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Algèbre
P.445-446

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Rappels de première



Second degré


Une fonction définie sur R\mathbb{R} est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois réels aa, bb et cc avec aa non nul tels que, pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^{2}+b x+c. La courbe représentative de ff est une parabole tournée vers le haut si a>0a \gt 0 et vers le bas si a<0a \lt 0.

Exemple

f(x)=x2+2x+3f(x) = -x^{2} + 2x + 3 est une fonction polynôme du second degré avec a=1a = -1, b=2b = 2 et c=3c = 3. Sa parabole est tournée vers le bas car a=1.a = -1.


La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré ff est f(x)=a(xα)2+βf(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta avec α=b2a\alpha=-\dfrac{b}{2 a} et β=f(α)\beta=f(\alpha).
Le point S(α;β)\mathrm{S}(\alpha \: ; \beta) est le sommet de la parabole.
Le tableau de variations de ff s’obtient à partir de aa et de S\text{S}.

Tableau de variations

Exemple

f(x)=2x212x+1f(x)=2 x^{2}-12 x+1
α=122×2=3\alpha=-\dfrac{-12}{2 \times 2}=3
β=f(3)=2×3212×3+1=17\beta=f(3)=2 \times 3^{2}-12 \times 3+1=-17
Ainsi f(x)=2(x3)217f(x)=2(x-3)^{2}-17 et a=2a = 2 et 2>02 \gt 0 donc le tableau de variations de ff est le suivant.

Tableau de variations


On appelle racine de ff toute solution de l’équation f(x)=0f(x) = 0.
Le discriminant de ff est Δ=b24ac\Delta=b^{2}-4 a c.
Le nombre de racines de ff dépend du signe de Δ\Delta.
  • Si Δ>0\Delta\gt0, ff a deux racines réelles distinctes x1x_{1} et x2x_{2} avec x1=bΔ2ax_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} et x2=b+Δ2ax_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a}.
    On a, pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=a(xx1)(xx2)f(x)=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) (forme factorisée).
  • Si Δ=0\Delta = 0, ff a une racine réelle x0x_{0}, dite racine double : x0=b2a.x_{0}=-\dfrac{b}{2 a}.
    On a, pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=a(xx0)2f(x)=a\left(x-x_{0}\right)^{2} (forme factorisée).
  • Si Δ<0\Delta \lt 0, ff n’a pas de racine réelle et n’est pas factorisable sur R.\R.

Graphiquement, les racines de ff correspondent aux abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

Exemple

f(x)=x25x+6f(x)=x^{2}-5 x+6
On a a=1a = 1, b=5b = -5 et c=6c = 6.
Δ=(5)24×1×6=1\Delta=(-5)^{2}-4 \times 1 \times 6=1 donc Δ>0\Delta \gt 0.
ff admet alors deux racines distinctes : x1=(5)12×1=2x_{1}=\dfrac{-(-5)-\sqrt{1}}{2 \times 1}=2 et x2=(5)+12×1=3x_{2}=\dfrac{-(-5)+\sqrt{1}}{2 \times 1}=3.
Pour tout xRx \in \mathbb{R}, on a donc f(x)=1(x2)(x3)=(x2)(x3)f(x)=1(x-2)(x-3)=(x-2)(x-3).
Les points d’intersection de la parabole représentant ff avec l’axe des abscisses ont donc pour coordonnées (2;0)(2 \:; 0) et (3;0)(3 \:; 0).


Pour étudier le signe d’un polynôme ff du second degré, on commence par chercher ses racines.
Le signe de ff est le même que celui de aa, sauf entre les racines x1x_{1} et x2x_{2} lorsqu’elles existent (où ff est alors du signe opposé à aa).

Exemple

f(x)=x2+7x6f(x)=-x^{2}+7 x-6
On a a=1a = -1, b=7b = 7 et c=6c = -6.
Δ=724×(1)×(6)=25\Delta=7^{2}-4 \times(-1) \times(-6)=25 donc Δ>0\Delta \gt 0.
ff admet alors deux racines distinctes : x1=7252×(1)=6x_{1}=\dfrac{-7-\sqrt{25}}{2 \times(-1)}=6 et x2=7+252×(1)=1x_{2}=\dfrac{-7+\sqrt{25}}{2 \times(-1)}=1.
Comme a<0a \lt 0, ff est négative sur ];1[    ]6;+[]-\infty \, ; 1[\;\cup\;] 6 \,;+\infty[ et positive sur ]1;6[]1 \,; 6[.

tableau de variation


Pour s'exercer


1
Dresser le tableau de variations de la fonction ff définie sur R\R par f(x)=3x218x+5f(x)=-3 x^{2}-18 x+5.

Couleurs
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Pour s'exercer


2
Dresser le tableau de signes de la fonction gg définie sur R\R par g(x)=2x220x+42g(x)=2 x^{2}-20 x+42.

Couleurs
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Pour s'exercer


3
On considère la fonction hh définie sur R\R par h(x)=2x2+6x+8h(x)=-2 x^{2}+6 x+8.
1. Dresser le tableau de signes de hh.

Couleurs
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2. Résoudre sur R\R l’équation h(x)8h(x) \leqslant 8.
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