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COURS 1


1
Généralités




Intuitivement, une suite numérique est une liste ordonnée et infinie de nombres réels.

C
Sens de variation


Exemple

Soit zz la suite définie par z0=1 z_0 =1 et, pour tout entier naturel nn, zn+1=zn2.z_{n+1} = z_n - 2.
Pour tout nNn \in \mathbb{N} , zn+1zn=2.z_{n+1}- z_n =- 2. donc (zn)(z_n) est décroissante à partir de n=0.n = 0.

LOGIQUE

un+1un u_{n+1} \geqslant u_n est équivalent à un+1un0. u_{n+1}-u_n\geqslant 0.

Définitions

Soit n0N.n_0 \in \mathbb{N}.
1. Une suite (un)(u_n) est croissante à partir du rang n0n_0 lorsque, pour tout entier nn0n \geqslant n_0, un+1un.u_{n+1} \geqslant u_n.
2. Une suite (un)(u_n) est décroissante à partir du rang n0n_0 lorsque, pour tout entier nn0n \geqslant n_0, un+1un.u_{n+1} \leqslant u_n.
2. Une suite est dite monotone à partir du rang n0n_0 lorsqu’elle est soit croissante, soit décroissante à partir du rang n0.n_0.

Application et méthode


Méthode

1. On a calculé précédemment u0=15u_0= \dfrac{1}{5} donc on place le point (0;15)\left(0\, ;\, \dfrac{1}{5}\right) dans le repère.
De même, on place les points (1;12)\left(1\, ;\, \dfrac{1}{2}\right) et (2;57).\left(2\, ;\, \dfrac{5}{7}\right).

2. On sait que v0=3v_0 = 3 donc on place le point (0;3)(0\,;\, 3) dans le repère.
De même, on place les points (1;6)(1\,;\, 6) et (2;7).(2\,;\, 7).

SOLUTION


1.
Représentation graphique d’une suite

2.
Représentation graphique d’une suite

Pour s'entraîner : exercices 25 p. 31 et 50 et 51 p. 33

Énoncé

Dans un repère, représenter graphiquement les trois premiers termes des deux suites (un)( u_ n) et (vn)(v_ n) définies précédemment.

Application et méthode


SOLUTION

1. u0=2×0+10+5=15u_{0}=\dfrac{2 \times 0+1}{0+5}=\dfrac{1}{5}

u1=2×1+11+5=36=12u_{1}=\dfrac{2 \times 1+1}{1+5}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

u2=2×2+12+5=57u_{2}=\dfrac{2 \times 2+1}{2+5}=\dfrac{5}{7}

2. v0=3v_0=3
v1=2v05×0=2×35×0=6v_{1}=2 v_{0}-5 \times 0=2 \times 3-5 \times 0=6
v2=2v15×1=2×65×1=7 v_{2}=2 v_{1}-5 \times 1=2 \times 6-5 \times 1=7


Pour s'entraîner : exercices 22 p. 31 et 23 p. 31

Méthode

1. La suite (un) (u_n) est définie explicitement donc on remplace nn par 0 pour calculer u0u_0 puis on remplace nn par 1 pour calculer u1u_1 etc.

2. La suite (vn)(v_n) est définie par récurrence. Le premier terme est connu. Pour calculer v1v_1, on utilise le terme précédent v0.v_0. Puis on utilise v1v_1 pour calculer v2.v_2.

Énoncé

Pour chacune des suites définies pour tout entier naturel nn, déterminer les trois premiers termes.

1. (un)(u_n) définie par : un=2n+1n+5 u_n=\dfrac{2n+1}{n+5}

2. (vn) (v_n) définie par : {v0=3vn+1=2vn5n\left\{\begin{array}{cc}{v_0} &=& 3 \\ v_{n+1} &= & {2 v_{n}-5n}\end{array}\right.

Application et méthode

Énoncé

Étudier le sens de variation de la suite (un)(u_n) définie pour tout entier n>0n > 0 par un=1n.u_n = \dfrac{1}{n}.

SOLUTION


Pour tout entier n>0n>0 : un+1=1n+1u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}
3 méthodes sont enisageables :

1re méthode :
Pour tout n0n\ne 0 , un+1un=1n+11n=nn(n+1)n+1n(n+1)=nn1n(n+1)=1n(n+1).u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n}{n(n+1)}-\dfrac{n+1}{n(n+1)}=\dfrac{n-n-1}{n(n+1)}=\dfrac{-1}{n(n+1)}.

Comme un+1un<0u_{n+1} - u_n \lt 0 car n>0n > 0 et n+1>0n + 1 > 0, la suite (un)(u_n) est strictement décroissante.

