Rappels de première

► Une fonction définie sur $\mathbb{R}$ est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $a$ non nul tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=a x^{2}+b x+c$. La courbe représentative de $f$ est une parabole tournée vers le haut si $a \gt 0$ et vers le bas si $a \lt 0$.

Exemple

$f(x) = -x^{2} + 2x + 3$ est une fonction polynôme du second degré avec $a = -1$, $b = 2$ et $c = 3$. Sa parabole est tournée vers le bas car $a = -1.$

► La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré $f$ est $f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2 a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
Le point $\mathrm{S}(\alpha \: ; \beta)$ est le sommet de la parabole.
Le tableau de variations de $f$ s’obtient à partir de $a$ et de $\text{S}$.

Exemple

$f(x)=2 x^{2}-12 x+1$
$\alpha=-\dfrac{-12}{2 \times 2}=3$
$\beta=f(3)=2 \times 3^{2}-12 \times 3+1=-17$
Ainsi $f(x)=2(x-3)^{2}-17$ et $a = 2$ et $2 \gt 0$ donc le tableau de variations de $f$ est le suivant.

►On appelle racine de $f$ toute solution de l’équation $f(x) = 0$.
Le discriminant de $f$ est $\Delta=b^{2}-4 a c$.
Le nombre de racines de $f$ dépend du signe de $\Delta$.

• Si $\Delta\gt0$, $f$ a deux racines réelles distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ avec $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}$.
  On a, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$ (forme factorisée).
• Si $\Delta = 0$, $f$ a une racine réelle $x_{0}$, dite racine double : $x_{0}=-\dfrac{b}{2 a}.$
  On a, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=a\left(x-x_{0}\right)^{2}$ (forme factorisée).
• Si $\Delta \lt 0$, $f$ n’a pas de racine réelle et n’est pas factorisable sur $\R.$

Graphiquement, les racines de $f$ correspondent aux abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

Exemple

$f(x)=x^{2}-5 x+6$
On a $a = 1$, $b = -5$ et $c = 6$.
$\Delta=(-5)^{2}-4 \times 1 \times 6=1$ donc $\Delta \gt 0$.
$f$ admet alors deux racines distinctes : $x_{1}=\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2 \times 1}=2$ et $x_{2}=\dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2 \times 1}=3$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a donc $f(x)=1(x-2)(x-3)=(x-2)(x-3)$.
Les points d’intersection de la parabole représentant $f$ avec l’axe des abscisses ont donc pour coordonnées $(2 \:; 0)$ et $(3 \:; 0)$.

► Pour étudier le signe d’un polynôme $f$ du second degré, on commence par chercher ses racines.
Le signe de $f$ est le même que celui de $a$, sauf entre les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ lorsqu’elles existent (où $f$ est alors du signe opposé à $a$).

Exemple

$f(x)=-x^{2}+7 x-6$
On a $a = -1$, $b = 7$ et $c = -6$.
$\Delta=7^{2}-4 \times(-1) \times(-6)=25$ donc $\Delta \gt 0$.
$f$ admet alors deux racines distinctes : $x_{1}=\dfrac{-7-\sqrt{25}}{2 \times(-1)}=6$ et $x_{2}=\dfrac{-7+\sqrt{25}}{2 \times(-1)}=1$.
Comme $a \lt 0$, $f$ est négative sur $]-\infty \, ; 1[\;\cup\;] 6 \,;+\infty[$ et positive sur $]1 \,; 6[$.

Pour s'exercer

1

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-3 x^{2}-18 x+5$.

Pour s'exercer

2

Dresser le tableau de signes de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=2 x^{2}-20 x+42$.

Pour s'exercer

3

On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=-2 x^{2}+6 x+8$.
1. Dresser le tableau de signes de $h$.


2. Résoudre sur $\R$ l’équation $h(x) \leqslant 8$.