Mathématiques 1re Spécialité

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Chapitre 1
Cours 3

Suites géométriques

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A
Généralités

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Définition
Une suite (v_n) est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier naturel n, v_{n+ 1} = q\times v_n.
Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (v_n).
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Exemple
(v_n) est la suite géométrique de raison \dfrac{1}{2} et de premier terme v_0 =1.
Pour tout entier naturel n, la suite est définie par : v_{n+1}=\dfrac{1}{2} v_{n}.
Ainsi, v_{0}=1, v_{1}=\dfrac{1}{2}, v_{2}=\dfrac{1}{4}, v_{3}=\dfrac{1}{8}, ...
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Propriété
Si (v_n) est une suite géométrique de raison non nulle q alors, pour tous entiers naturels n et p, v_n = v_p\times q^{ n-p}.
En particulier, pour tout entier naturel n, v_n=v_o\times q^n.
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Logique

La réciproque est vraie : s'il existe q tel que v_n = A \times q^n pour tout n \in \mathbb{N}, alors (v_n) est géométrique de raison q et de premier terme v_0 =A.
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Démonstration
1. Cas où n\geqslant p : de v_p à v_n, on multiplie n - p fois par la raison donc on a v_n =v_p \times q^{n - p}.
2. Cas où n\leqslant p : avec la formule précédente, on peut écrire v_p =v_n \times q^{p - n} d'où v_{n}=\dfrac{v_{p}}{q^{p-n}}=v_{p} \times q^{n-p}.
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Logique

On réalise ici une démonstration par disjonction des cas.
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Démonstration au programme

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Exemple
Soit (v_n) la suite géométrique de raison 2 telle que v_{1} = 3.
Alors v_{10}=v_{1} \times q^{10-1} = 3\times 2^9 = 1\,536.
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Application et méthode
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Énoncé
Dans chacun des cas, montrer que (v_n) est une suite géométrique.
1. (v_n) est définie sur \mathbb{N} par v_0 = 2 et v_{n+ 1} = v_n \times 6.
2. (v_n) est définie sur \mathbb{N} par v_n= 6 \times 0{,}4^n.
3.(v_n) est définie sur \mathbb{N} par v_n= u_n -3(u_n) est la suite définie sur \mathbb{N} par u_0 =2 et u_{n+1}=2u_n-3.
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Méthode

Pour montrer qu'une suite est géométrique, on peut :
1. utiliser la définition du cours ;
2. calculer v_{n+1} ;
l'exprimer en fonction de v_n ;
déterminer le réel q tel que v_{n+1}=qv_n.
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Solution
1. Par définition, (v_n) est une suite géométrique de raison q = 6 et de premier terme v_0 =2.
2. Pour tout n \in \mathbb{N}, v_{n+1}=6 \times 0{,}4^{n+1}=6 \times 0{,}4^{n} \times 0{,}4=0{,}4 \times v_{n}.
La suite (v_n) est géométrique de raison q = 0{,}4 et de premier terme v_0 = 6\times 0{,}4^0 =6.
3. Pour tout n \in \mathbb{N}, v_{n+1}=u_{n+1}-3=\left(2 u_{n}-3\right)-3=2 u_{n}-6=2\left(u_{n}-3\right)=2 \times v_{n}.
La suite (v_n) est de raison q = 2 et de premier terme v_{0}=u_{0}-3=-1.

Pour s'entraîner
Exercices , et p. 31
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B
Somme de termes

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Propriété
Pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel q \ne 1,
1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
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Logique

Lorsque q = 1, la somme est égale à n + 1.
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Démonstration
Soient un entier naturel n non nul et un réel q\ne 1 : \mathrm{S}=1+q+q^{2}+\ldots+q^{n} donc q \times \mathrm{S}=q+q^{2}+\ldots+q^{n}+q^{n+1}.

Ainsi, \mathrm{S}-q \mathrm{S}=1-q^{n+1} d'où \mathrm{S}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} (1-q \neq 0 car q \neq 1).
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Démonstration au programme

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Exemple
1+2+2^{2}+\ldots+1024=1+2+2^{2}+\ldots+2^{10}=\dfrac{1-2^{10+1}}{1-2}=2\,047
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Application et méthode
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Énoncé
En utilisant la somme des termes d'une suite géométrique :
1. Calculer la somme 1 - 3 + 9 - 27 + 81.
2. Calculer la somme 5 + 25 + 125 + 625 + 3 \,125.
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Méthode

1. Trouver un facteur commun ;
2. Factoriser pour faire apparaître la somme du cours : 1+q+q^{2}+\ldots+q^{n} ;
3. Conclure en utilisant la formule du cours.
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Solution
1. On a 1-3+9-27+81=(-3)^{0}+(-3)^{1}+(-3)^{2}+(-3)^{3}+(-3)^{4}.

Soit 1-3+9-27+81=\dfrac{1-(-3)^{4+1}}{1-(-3)}=\dfrac{1-(-3)^{5}}{4}=\dfrac{1+243}{4}=61.

2. On a 5+25+125+625+3\,125=(5 \times 1)+(5 \times 5)+(5 \times 25)+(5 \times 125)+(5 \times 625).

Soit 5+25+125+625+3\,125=5 \times(1+5+25+125+625)=5 \times(1+5+5^{2}+5^{3}+5^{4}).
Soit 5+25+125+625+3\,125=5 \times \dfrac{1-5^{4+1}}{1-5}=5 \times \dfrac{5^{5}-1}{4}=5 \times \dfrac{3\,125-1}{4}=3\,905.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 36
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C
Sens de variation

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Propriété
Une suite géométrique de raison q dont tous les termes sont strictement positifs est :
  • croissante si q > 1 ;
  • décroissante si 0 \lt q \lt 1 ;
  • constante si q = 1.
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Remarque

Si q \lt 0, la suite n'est pas monotone : elle alterne entre une valeur positive et une valeur négative.

Par exemple, v_{n}=(-2)^{n} pour n \in \mathbb{N}.
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Démonstration
(v_n) est la suite définie pour tout n\in \mathbb{N} par v_n=q^n avec q\ne 0.
Alors v_{n+1}=q^{n+1}=q \times q^{n}=q v_{n}.
  • Si q>1 : comme v_n>0, on peut multiplier l'inégalité q > 1 par v_n et on obtient qv_n > v_n soit v_{n+1} > v_n pour tout n. La suite (v_n) est donc croissante.
  • Si 0\lt q\lt 1 : 0 \lt qv_n \lt v_n soit v_{n+1}\lt v_n : la suite (v_n) est donc décroissante.
  • Si q=1 alors, pour tout n \in \mathbb{N}, v_{n+1}=v_n et la suite (v_n) est donc bien constante.
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Application et méthode
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Énoncé
(v_n) est la suite définie pour tout entier n par v_n= 0{,}5^n. Étudier le sens de variation de (v_n).
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Méthode

1. On démontre que la suite est géométrique et on détermine sa raison.

2. On vérifie que tous les termes de la suite sont strictement positifs.

3. On utilise alors la propriété du cours.

Remarque : Puisque tous les termes sont strictement positifs, la valeur du premier terme est inutile pour déterminer les variations.
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Solution
Pour tout n\in \mathbb{N} , v_{n+1}=0{,}5^{n+1}=0{,}5 \times 0{,}5^{n}=0{,}5 v_{n}.
La suite (v_n) est donc une suite géométrique de raison q = 0{,}5.

Pour tout n\in \mathbb{N} , v_n>0.
Comme 0 \lt q \lt 1, la suite (v_n) est strictement décroissante.

Pour s'entraîner
Exercice p. 37

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