Suites géométriques

Si $(v_n)$est une suite géométrique de raison non nulle $q$ alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $v_n=v_p\times q^{n-p}.$
En particulier, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_o\times q^n.$

La réciproque est vraie : s'il existe $q$ tel que $v_n=A\times q^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$, alors $(v_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0=A.$

1. Cas où $n⩾p$ : de $v_p$ à $v_n$, on multiplie $n-p$ fois par la raison donc on a $v_n=v_p\times q^{n-p}.$
2. Cas où $n⩽p$ : avec la formule précédente, on peut écrire $v_p=v_n\times q^{p-n}$ d'où $v_n=\frac{v_p}{q^{p-n}}=v_p\times q^{n-p}$.

On réalise ici une démonstration par disjonction des cas.

Dans chacun des cas, montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
1. $(v_n)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par $v_0=2$ et $v_{n+1}=v_n\times 6.$
2. $(v_n)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=6\times 0,4^n.$
3.$(v_n)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=u_n-3$ où $(u_n)$ est la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=2$ et $u_{n+1}=2u_n-3.$

Pour montrer qu'une suite est géométrique, on peut :
1. utiliser la définition du cours ;
2. calculer $v_{n+1}$ ;
l'exprimer en fonction de $v_n$ ;
déterminer le réel $q$ tel que $v_{n+1}=q{v}_n.$

Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $q\ne 1$,
$1+q+q^2+\dots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$

Lorsque $q=1$, la somme est égale à $n+1.$

En utilisant la somme des termes d'une suite géométrique :
1. Calculer la somme $1-3+9-27+81.$
2. Calculer la somme $5+25+125+625+3125.$

1. Trouver un facteur commun ;
2. Factoriser pour faire apparaître la somme du cours : $1+q+q^2+\dots +q^n$ ;
3. Conclure en utilisant la formule du cours.

Une suite géométrique de raison $q$ dont tous les termes sont strictement positifs est :

• croissante si $q>1$ ;
• décroissante si $0<q<1$ ;
• constante si $q=1.$

Si $q<0$, la suite n'est pas monotone : elle alterne entre une valeur positive et une valeur négative.

Par exemple, $v_n=(-2{)}^n$ pour $n\in \mathbb{N}.$

1. On démontre que la suite est géométrique et on détermine sa raison.

2. On vérifie que tous les termes de la suite sont strictement positifs.

3. On utilise alors la propriété du cours.

Remarque : Puisque tous les termes sont strictement positifs, la valeur du premier terme est inutile pour déterminer les variations.

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=0,5^{n+1}=0,5\times 0,5^n=0,5v_n.$
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=0,5.$

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_n>0.$
Comme $0<q<1$, la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.

Exercice

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