► Une fonction définie sur R est une fonction polynôme du second degré s’il existe trois réels a, b et c avec a non nul tels que, pour tout x∈R, f(x)=ax2+bx+c. La courbe représentative de f est une parabole tournée vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0.
Exemple
f(x)=−x2+2x+3 est une fonction
polynôme du second degré avec a=−1, b=2 et c=3.
Sa parabole est tournée vers le bas car a=−1.
► La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré f est f(x)=a(x−α)2+β avec α=−2ab et β=f(α).
Le point S(α;β) est le sommet de la parabole.
Le tableau de variations de f s’obtient à partir de a et de S.
Exemple
f(x)=2x2−12x+1 α=−2×2−12=3 β=f(3)=2×32−12×3+1=−17
Ainsi f(x)=2(x−3)2−17 et a=2 et 2>0 donc le tableau de variations de f est le suivant.
►On appelle racine de f toute solution de l’équation f(x)=0.
Le discriminant de f est Δ=b2−4ac.
Le nombre de racines de f dépend du signe de Δ.
Si Δ>0, f a deux racines réelles distinctes x1 et x2 avec x1=2a−b−Δ et x2=2a−b+Δ.
On a, pour tout x∈R, f(x)=a(x−x1)(x−x2) (forme factorisée).
Si Δ=0, f a une racine réelle x0, dite racine double : x0=−2ab.
On a, pour tout x∈R, f(x)=a(x−x0)2 (forme factorisée).
Si Δ<0, f n’a pas de racine réelle et n’est pas factorisable sur R.
Graphiquement, les racines de f correspondent aux abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.
Exemple
f(x)=x2−5x+6
On a a=1, b=−5 et c=6. Δ=(−5)2−4×1×6=1 donc Δ>0. f admet alors deux racines distinctes :
x1=2×1−(−5)−1=2 et x2=2×1−(−5)+1=3.
Pour tout x∈R, on a donc
f(x)=1(x−2)(x−3)=(x−2)(x−3).
Les points d’intersection de la parabole représentant f avec l’axe des abscisses ont donc pour coordonnées (2;0) et (3;0).
► Pour étudier le signe d’un polynôme f du second degré, on commence par chercher ses racines.
Le signe de f est le même que celui de a, sauf entre les racines x1 et x2 lorsqu’elles existent (où f est alors du signe opposé à a).
Exemple
f(x)=−x2+7x−6
On a a=−1, b=7 et c=−6. Δ=72−4×(−1)×(−6)=25 donc Δ>0. f admet alors deux racines distinctes :
x1=2×(−1)−7−25=6 et x2=2×(−1)−7+25=1.
Comme a<0, f est négative sur
]−∞;1[∪]6;+∞[ et positive sur ]1;6[.
Pour s'exercer
1
Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par f(x)=−3x2−18x+5.
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Pour s'exercer
2
Dresser le tableau de signes de la fonction g définie sur R par g(x)=2x2−20x+42.
Couleurs
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Pour s'exercer
3
On considère la fonction h définie sur R par h(x)=−2x2+6x+8.
1. Dresser le tableau de signes de h.
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2. Résoudre sur R l’équation h(x)⩽8.
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