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Algèbre
P.445-446

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Algèbre

Rappels de première



Second degré


Une fonction définie sur est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois réels , et avec non nul tels que, pour tout , . La courbe représentative de est une parabole tournée vers le haut si et vers le bas si .

Exemple

est une fonction polynôme du second degré avec , et . Sa parabole est tournée vers le bas car


La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré est avec et .
Le point est le sommet de la parabole.
Le tableau de variations de s’obtient à partir de et de .

Tableau de variations

Exemple




Ainsi et et donc le tableau de variations de est le suivant.

Tableau de variations


On appelle racine de toute solution de l’équation .
Le discriminant de est .
Le nombre de racines de dépend du signe de .
  • Si , a deux racines réelles distinctes et avec et .
    On a, pour tout , (forme factorisée).
  • Si , a une racine réelle , dite racine double :
    On a, pour tout , (forme factorisée).
  • Si , n’a pas de racine réelle et n’est pas factorisable sur

Graphiquement, les racines de correspondent aux abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

Exemple


On a , et .
donc .
admet alors deux racines distinctes : et .
Pour tout , on a donc .
Les points d’intersection de la parabole représentant avec l’axe des abscisses ont donc pour coordonnées et .


Pour étudier le signe d’un polynôme du second degré, on commence par chercher ses racines.
Le signe de est le même que celui de , sauf entre les racines et lorsqu’elles existent (où est alors du signe opposé à ).

Exemple


On a , et .
donc .
admet alors deux racines distinctes : et .
Comme , est négative sur et positive sur .

tableau de variation


Pour s'exercer


1
Dresser le tableau de variations de la fonction définie sur par .

Couleurs
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Pour s'exercer


2
Dresser le tableau de signes de la fonction définie sur par .

Couleurs
Formes
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Pour s'exercer


3
On considère la fonction définie sur par .
1. Dresser le tableau de signes de .

Couleurs
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2. Résoudre sur l’équation .
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