Limites et comparaison

Parcours 1 : exercices

40

;

44

;

52

;

60

;

69

et

83

Parcours 2 : exercices

42

;

46

;

55

;

62

;

65

;

70

;

77

et

84

Parcours 3 : exercices

47

;

59

;

66

;

71

;

76

et

82

72

Comparer les expressions f et g suivantes pour tout x \in [0 ; + \infty[.

1. f(x)= \sqrt{x+1} et g(x) = \sqrt{x}.

2. f(x) = x et g(x) = \text{E}(x) où \text{E}(x) désigne la partie entière de x.

73

1. Soit f une fonction telle que pour tout réel x positif, f(x) \geqslant x^2+ \sqrt{x}. Que peut-on dire de la limite de f en +\infty ?

2. Soit g une fonction définie sur \R^* telle que, pour tout x \in \R^*, \dfrac{1}{x^2} +1 \leqslant g(x) \leqslant \dfrac{2}{x^2} +1.
a. Que peut-on dire de la limite de g en +\infty ?
b. Que peut-on dire de la limite de g en -\infty ?
c. Que peut-on dire de la limite de g quand x tend vers 0 ?

3. Soit h une fonction définie sur \R^* telle que, pour tout x \in \R^*, \dfrac{1}{x^2} -1 \leqslant h(x) \leqslant \dfrac{2}{x^2} +1.
a. Que peut-on dire de la limite de h quand x tend vers 0 ?
b. Que peut-on dire de la limite de h quand x tend vers +\infty ?

74

Factoriser les expressions suivantes par \mathrm{e}^x en précisant leur ensemble de définition.
1. f(x) = \mathrm{e}^x - \dfrac{1}{x}

2. g(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x + x}{x-1}

3. h(x) = \mathrm{e}^x - x^3\mathrm{e}^x + 2

75

[Calculer.]
Soit f une fonction telle que, pour tout x > 1 :


Déterminer la limite de f en +\infty.

76

[Raisonner.]
Déterminer la limite en +\infty de la fonction f définie sur \R^* par f(x) = \dfrac{\text{E}(x)}{x}, où \text{E}(x) représente la partie entière de x.

77

[Calculer.]
Déterminer la limite des fonctions suivantes en +\infty et en -\infty.

1. f : x \rightarrow \dfrac{x + 2\sin(x)}{x}

2. g : x \rightarrow (2 + \cos(x))x^3

3. h : x \rightarrow \dfrac{x}{\sin(x) + x}

4. k : x \rightarrow x^2 + 3 \sin(x)

78

[Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x) = \sqrt{1+ \dfrac{1}{x}}.
1. Montrer que, pour tout x \in ]0 ; +\infty[,

1 \leqslant 1 + \dfrac{1}{x} \leqslant \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^2.

2. En déduire un encadrement de f(x).

3. En déduire la limite de f en +\infty.

79

[Chercher.]
On souhaite déterminer la limite de la fonction f : x \rightarrow \dfrac{4x + 5}{2 + \cos(x)} lorsque x tend vers +\infty et lorsque x tend vers -\infty.

1. a. Justifier que, pour tout x \in \left[-\dfrac{5}{4} \:; +\infty\right[ , \dfrac{4x + 5}{3} \leqslant f(x).

b. En déduire \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} f(x) .

2. L'inégalité démontrée en question 1. a. n'est plus valable au voisinage de -\infty.
Utiliser alors une autre inégalité vérifiée par la fonction f sur \left]-\infty \:; - \dfrac{5}{4}\right] pour déterminer sa limite en -3.

80

[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur [0 \:; +\infty[ par :

1. Montrer que, pour tout x \in [0 \:; +\infty[ ,

f(x) = \dfrac{2}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x}}.

2. Montrer que \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} \sqrt{x + 2} = +\infty.

3. En déduire la limite de f en +\infty.

81

[Raisonner.]
Pour chacune des fonctions suivantes :

• déterminer son ensemble de définition ;
• en utilisant la même méthode que dans l'exercice précédent, déterminer la limite en +\infty.

1. f : x \rightarrow \sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2}

2. g : x \rightarrow \sqrt{3x} - \sqrt{3x + 4}

82

[Raisonner.]
On se propose de démontrer le théorème des gendarmes en +\infty. On considère donc trois fonctions f, g et h définies sur un intervalle \text{I} de la forme \text{I} = ]\text{A}\: ; +\infty[, où \text{A} peut être un réel ou -\infty. On suppose que, pour tout x \in \text{I}, g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x) et que g et h ont la même limite \ell en +\infty.

1. Soit \epsilon > 0. Expliquer pourquoi il existe m_1 tel que, pour tout x \in \text{I}, si x > m_1, alors \ell - \varepsilon < g(x) < \ell \; + \varepsilon.

2. Faire de même avec h.

3. Démontrer alors que \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty}} f(x) = \ell.

83

[Calculer.]
1. a. Démontrer que, pour tout réel x > 0, \mathrm{e}^{3x+2} > \mathrm{e}^x.

b. En déduire alors la limite de \mathrm{e}^{3x+2} en +\infty.

2. Calculer de la même façon la limite des expressions suivantes en +\infty.
a. \mathrm{e}^{2x-1}

b. \dfrac{2}{\mathrm{e}^{5x-3}}

c. \mathrm{e}^{-4x-1}

84

[Calculer.]
Déterminer la limite de chaque fonction lorsque x tend vers a.

1. f : x \rightarrow x^2\mathrm{e}^x + x - 1 \;; a = -\infty

2. g : x \rightarrow \mathrm{e}^{-x} + x^2 - x \;; a = +\infty

3. h : x \rightarrow x^2\mathrm{e}^{-x} + x - 1 \;; a = +\infty

4. k : x \rightarrow \dfrac{\mathrm{e}^x - x}{\mathrm{e}^x + 1} \;; a = +\infty

5. \ell : x \rightarrow \dfrac{\mathrm{e}^{2x} - x^3\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + x} \;; a = +\infty

85

[Calculer.]
Déterminer les limites suivantes.

1. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} [\mathrm{e}^x (x^3 - 2x^2 + 1)]

2. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} \dfrac{\mathrm{e}^x + 1}{x^2}

3. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x} - 2x - 5)

86

[Calculer.]
Déterminer les limites suivantes.

1. \lim\limits_{\substack{ x \to -\infty }} \dfrac{x + 1}{\mathrm{e}^x + 3}

2. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} \dfrac{x + 1}{\mathrm{e}^x + 3}

3. \lim\limits_{\substack{ x \to -\infty }} \dfrac{x\mathrm{e}^x + 2\mathrm{e}^{x} - 5}{e^{2x} - 3}

4. \lim\limits_{\substack{ x \to +\infty }} \dfrac{x\mathrm{e}^x + 2\mathrm{e}^{x} - 5}{\mathrm{e}^{2x} - 3}