COURS 3


3
Suites géométriques




Application et méthode


Méthode

Pour montrer qu’une suite est géométrique, on peut :

1. utiliser la définition du cours ;

2. calculer vn+1v_{n+1} ;
l'exprimer en fonction de vnv_n ;
déterminer le réel qq tel que vn+1=qvn.v_{n+1}=qv_n.

SOLUTION


1. Par définition, (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison q=6q = 6 et de premier terme v0=2.v_0 =2.

2. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, vn+1=6×0,4n+1=6×0,4n×0,4=0,4×vn.v_{n+1}=6 \times 0{,}4^{n+1}=6 \times 0{,}4^{n} \times 0{,}4=0{,}4 \times v_{n}.
La suite (vn)(v_n) est géométrique de raison q=0,4q = 0{,}4 et de premier terme v0=6×0,40=6.v_0 = 6\times 0{,}4^0 =6.

3. Pour tout nNn \in \mathbb{N}, vn+1=un+13=(2un3)3=2un6=2(un3)=2×vn.v_{n+1}=u_{n+1}-3=\left(2 u_{n}-3\right)-3=2 u_{n}-6=2\left(u_{n}-3\right)=2 \times v_{n}.
La suite (vn)(v_n) est de raison q=2q = 2 et de premier terme v0=u03=1.v_{0}=u_{0}-3=-1.

Pour s'entraîner : exercices 29, 30 et 31 p. 31

Énoncé

Dans chacun des cas, montrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique.

1. (vn)(v_n) est définie sur N\mathbb{N} par v0=2v_0 = 2 et vn+1=vn×6.v_{n+ 1} = v_n \times 6.
2. (vn)(v_n) est définie sur N\mathbb{N} par vn=6×0,4n.v_n= 6 \times 0{,}4^n.
3.(vn)(v_n) est définie sur N\mathbb{N} par vn=un3v_n= u_n -3(un)(u_n) est la suite définie sur N \mathbb{N} par u0=2u_0 =2 et un+1=2un3.u_{n+1}=2u_n-3.

Application et méthode


SOLUTION


1. On a 13+927+81=(3)0+(3)1+(3)2+(3)3+(3)4.1-3+9-27+81=(-3)^{0}+(-3)^{1}+(-3)^{2}+(-3)^{3}+(-3)^{4}.

Soit 13+927+81=1(3)4+11(3)=1(3)54=1+2434=61.1-3+9-27+81=\dfrac{1-(-3)^{4+1}}{1-(-3)}=\dfrac{1-(-3)^{5}}{4}=\dfrac{1+243}{4}=61.


2. On a 5+25+125+625+3125=(5×1)+(5×5)+(5×25)+(5×125)+(5×625).5+25+125+625+3\,125=(5 \times 1)+(5 \times 5)+(5 \times 25)+(5 \times 125)+(5 \times 625).

Soit 5+25+125+625+3125=5×(1+5+25+125+625)=5×(1+5+52+53+54).5+25+125+625+3\,125=5 \times(1+5+25+125+625)=5 \times(1+5+5^{2}+5^{3}+5^{4}).

Soit 5+25+125+625+3125=5×154+115=5×5514=5×312514=3905.5+25+125+625+3\,125=5 \times \dfrac{1-5^{4+1}}{1-5}=5 \times \dfrac{5^{5}-1}{4}=5 \times \dfrac{3\,125-1}{4}=3\,905.


Pour s'entraîner : exercices 72 et 73 p. 36

Énoncé

En utilisant la somme des termes d’une suite géométrique :

1. Calculer la somme 13+927+81.1 - 3 + 9 - 27 + 81.
2. Calculer la somme 5+25+125+625+3125.5 + 25 + 125 + 625 + 3 \,125.

Méthode

1. Trouver un facteur commun ;

2. Factoriser pour faire apparaître la somme du cours : 1+q+q2++qn1+q+q^{2}+\ldots+q^{n} ;

3. Conclure en utilisant la formule du cours.

C
Sens de variation


Démonstration


(vn) (v_n) est la suite définie pour tout nNn\in \mathbb{N} par vn=qnv_n=q^n avec q0.q\ne 0.
Alors vn+1=qn+1=q×qn=qvn.v_{n+1}=q^{n+1}=q \times q^{n}=q v_{n}.
  • Si q>1q>1 : comme vn>0v_n>0, on peut multiplier l’inégalité q>1q > 1 par vnv_n et on obtient qvn>vnqv_n > v_n soit vn+1>vnv_{n+1} > v_n pour tout n.n. La suite (vn)(v_n) est donc croissante.
  • Si 0<q<10\lt q\lt 1 : 0<qvn<vn0 \lt qv_n \lt v_n soit vn+1<vnv_{n+1}\lt v_n : la suite (vn)(v_n) est donc décroissante.
  • Si q=1q=1 alors, pour tout nNn \in \mathbb{N}, vn+1=vnv_{n+1}=v_n et la suite (vn)(v_n) est donc bien constante.

