Mathématiques Terminale Spécialité

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Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
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Ch. 4
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Ch. 5
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Ch. 8
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Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
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Ch. 12
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Ch. 14
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Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de première

Algèbre

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Second degré

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Une fonction définie sur est une fonction polynôme du second degré s'il existe trois réels , et avec non nul tels que, pour tout , . La courbe représentative de est une parabole tournée vers le haut si et vers le bas si .
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Exemple


est une fonction polynôme du second degré avec , et . Sa parabole est tournée vers le bas car
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La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré est avec et .
Le point est le sommet de la parabole.
Le tableau de variations de s'obtient à partir de et de .

Tableau de variations
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Exemple





Ainsi et et donc le tableau de variations de est le suivant.

Tableau de variations
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On appelle racine de toute solution de l'équation .
Le discriminant de est .
Le nombre de racines de dépend du signe de .
  • Si , a deux racines réelles distinctes et avec et .
    On a, pour tout , (forme factorisée).
  • Si , a une racine réelle , dite racine double :
    On a, pour tout , (forme factorisée).
  • Si , n'a pas de racine réelle et n'est pas factorisable sur

Graphiquement, les racines de correspondent aux abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
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Exemple



On a , et .
donc .
admet alors deux racines distinctes : et .
Pour tout , on a donc .
Les points d'intersection de la parabole représentant avec l'axe des abscisses ont donc pour coordonnées et .
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Pour étudier le signe d'un polynôme du second degré, on commence par chercher ses racines.
Le signe de est le même que celui de , sauf entre les racines et lorsqu'elles existent (où est alors du signe opposé à ).
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Exemple



On a , et .
donc .
admet alors deux racines distinctes : et .
Comme , est négative sur et positive sur .

tableau de variation
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Pour s'exercer
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1
Dresser le tableau de variations de la fonction définie sur par .

Dessinez ici
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2
Dresser le tableau de signes de la fonction définie sur par .

Dessinez ici
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3
On considère la fonction définie sur par .
1. Dresser le tableau de signes de .

Dessinez ici

2. Résoudre sur l'équation .

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