la suite sont strictement positifs.
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Solution
Pour tout entier n>0 : u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}
3 méthodes sont envisageables :

1re méthode :
Pour tout n\ne 0 , u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n}{n(n+1)}-\dfrac{n+1}{n(n+1)}=\dfrac{n-n-1}{n(n+1)}=\dfrac{-1}{n(n+1)}.

Comme u_{n+1} - u_n \lt 0 car n > 0 et n + 1 > 0, la suite (u_n) est strictement décroissante.

2e méthode
f : x \mapsto \dfrac{1}{x} est une fonction strictement décroissante sur ]0 \, ; +\infty [ On en déduit que la suite (u_n) définie par u_n=f(n) est donc strictement décroissante sur \mathbb{N}.

3e méthode
Puisque u_n>0 pour tout entier n \ne 0, on peut calculer :
\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{n}{1}=\dfrac{n}{n+1}

Or, n\lt n+1 donc \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\lt 1 donc u_{n+1}\lt u_n. Ainsi, (u_n) est strictement décroissante.

Pour s'entraîner
Exercices p. 31 et p. 33

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