2e méthode
f:x1xf : x \mapsto \dfrac{1}{x} est une fonction strictement décroissante sur ]0;+[]0 \, ; +\infty [ On en déduit que la suite (un)(u_n) définie par un=f(n)u_n=f(n) est donc strictement décroissante sur N.\mathbb{N}.

3e méthode
Puisque un>0u_n>0 pour tout entier n0n \ne 0, on peut calculer :
un+1un=1n+11n=1n+1×n1=nn+1\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{n}{1}=\dfrac{n}{n+1}

Or, n<n+1n\lt n+1 donc un+1un<1\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\lt 1 donc un+1<un.u_{n+1}\lt u_n. Ainsi, (un)(u_n) est strictement décroissante.

Pour s'entraîner : exercices 24 p. 31 et 49 p. 33

Méthode

1. On étudie le signe de la différence un+1un.u_{n+1}-u_{n}.
  • Si pour tout entier nn, un+1un>0u_{n+1}-u_{n}>0, la suite est strictement croissante.
  • Si pour tout entier nn, un+1un<0u_{n+1}-u_{n} \lt 0 , la suite est strictement décroissante.

2. Si la suite est définie explicitement, on étudie le sens de variation de la fonction ff telle que un=f(n). u_n=f(n).

3. Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, on compare le quotient un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} à 1.1.
  • Si pour tout entier nn, un+1un>1\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}>1, la suite est strictement croissante.

  • Si pour tout entier nn, un+1un<1\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\lt 1, la suite est strictement décroissante.

Cette dernière méthode n’est pas la plus simple, car il faut d’abord justifier que tous les termes de la suite sont strictement positifs.

A
Définitions et modes de génération


NOTATION

Il existe une fonction ff telle que un=f(n).u_n = f(n).

NOTATION

Attention à ne pas confondre le nombre unu_n et la suite (un).(u_n).

NOTATION

Il existe une fonction ff telle que un+1=f(un).u_{n+1} = f(u_n).

Exemple

La suite (vn)(v_n) définie sur N\mathbb{N} par vn=2n+1v_n= 2n+1 est définie explicitement :
v4=2×4+1=9v_4 = 2 \times 4 +1 = 9 ; v10=2×10+1=21v_{10}=2\times 10 +1 = 21 et v58=2×58+1=117.v_{58}=2\times 58 +1=117.

Définition

Une suite est définie par récurrence lorsqu’elle est définie par la donnée de son premier terme et d’une relation qui permet de calculer un terme à partir du terme précédent. On donne donc l’expression de un+1u_{n+1} en fonction de un.u_n. Cette relation est appelée relation de récurrence.

NOTATION

On peut écrire

{w0=4wn+1=2wn+1\left\{\begin{array}{cc}{w_0} &=& 4 \\ w_{n+1} &= & {2 w_{n}+1}\end{array}\right.

Exemple

Soit (un)(u_n) la suite définie arbitrairement sur N\mathbb{N} par :
u0=2u_0 =2 ; u1=3u_1 = 3 ; u3=713u_3 = 713 ; u4=12u_4 = -12

Exemple

La suite ww définie sur N\mathbb{N} par le premier terme w0=4 w_0 =4 et, pour tout entier nn, wn+1=2wn+1w _{n+1}=2w_n +1 est définie par récurrence. Pour trouver w4=79w_4 =79, il faut calculer w3w_3 qui nécessite de calculer w2w_2 qui nécessite à son tour le calcul de w1w_1 que l’on calcule grâce à : w1=2w0+1=2×4+1=9.w_1= 2w_0 + 1= 2\times 4 + 1 = 9. Puis w2=2w1+1w_2= 2w_1 + 1, etc.

Définition

Une suite est définie explicitement lorsque l’on peut calculer n’importe quel terme de la suite directement en fonction de n.n. On donne alors l’expression du terme général unu_n en fonction de n.n.

Définition

Soit n0N.n_0 \in \mathbb{N}.
Une suite numérique uu est une fonction définie pour tout entier naturel nn0n \geqslant n_0 à valeurs dans R.\mathbb{R}. Pour chaque nn0n \geqslant n_0, on associe le nombre noté u(n)u(n) ou encore un.u_n. La suite est notée (un)nn0(u_n)_{n\geqslant n_0} ou, plus simplement, (un).(u_n).

B
Représentation graphique d’une suite


Exemple

La suite ww définie sur N\mathbb{N} par le premier terme w0=4w_0 = 4 et pour tout entier nn, wn+1=2wn+1w_{n+1}= 2w_n + 1 est représentée sur la droite réelle ci-dessous.

Représentation graphique d’une suite

Une suite uu peut être représentée soit en plaçant les réels u0u_0, u1u_1, u2u_2, ... sur une droite graduée, soit en plaçant les points de coordonnées (n(n, un)u_n) dans un repère.
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