Rappels de première

► Une suite $(u_n)$ est définie explicitement lorsque l’on peut calculer n’importe quel terme directement en fonction de $n$, autrement dit lorsque l’on a une expression du terme $u_n$ en fonction de $n$, soit $u_n=f(n)$.

Exemple

Pour tout entier naturel $n$, $u_n=2n-3$.
On a $u_{10}=2\times 10-3=17$.

► Une suite $(u_n)$ est définie par récurrence lorsqu’elle est définie par son premier terme $u_0$ et une relation permettant de calculer un terme à partir du précédent, autrement dit lorsque l’on a une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, soit $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

Exemple

$u_0=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2u_n-3$.
On a $u_1=2\times u_0-3=2\times 5-3=7$.

► Une suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel $r$, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r.$
Alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$.
En particulier, $u_n=u_0+nr$ et $u_n=u_1+(n-1)r$.
Une suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r$ est croissante si, et seulement si, $r>0$. Elle est décroissante si, et seulement si, $r<0$. Elle est constante si, et seulement si, $r=0$.
Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

Exemple

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison $7$ et de premier terme $u_0=5$.
Alors $\left(u_n\right)$ est croissante puisque $r=7$ et, pour tout entier naturel $n⩾0$, $u_n=5+7n$.
Par exemple, $u_{10}=5+7\times 10=75$
$\begin{array}{l}{u}_0+u_1+u_2+\cdots +u_{20}\\ =5+12+19+\dots +145\\ =5+5+7\times 1+5+7\times 2+\dots +5+7\times 20\\ =5\times 21+7(1+2+\dots +20)\\ =105+7\times \frac{20\times 21}{2}=1575\end{array}$

► Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu’il existe un nombre réel $q$, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$.
Alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$.
En particulier, $u_n=u_0\times q^n$ et $u_n=u_1\times q^{n-1}$.
Soit $(u_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs. Alors $(u_n)$ est croissante si, et seulement si, $q>1$. Elle est décroissante si, et seulement si, $0<q<1$. Elle est constante si, et seulement si, $q=1$.
Si $q\ne 1$, alors, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1+q+q^2+\dots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Exemple

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $u_0=100$.
Alors $(u_n)$ est décroissante et, pour tout entier naturel $n⩾0,u_n=100\times 0,9^n$.
Par exemple, $u_5=100\times 0,9^5=59,049$.
$\begin{array}{l}{u}_0+u_1+u_2+\cdots +u_5\\ =100+100\times 0,9+100\times 0,9^2+\dots +100\times 0,9^5\\ =100\left(1+0,9+0,9^2+\dots +0,9^5\right)\\ =100\times \frac{1-0,9^6}{1-0,9}=468,559\end{array}$

Pour s'exercer

4

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_0=5$.

1. Pour $n\in \mathbb{N}$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

2. Calculer $u_{20}$.

3. Calculer $u_0+u_1+\dots +u_{20}$.

Pour s'exercer

5

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_1=3$.

1. Pour tout entier $n>0$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

2. Calculer $v_{12}$.

3. Calculer $v_1+v_2+\dots +v_{12}$.

Pour s'exercer

6

On définit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sur $\mathbb{N}$ par $\{\begin{array}{c}{u}_0=10\\ u_{n+1}=0,8u_n+1\end{array}$ et $v_n=u_n-5$.

1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.

2. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n=5\times \left(0,8^n+1\right)$.

► Une fonction $f$ définie sur un intervalle $\text{I}$ est dérivable en $a\in \text{I}$ si $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est un nombre réel qu’on appelle nombre dérivé de $f$ en $a$ et qu’on note $f^{\prime }(a)$.
Graphiquement, $f^{\prime }(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ en $a$ est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si, $f^{\prime }(a)=0.$
Cette tangente est la droite d’équation $y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.
${\tau }_h(1)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h{)}^2-1^2}{h}=\frac{h^2+2h}{h}=h+2$ et $\underset{h\to 0}{\lim }{\tau }_h(1)=2$.
Donc $f$ est dérivable en $1$ et $f^{\prime }(1)=2$.
Comme $f(1)=1^2=1$, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ a pour équation $y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1$.

► Soit $k$ un nombre réel.

Exemples

1. Si $f(x)=3x^2$ alors $f^{\prime }(x)=6x$ avec $x\in \mathbb{R}.$

2. Si $g(x)=-\frac{2}{x^3}$ alors $g^{\prime }(x)=\frac{6}{x^4}$ avec $x\ne 0.$

3. Si $h(x)=3\sqrt{x}$ alors $h^{\prime }(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}$ avec $x>0.$

4. Si $k(x)=-\frac{2}{3}\cos (x)$ alors $k^{\prime }(x)=\frac{2}{3}\sin (x)$ avec $x\in \mathbb{R}.$

►Soient $u$, $v$ et $g$ des fonctions dérivables sur un intervalle $\text{I}$. Soient $k$, $a$ et $b$ trois nombres réels.

