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Analyse
P.447-448

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Rappels de première



Suites numériques


Une suite est définie explicitement lorsque l’on peut calculer n’importe quel terme directement en fonction de , autrement dit lorsque l’on a une expression du terme en fonction de , soit .

Exemple

Pour tout entier naturel , .
On a .


Une suite est définie par récurrence lorsqu’elle est définie par son premier terme et une relation permettant de calculer un terme à partir du précédent, autrement dit lorsque l’on a une expression de en fonction de , soit .

Exemple

et, pour tout entier naturel , .
On a .


Une suite est arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel , appelé raison, tel que, pour tout entier naturel ,
Alors, pour tous entiers naturels et , .
En particulier, et .
Une suite arithmétique de raison est croissante si, et seulement si, . Elle est décroissante si, et seulement si, . Elle est constante si, et seulement si, .
Pour tout , .

Exemple

Soit une suite arithmétique de raison et de premier terme .
Alors est croissante puisque et, pour tout entier naturel , .
Par exemple,


Une suite est géométrique lorsqu’il existe un nombre réel , appelé raison, tel que, pour tout entier naturel , .
Alors, pour tous entiers naturels et , .
En particulier, et .
Soit une suite géométrique à termes strictement positifs. Alors est croissante si, et seulement si, . Elle est décroissante si, et seulement si, . Elle est constante si, et seulement si, .
Si , alors, pour tout , .

Exemple

Soit une suite géométrique de raison et de premier terme .
Alors est décroissante et, pour tout entier naturel .
Par exemple, .


Pour s'exercer


4
Soit une suite arithmétique de raison et de premier terme .

1. Pour , exprimer en fonction de .

2. Calculer .

3. Calculer .
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Pour s'exercer


5
Soit une suite géométrique de raison et de premier terme .

1. Pour tout entier , exprimer en fonction de .

2. Calculer .

3. Calculer .
Voir les réponses

Pour s'exercer


6
On définit deux suites et sur par et .

1. Montrer que est une suite géométrique.

2. Montrer que, pour tout , .
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Dérivation


Une fonction définie sur un intervalle est dérivable en si existe et est un nombre réel qu’on appelle nombre dérivé de en et qu’on note .
Graphiquement, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse .
La tangente à la courbe représentative de en est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si,
Cette tangente est la droite d’équation .

Exemple

Soit la fonction définie sur par .
et .
Donc est dérivable en et .
Comme , la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse a pour équation .


Soit un nombre réel.

 Fonction  Dérivable sur  Dérivée
0
avec
En particulier :



En particulier :


avec
En particulier :

En particulier :



Exemples

1. Si alors avec

2. Si alors avec

3. Si alors avec

4. Si alors avec


Soient , et des fonctions dérivables sur un intervalle . Soient , et trois nombres réels.

 Opération  Fonction  Dérivée
Somme
Produit

Inverse avec qui ne s’annule pas sur
Quotient avec qui ne s’annule pas sur
Composée avec une fonction affine

Exemples

1. Si alors, pour tout , .

2. Si alors, pour tout , .

3. Si alors, pour tout non nul,


4. Soit . Alors, en posant , on a .
Pour tout , donc .


Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
  • est (strictement) croissante sur si, et seulement si, est (strictement) positive sur .
  • est (strictement) décroissante sur si, et seulement si, est (strictement) négative sur .
  • est constante sur si, et seulement si, est nulle sur .
admet un extremum local en si, et seulement si, sa dérivée s’annule en changeant de signe en .

Exemple

Soit la fonction définie sur par
Alors est dérivable et, pour tout ,
est une fonction polynôme du second degré.
On recherche ses racines : et
admet deux racines réelles : et
donc on en déduit le tableau suivant.

Tableau de variations -  Dérivation - Rappels de première

Avec et


Pour s'exercer


7
Soit une fonction définie sur dont on donne la représentation graphique dans le repère ci-dessous. On a représenté la tangente à au point d’abscisse . Cette tangente passe par le point .

Représentation graphique - Dérivation - Rappels de première

1. Déterminer graphiquement .

2. Déterminer l’équation réduite de la tangente .
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Pour s'exercer


8
Pour chacune des fonctions suivantes :
  • déterminer l’ensemble de définition ;
  • déterminer l’ensemble de dérivabilité ;
  • déterminer la fonction dérivée.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

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Pour s'exercer


9
Étudier les variations de la fonction définie sur par .

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Pour s'exercer


10
Étudier les variations de la fonction définie sur par .

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Exponentielle


La fonction exponentielle, notée , est l’unique fonction définie et dérivable sur égale à sa dérivée et vérifiant Elle est strictement positive et strictement croissante sur
En particulier, quels que soient les réels et :

Exemple



Pour tous réels et et pour tout entier relatif , on a
; ; et

Exemple



Soit une fonction définie sur par et sont des réels. Alors est dérivable sur et, pour tout réel ,
En particulier, pour tout réel ,

Exemple

Soit la fonction définie sur par .
Alors est dérivable et, pour tout ,


Pour s'exercer


11
Simplifier l’expression suivante définie pour tout réel .

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Pour s'exercer


12
Résoudre dans l’inéquation .

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Pour s'exercer


13
On considère la fonction définie sur par
1. Montrer que pour tout , .


2. Étudier les variations de sur .
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