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Chapitre 1
Fiches de révision

Suites numériques

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Cours



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Généralités

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Suite définie explicitement
Une suite \left( u_n \right) est définie explicitement lorsqu'on donne l'expression du terme général u_n de la suite en fonction de n.
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Exemple
La suite (v_n) définie sur \mathbb{N} par v_n = 2n+1 est définie explicitement. On a v_4 = 2 \times 4 + 1 = 9.
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Suite définie par récurrence
Une suite \left( u_n \right) est définie par récurrence lorsqu'elle est définie par la donnée de son premier terme et d'une relation (appelée relation de récurrence) permettant de calculer un terme à partir du terme précédent.

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Exemple
\begin{cases} u_0 = 2 \\ \text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1} =2 u_n + 1 \end{cases} est définie par récurrence. On a w_1 = 2 \times w_0 + 1 = 2 \times 2 + 1 = 5, w_2 = 2 w_1 + 1 = 2 \times 5 + 1 = 11 etc.
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Sens de variation
  • Une suite (u_n) est croissante à partir du rang n_0 si, pour tout entier n \geqslant n_0, u_{n+1} \geqslant u_n.

    Exemple
    La suite (u_n) définie sur \mathbb{N} par u_n = n est croissante pour tout n \in \mathbb{N}.

  • Une suite (u_n) est décroissante à partir du rang n_0 si, pour tout entier n \geqslant n_0, u_{n+1} \leqslant u_n.

    Exemple
    La suite (u_n) définie sur \mathbb{N} par u_n = −n est décroissante pour tout n \in \mathbb{N}.

  • Une suite est dite monotone à partir du rang n_0 lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante à partir du rang n_0.

    Exemple
    La suite (u_n) définie sur \mathbb{N} par u_n = (−1)^{n} n'est pas monotone sur \mathbb{N}.
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Suites arithmétiques

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Définition
Une suite (u_n) est dite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r, appelé raison de la suite, tel que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + r.

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Exemple
La suite (u_n) définie par u_0 = −5 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + 3 est une suite arithmétique.
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Propriété
Pour tout entier n et p, u_n = u_p + (n−p) r. En particulier, pour tout entier n, u_n = u_0 + n r.
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Variations
Une suite arithmétique de raison r est :
  • croissante si r > 0 ;
  • décroissante si r \lt 0 ;
  • constante si r = 0.
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Suites géométriques

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Définition
Une suite (u_n) est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel q non nul, appelé raison de la suite, tel que, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = q \times u_n.
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Exemple
La suite (u_n) définie par u_0 = −5 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n \times 3 est une suite géométrique.
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Propriété
Pour tout entier n et p, u_n = u_p \times q^{n−p}. En particulier, pour tout entier n, u_n = u_0 \times q^{n}.
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Variations
Une suite géométrique de raison q dont tous les termes sont strictement positifs est :
  • croissante si q > 1 ;
  • décroissante si 0 \lt q \lt 1 ;
  • constante si q = 1.
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