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Entrainement 2


Suites arithmétiques





58
[Représenter.]
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a représenté quelques termes de trois suites arithmétiques.
Pour chacune d’elle, déterminer le premier terme, la raison ainsi que l’expression de unu_n en fonction de n.n. Donner la valeur de u3u_3 et u6.u_6.

Représentation de 3 suites


1. Suite verte


2. Suite rouge


3. Suite violette

55
[Calculer.] ◉◉
Déterminer si les suites suivantes sont arithmétiques. Si oui, donner le premier terme et la raison.

1. Pour tout nNn \in \N, un=n+5n+1.u_{n}=\dfrac{n+5}{n+1}.


2. Pour tout nNn \in \N, un=3n+58.u_{n}=\dfrac{-3 n+5}{8}.


3. Pour tout nNn \in \N, un=n2+4n+3n+3.u_{n}=\dfrac{n^{2}+4 n+3}{n+3}.


4. Pour tout nNn \in \N, un=n2+1n+2.u_{n}=\dfrac{n^{2}+1}{n+2}.

59
[Modéliser.] ◉◉
Lorentz place une somme de 1 000 euros au taux simple annuel de 5 % ; c’est-à-dire que chaque année, la somme placée augmentera de 5 % de la somme initiale. Pour tout entier naturel nn, unu_n désigne le capital de Lorentz nn années après son placement.

1. Déterminer u0u_0, u1u_1, u2u_2 et u3.u_3.


2. Exprimer un+1u_{n+1} en fonction de un.u_n.


3. Prouver que la suite (un)(u_n) est arithmétique. Donner sa raison et son premier terme u0.u_0 .


4. En déduire une expression de unu_n en fonction de n.n.


5. Au bout de combien d’années le capital de Lorentz aura-t-il doublé ?

68
[Modéliser.]
On construit des demi-disques comme sur la figure ci-dessous. L’unité est le centimètre. On appelle ana_n la longueur du demi-cercle correspondant de rang n1.n \geqslant 1 .

Suites arithmétiques : aires de demi-disques

1. Exprimer ana_n en fonction de n.n.


2. Prouver que la suite (an)(a_n) est une suite arithmétique dont on déterminera la raison et le premier terme.


3. Pourra-t-on obtenir un demi-cercle dont la longueur sera supérieure à 25 cm ? Si oui, à quelle étape ?

60
[Calculer.] ◉◉
Calculer les sommes suivantes.

1. S=1+2+3++73.\mathrm{S}=1+2+3+\ldots+73.


2. T=1+4+7++40.\mathrm{T}=1+4+7+\ldots+40.


3. U=71+72+73++100.\mathrm{U}=71+72+73+\ldots+100.


4. V=2+4+6++50.\mathrm{V}=2+4+6+\ldots+50.

57
[Calculer.]
Soit (un)(u_n), la suite arithmétique définie pour tout entier naturel nn telle que u3=18u_3= 18 et u3+u4+u5+u6=105.u_{3}+u_{4}+u_{5}+u_{6}=105.
Quelle est la raison de cette suite ? Quel est son premier terme ?

66
TABLEUR
[Représenter.]
Voici un extrait de tableur qui représente une suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel n.n .

Tableur calculant les termes d'une suite

1. Déterminer l’expression de unu_n en fonction n.n.


2. Quelle est la nature de la suite (un)(u_n) ? Justifier.


3. Quel est son sens de variation ? Justifier.


4. Calculer le premier terme u0.u_0.

56
[Calculer.] ◉◉◉
À chaque fois, on donne deux termes d’une suite arithmétique (un)(u_n) définie sur N.\N . Déterminer la raison et le premier terme puis exprimer unu_n en fonction de nN.n \in \N .

1. u3=4u_3=4 et u8=24.u_8=24.


2. u5=74u_5=\dfrac{7}{4} et u9=14.u_9=\dfrac{1}{4}.


3. u13=16u_{13}=16 et u32=7.u_{32}=-7.


4. u50=159u_{50}=159 et u100=309.u_{100}=309.

54
[Calculer.] ◉◉
Pour chacune des suites suivantes, calculer u20.u_{20}.

1. La suite (un)(u_n) est arithmétique de raison r=3r = 3 et telle que u7=12.u_7 = 12.


2. La suite (un)(u_n) est arithmétique de raison r=5r = 5 et telle que u25=17.u_{25}= 17.


3. La suite (un)(u_n) est définie par {u0=3un+1=un+7\left\{\begin{array}{l}{u_{0}=3} \\ {u_{n+1}=u_{n}+7}\end{array}\right. pour nN.n \in \N.


