Une fonction définie sur $\mathbb{R}$ est une fonction polynôme du second degré s'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $a$ non nul tels que, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=a{x}^2+bx+c$. La courbe représentative de $f$ est une parabole tournée vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.

Exemple

$f(x)=-x^2+2x+3$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-1$, $b=2$ et $c=3$. Sa parabole est tournée vers le bas car $a=-1.$

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré $f$ est $f(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta$ avec $\alpha =-\frac{b}{2a}$ et $\beta =f(\alpha )$.
Le point $\mathrm{S}(\alpha ;\beta )$ est le sommet de la parabole.
Le tableau de variations de $f$ s'obtient à partir de $a$ et de $\text{S}$.

Exemple

$f(x)=2x^2-12x+1$
$\alpha =-\frac{-12}{2\times 2}=3$
$\beta =f(3)=2\times 3^2-12\times 3+1=-17$
Ainsi $f(x)=2(x-3{)}^2-17$ et $a=2$ et $2>0$ donc le tableau de variations de $f$ est le suivant.

On appelle racine de $f$ toute solution de l'équation $f(x)=0$.
Le discriminant de $f$ est $\Delta =b^2-4ac$.
Le nombre de racines de $f$ dépend du signe de $\Delta$.

• Si $\Delta >0$, $f$ a deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ avec $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$.
  On a, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ (forme factorisée).
• Si $\Delta =0$, $f$ a une racine réelle $x_0$, dite racine double : $x_0=-\frac{b}{2a}.$
  On a, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=a{\left(x-x_0\right)}^2$ (forme factorisée).
• Si $\Delta <0$, $f$ n'a pas de racine réelle et n'est pas factorisable sur $\mathbb{R}.$

Graphiquement, les racines de $f$ correspondent aux abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.

Exemple

$f(x)=x^2-5x+6$
On a $a=1$, $b=-5$ et $c=6$.
$\Delta =(-5{)}^2-4\times 1\times 6=1$ donc $\Delta >0$.
$f$ admet alors deux racines distinctes : $x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times 1}=2$ et $x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times 1}=3$.
Pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a donc $f(x)=1(x-2)(x-3)=(x-2)(x-3)$.
Les points d'intersection de la parabole représentant $f$ avec l'axe des abscisses ont donc pour coordonnées $(2;0)$ et $(3;0)$.

Pour étudier le signe d'un polynôme $f$ du second degré, on commence par chercher ses racines.
Le signe de $f$ est le même que celui de $a$, sauf entre les racines $x_1$ et $x_2$ lorsqu'elles existent (où $f$ est alors du signe opposé à $a$).

Exemple

$f(x)=-x^2+7x-6$
On a $a=-1$, $b=7$ et $c=-6$.
$\Delta =7^2-4\times (-1)\times (-6)=25$ donc $\Delta >0$.
$f$ admet alors deux racines distinctes : $x_1=\frac{-7-\sqrt{25}}{2\times (-1)}=6$ et $x_2=\frac{-7+\sqrt{25}}{2\times (-1)}=1$.
Comme $a<0$, $f$ est négative sur $]-\infty ;1[\cup ]6;+\infty [$ et positive sur $]1;6[$.