Suites arithmétiques

54

[Calculer.]
Pour chacune des suites suivantes, calculer $u_{20}.$ 1. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=3$ et telle que $u_7=12.$

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2. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r=5$ et telle que $u_{25}=17.$

Insérer une formule mathématique

3. La suite $(u_n)$ est définie par $\{\begin{array}{l}{u}_0=3\\ u_{n+1}=u_n+7\end{array}$ pour $n\in \mathbb{N}.$

Insérer une formule mathématique

4. La suite $(u_n)$ est définie par $\{\begin{array}{l}{u}_1=-2\\ u_{n+1}=u_n-4\end{array}$ pour $n\in \mathbb{N}.$

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55

[Calculer.]
Déterminer si les suites suivantes sont arithmétiques. Si oui, donner le premier terme et la raison. 1. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=\frac{n+5}{n+1}.$

Insérer une formule mathématique

2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=\frac{-3n+5}{8}.$

Insérer une formule mathématique

3. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=\frac{n^2+4n+3}{n+3}.$

Insérer une formule mathématique

4. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=\frac{n^2+1}{n+2}.$

Insérer une formule mathématique

58

[Représenter.]
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a représenté quelques termes de trois suites arithmétiques.
Pour chacune d'elle, déterminer le premier terme, la raison ainsi que l'expression de $u_n$ en fonction de $n.$ Donner la valeur de $u_3$ et $u_6.$

1. Suite verte

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2. Suite rouge

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3. Suite violette

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59

[Modéliser.]
Lorentz place une somme de 1 000 euros au taux simple annuel de 5 % ; c'est-à-dire que chaque année, la somme placée augmentera de 5 % de la somme initiale. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le capital de Lorentz $n$ années après son placement. 1. Déterminer $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3.$

Insérer une formule mathématique

2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n.$

Insérer une formule mathématique

3. Prouver que la suite $(u_n)$ est arithmétique. Donner sa raison et son premier terme $u_0.$

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4. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n.$

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5. Au bout de combien d'années le capital de Lorentz aura-t-il doublé ?

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60

[Calculer.]
Calculer les sommes suivantes. 1. $\mathrm{S}=1+2+3+\dots +73.$

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2. $\mathrm{T}=1+4+7+\dots +40.$

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3. $\mathrm{U}=71+72+73+\dots +100.$

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4. $\mathrm{V}=2+4+6+\dots +50.$

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61

[Calculer.]
Le but de l'exercice est de manipuler le symbole $\Sigma .$ 1. Écrire chaque somme en développant puis la calculer.
a. $\mathrm{S}=\sum _{i=0}^{15}(2i+1)$

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b. $\mathrm{T}=\sum _{i=2}^7(3i-2)$

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2. Écrire chaque somme avec le symbole $\Sigma$ puis la calculer.
a. $\mathrm{U}=3+6+9+\dots +81$

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b. $\mathrm{V}=5+9+13+\dots +45$

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63

[Calculer.]
On souhaite empiler des allumettes. Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $a_n$ le nombre d'allumettes nécessaire pour construire la ligne du niveau $n.$ Ainsi, $a_1=2$ et $a_2=4.$
1. Déterminer les quatre premiers termes de la suite.

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2. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$ avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ puis en déduire la nature de la suite.

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3. Combien d'allumettes totales seront nécessaires pour construire la dixième étape ?

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64

[Modéliser.]
Une famille décide d'épargner afin de pouvoir s'offrir un voyage en Égypte.
La première année, elle économise 500 euros. Chaque année, elle augmente la somme épargnée de 100 euros.


Pour $n⩾1$, on note $s_n$, la somme épargnée l'année $n.$ 1. Déterminer $s_1$, $s_2$ et $s_3.$ Pour tout $n$ de ${\mathbb{N}}^{\ast }$, exprimer $s_{n+1}$ en fonction de $s_n.$

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2. En déduire l'expression de $s_n$ en fonction de l'entier naturel $n⩾1.$

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3. À l'aide de la calculatrice, déterminer dans combien d'années la famille pourra partir en voyage sachant que le voyage coûte 4 200 euros.

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66

Tableur

[Représenter.]
Voici un extrait de tableur qui représente une suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n.$

1. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction $n.$

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2. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Justifier.

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3. Quel est son sens de variation ? Justifier.

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4. Calculer le premier terme $u_0.$

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67

[Calculer.]
En 2017, le nombre d'abonnés à une page de réseau social d'un artiste était de 9 000. On suppose que, chaque année, il obtient 1 500 fans supplémentaires.
$f_n$ désigne le nombre d'abonnés en 2017 $+n$ pour tout entier naturel $n.$ 1. Calculer le nombre d'abonnés en 2018 et 2019.

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2. Exprimer $f_{n+1}$ en fonction de $f_n.$

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3. Quelle est la nature de la suite ? En déduire une expression de $f_n$ en fonction de $n.$

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4. Existe-t-il une année pour laquelle le nombre d'abonnés aura triplé par rapport à 2017 ? Si oui, laquelle ?

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