4. La suite (un)(u_n) est définie par {u1=2un+1=un4\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=-2} \\ {u_{n+1}=u_{n}-4}\end{array}\right. pour nN.n \in \N.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 40 ; 44 ; 49 ; 54 ; 60 ; 62 ; 65 et 69.
◉◉ Parcours 2 : exercices 43 ; 53 ; 55 ; 59 ; 64 ; 70 ; 72 et 74.
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 48 ; 50 ; 56 ; 67 ; 71 ; 75 ; 84 et 86.

62
[Calculer.] ◉◉
On souhaite empiler des canettes de soda de cette manière. On note cnc_n le nombre de canettes sur la rangée nn pour nN. n \in \N^*.

Suites arithmétiques : empilement de canettes

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite (cn).(c_n).


2. Conjecturer une expression de cn+1c_{n+1} en fonction de cnc_n pour nN.n\in \N^*. Quelle est la nature de la suite ?


3. En déduire le terme général cnc_n en fonction de n.n .


4. Quel est le nombre total de canettes utilisées pour sept rangées ?


5. À l’aide de la calculatrice, déterminer combien de rangées on peut dresser avec 91 canettes.

65
[Chercher.] ◉◉
Déterminer le sens de variation des suites arithmétiques suivantes définies sur N.\N.

1. a. un=4n2u_{n}=4 n-2


b. un=3n+58u_{n}=\dfrac{-3 n+5}{8}


c. un=n2+4n+3n+3u_{n}=\dfrac{n^{2}+4 n+3}{n+3}


d. un=3n2+5n2n+2u_{n}=\dfrac{3 n^{2}+5 n-2}{n+2}



2. a. u3=4u_3=4 et u8=24u_8=24


b. u5=74u_5=\dfrac{7}{4} et u9=14u_9=\dfrac{1}{4}


c. u13=16u_{13}=16 et u32=7u_{32}=-7


d. u50=159u_{50}=159 et u100=309u_{100}=309

63
[Calculer.]
On souhaite empiler des allumettes. Pour nNn \in \N^*, on note ana_n le nombre d’allumettes nécessaire pour construire la ligne du niveau n.n . Ainsi, a1=2a_1=2 et a2=4.a_2=4.
Suites arithmétiques : empilement d'allumettes

1. Déterminer les quatre premiers termes de la suite.


2. Exprimer ana_n en fonction de nn avec nNn \in \N^* puis en déduire la nature de la suite.


3. Combien d’allumettes totales seront nécessaires pour construire la dixième étape ?

67
[Calculer.] ◉◉◉
En 2017, le nombre d’abonnés à une page de réseau social d’un artiste était de 9 000. On suppose que, chaque année, il obtient 1 500 fans supplémentaires.
fnf_n désigne le nombre d’abonnés en 2017 + n+\ n pour tout entier naturel n.n.

1. Calculer le nombre d’abonnés en 2018 et 2019.


2. Exprimer fn+1f_{n+1} en fonction de fn. f_n.


3. Quelle est la nature de la suite ? En déduire une expression de fnf_n en fonction de n.n.


4. Existe-t-il une année pour laquelle le nombre d’abonnés aura triplé par rapport à 2017 ? Si oui, laquelle ?

64
[Modéliser.] ◉◉
Une famille décide d’épargner afin de pouvoir s’offrir un voyage en Égypte.
La première année, elle économise 500 euros. Chaque année, elle augmente la somme épargnée de 100 euros.

Illustration : Sphinx

Pour n1n \geqslant 1 , on note sns_n , la somme épargnée l’année n.n .

1. Déterminer s1s_1, s2s_2 et s3.s_3. Pour tout nn de N\N^*, exprimer sn+1s_{n+1} en fonction de sn.s_n .


2. En déduire l’expression de sns_n en fonction de l’entier naturel n1.n \geqslant 1.


3. À l’aide de la calculatrice, déterminer dans combien d’années la famille pourra partir en voyage sachant que le voyage coûte 4 200 euros.

61
[Calculer.]
Le but de l’exercice est de manipuler le symbole Σ. \Sigma.

1. Écrire chaque somme en développant puis la calculer.
a. S=i=015(2i+1) \mathrm{S}= \mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{15} (2i+1)

b. T=i=27(3i2) \mathrm{T}= \mathop{\sum}\limits_{i=2}\limits^{7}(3 i-2)


2. Écrire chaque somme avec le symbole Σ\Sigma puis la calculer.
a. U=3+6+9++81 \mathrm{U}=3+6+9+\ldots+81

b. V=5+9+13++45 \mathrm{V}=5+9+13+\ldots+45
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