Remarque

Si q<0q \lt 0, la suite n’est pas monotone : elle alterne entre une valeur positive et une valeur négative.

Par exemple, vn=(2)nv_{n}=(-2)^{n} pour nN.n \in \mathbb{N}.

Propriété

Une suite géométrique de raison qq dont tous les termes sont strictement positifs est :
  • croissante si q>1q > 1 ;
  • décroissante si 0<q<10 \lt q \lt 1 ;
  • constante si q=1. q = 1.

A
Généralités


Exemple

Soit (vn)(v_n) la suite géométrique de raison 22 telle que v1=3.v_{1} = 3.
Alors v10=v1×q101=3×29=1536.v_{10}=v_{1} \times q^{10-1} = 3\times 2^9 = 1\,536.

Définition

Une suite (vn)(v_n) est dite géométrique lorsqu’il existe un nombre réel non nul qq tel que, pour tout entier naturel nn, vn+1=q×vn.v_{n+ 1} = q\times v_n.
Le nombre réel qq est appelé la raison de la suite (vn).(v_n).

Exemple

(vn)(v_n) est la suite géométrique de raison 12\dfrac{1}{2} et de premier terme v0=1.v_0 =1.
Pour tout entier naturel nn, la suite est définie par : vn+1=12vn.v_{n+1}=\dfrac{1}{2} v_{n}.
Ainsi, v0=1v_{0}=1, v1=12v_{1}=\dfrac{1}{2}, v2=14v_{2}=\dfrac{1}{4}, v3=18,...v_{3}=\dfrac{1}{8}, ...

Démonstration au programme


Propriété

Si (vn)(v_n) est une suite géométrique de raison non nulle qq alors, pour tous entiers naturels nn et pp, vn=vp×qnp.v_n = v_p\times q^{ n-p}.
En particulier, pour tout entier naturel nn, vn=vo×qn.v_n=v_o\times q^n.

LOGIQUE

La réciproque est vraie : s’il existe qq tel que vn=A×qnv_n = A \times q^n pour tout nNn \in \mathbb{N}, alors (vn)(v_n) est géométrique de raison qq et de premier terme v0=A.v_0 =A.

Démonstration


1. Cas où npn\geqslant p : de vp v_p à vnv_n, on multiplie npn - p fois par la raison donc on a vn=vp×qnp.v_n =v_p \times q^{n - p}.
2. Cas où npn\leqslant p : avec la formule précédente, on peut écrire vp=vn×qpnv_p =v_n \times q^{p - n} d’où vn=vpqpn=vp×qnpv_{n}=\dfrac{v_{p}}{q^{p-n}}=v_{p} \times q^{n-p}.

LOGIQUE

On réalise ici une démonstration par disjonction des cas.

Application et méthode

Énoncé

(vn)(v_n) est la suite définie pour tout entier nn par vn=0,5n.v_n= 0{,}5^n.
Étudier le sens de variation de (vn).(v_n).

SOLUTION


Pour tout nNn\in \mathbb{N} , vn+1=0,5n+1=0,5×0,5n=0,5vn.v_{n+1}=0{,}5^{n+1}=0{,}5 \times 0{,}5^{n}=0{,}5 v_{n}.
La suite (vn)(v_n) est donc une suite géométrique de raison q=0,5.q = 0{,}5.

Pour tout nNn\in \mathbb{N} , vn>0.v_n>0.
Comme 0<q<10 \lt q \lt 1, la suite (vn)(v_n) est strictement décroissante.

Pour s'entraîner : exercice 78 p. 37

Méthode

1. On démontre que la suite est géométrique et on détermine sa raison.

2. On vérifie que tous les termes de la suite sont strictement positifs.

3. On utilise alors la propriété du cours.

Remarque : Puisque tous les termes sont strictement positifs, la valeur du premier terme est inutile pour déterminer les variations.

B
Somme de termes

Démonstration au programme


LOGIQUE

Lorsque q=1q = 1, la somme est égale à n+1.n + 1.

Démonstration


Soient un entier naturel nn non nul et un réel q1q\ne 1 : S=1+q+q2++qn\mathrm{S}=1+q+q^{2}+\ldots+q^{n} donc q×S=q+q2++qn+qn+1.q \times \mathrm{S}=q+q^{2}+\ldots+q^{n}+q^{n+1}.

Ainsi, SqS=1qn+1\mathrm{S}-q \mathrm{S}=1-q^{n+1} d'où S=1qn+11q\mathrm{S}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} (1q0 (1-q \neq 0 car q1). q \neq 1).

Propriété


Pour tout entier naturel nn non nul et pour tout réel q1q \ne 1,
1+q+q2++qn=1qn+11q.1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.

Exemple


1+2+22++1024=1+2+22++210=1210+112=20471+2+2^{2}+\ldots+1024=1+2+2^{2}+\ldots+2^{10}=\dfrac{1-2^{10+1}}{1-2}=2\,047
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Se connecter

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?