Une fonction définie sur \mathbb{R} est une fonction polynôme du second degré s'il existe trois réels a, b et c avec a non nul tels que, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=a x^{2}+b x+c. La courbe représentative de f est une parabole tournée vers le haut si a \gt 0 et vers le bas si a \lt 0.

Exemple

f(x) = -x^{2} + 2x + 3 est une fonction polynôme du second degré avec a = -1, b = 2 et c = 3. Sa parabole est tournée vers le bas car a = -1.

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré f est f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta avec \alpha=-\frac{b}{2 a} et \beta=f(\alpha).
Le point \mathrm{S}(\alpha \: ; \beta) est le sommet de la parabole.
Le tableau de variations de f s'obtient à partir de a et de \text{S}.

Exemple

f(x)=2 x^{2}-12 x+1
\alpha=-\frac{-12}{2 \times 2}=3
\beta=f(3)=2 \times 3^{2}-12 \times 3+1=-17
Ainsi f(x)=2(x-3)^{2}-17 et a = 2 et 2 \gt 0 donc le tableau de variations de f est le suivant.

On appelle racine de f toute solution de l'équation f(x) = 0.
Le discriminant de f est \Delta=b^{2}-4 a c.
Le nombre de racines de f dépend du signe de \Delta.

• Si \Delta\gt0, f a deux racines réelles distinctes x_{1} et x_{2} avec x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.
  On a, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) (forme factorisée).
• Si \Delta = 0, f a une racine réelle x_{0}, dite racine double : x_{0}=-\frac{b}{2 a}.
  On a, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=a\left(x-x_{0}\right)^{2} (forme factorisée).
• Si \Delta \lt 0, f n'a pas de racine réelle et n'est pas factorisable sur \R.

Graphiquement, les racines de f correspondent aux abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.

Exemple

f(x)=x^{2}-5 x+6
On a a = 1, b = -5 et c = 6.
\Delta=(-5)^{2}-4 \times 1 \times 6=1 donc \Delta \gt 0.
f admet alors deux racines distinctes : x_{1}=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2 \times 1}=2 et x_{2}=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2 \times 1}=3.
Pour tout x \in \mathbb{R}, on a donc f(x)=1(x-2)(x-3)=(x-2)(x-3).
Les points d'intersection de la parabole représentant f avec l'axe des abscisses ont donc pour coordonnées (2 \:; 0) et (3 \:; 0).

Pour étudier le signe d'un polynôme f du second degré, on commence par chercher ses racines.
Le signe de f est le même que celui de a, sauf entre les racines x_{1} et x_{2} lorsqu'elles existent (où f est alors du signe opposé à a).

Exemple

f(x)=-x^{2}+7 x-6
On a a = -1, b = 7 et c = -6.
\Delta=7^{2}-4 \times(-1) \times(-6)=25 donc \Delta \gt 0.
f admet alors deux racines distinctes : x_{1}=\frac{-7-\sqrt{25}}{2 \times(-1)}=6 et x_{2}=\frac{-7+\sqrt{25}}{2 \times(-1)}=1.
Comme a \lt 0, f est négative sur ]-\infty \, ; 1[\;\cup\;] 6 \,;+\infty[ et positive sur ]1 \,; 6[.