Exemples

1. Si $f(x)=2x^3-4x^2+5x-1$ alors, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=6x^2-8x+5$.

2. Si $g(x)=3x{\mathrm{e}}^x$ alors, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $g^{\prime }(x)=3\times {\mathrm{e}}^x+3x\times {\mathrm{e}}^x=(3+3x){\mathrm{e}}^x$.

3. Si $h(x)=\frac{2x^2+3}{x}$ alors, pour tout $x$ non nul,
$h^{\prime }(x)=\frac{4x\times x-\left(2x^2+3\right)\times 1}{x^2}=\frac{4x^2-2x^2-3}{x^2}=\frac{2x^2-3}{x^2}$

4. Soit $k(x)=(2x+1{)}^3$. Alors, en posant $g(x)=x^3$, on a $k(x)=g(2x+1)$.
Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $g^{\prime }(x)=3x^2$ donc $k^{\prime }(x)=6(2x+1{)}^2$.

► Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $\text{I}$.

• $f$ est (strictement) croissante sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f^{\prime }$ est (strictement) positive sur $\text{I}$.
• $f$ est (strictement) décroissante sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f^{\prime }$ est (strictement) négative sur $\text{I}$.
• $f$ est constante sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f^{\prime }$ est nulle sur $\text{I}$.

$f$ admet un extremum local en $x_0$ si, et seulement si, sa dérivée s’annule en changeant de signe en $x_0$.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-9x^2+24x-3.$
Alors $f$ est dérivable et, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f^{\prime }(x)=3x^2-18x+24.$
$f^{\prime }$ est une fonction polynôme du second degré.
On recherche ses racines : $\Delta =(-18{)}^2-4\times 3\times 24=36$ et $\Delta >0.$
$f^{\prime }$ admet deux racines réelles : $x_1=\frac{18-\sqrt{36}}{2\times 3}=2$ et $x_2=\frac{18+\sqrt{36}}{2\times 3}=4.$
$a>0$ donc on en déduit le tableau suivant.

Avec $f(2)=2^3-9\times 2^2+24\times 2-3=17$ et $f(4)=13.$

Pour s'exercer

7

Soit $f$ une fonction définie sur $[-4;+\infty [$ dont on donne la représentation graphique ${\mathcal{C}}_f$ dans le repère $\text{(O; I , J)}$ ci-dessous. On a représenté la tangente $\text{T}$ à ${\mathcal{C}}_f$ au point d’abscisse $0$. Cette tangente passe par le point $\text{B}(1;4)$.

1. Déterminer graphiquement $f^{\prime }(0)$.

2. Déterminer l’équation réduite de la tangente $\text{T}$.

Pour s'exercer

8

Pour chacune des fonctions suivantes :

• déterminer l’ensemble de définition ;
• déterminer l’ensemble de dérivabilité ;
• déterminer la fonction dérivée.

1. $f:x\mapsto x^3+x^2$

2. $g:x\mapsto \sqrt{x}+x$

3. $h:x\mapsto \sqrt{x}\times x$

4. $k:x\mapsto \frac{1}{x^2+1}$

5. $\ell :x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x}{x-1}$

6. $m:x\mapsto 3(2x-1{)}^4$

Pour s'exercer

9

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^3+12x^2-21x+10$.

Pour s'exercer

10

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{2x+3}{x^2+1}$.

► La fonction exponentielle, notée $\text{exp}$, est l’unique fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ égale à sa dérivée et vérifiant ${\mathrm{e}}^0=1.$ Elle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}.$
En particulier, quels que soient les réels $x$ et $y$ :

• ${\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^y\iff x=y$
• ${\mathrm{e}}^x>{\mathrm{e}}^y\iff x>y$

Exemple

$\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^{2x-3}-{\mathrm{e}}^{x+1}⩽0& \iff {\mathrm{e}}^{2x-3}⩽{\mathrm{e}}^{x+1}\\ & \iff 2x-3⩽x+1\\ & \iff x⩽4\end{array}$

► Pour tous réels $x$ et $y$ et pour tout entier relatif $n$, on a
${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y$ ; ${\mathrm{e}}^{-x}=\frac{1}{{\mathrm{e}}^x}$ ; ${\mathrm{e}}^{x-y}=\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^y}$ et ${\mathrm{e}}^{nx}={\left({\mathrm{e}}^x\right)}^n.$

Exemple

$\frac{{\left({\mathrm{e}}^{3x+1}\right)}^2\times {\mathrm{e}}^2}{{\mathrm{e}}^{2x}}=\frac{{\mathrm{e}}^{(3x+1)\times 2+2}}{{\mathrm{e}}^{2x}}={\mathrm{e}}^{6x+4-2x}={\mathrm{e}}^{4x+4}$

► Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{ax+b}$ où $a$ et $b$ sont des réels. Alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=a{\mathrm{e}}^{ax+b}.$
En particulier, pour tout réel $k$, ${\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-x}.$

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{\mathrm{e}}^{-0,9x}$.
Alors $f$ est dérivable et, pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =1\times {\mathrm{e}}^{-0,9x}+x\times (-0,9){\mathrm{e}}^{-0,9x}\\ & =(1-0,9x){\mathrm{e}}^{-0,9x}.\end{array}$

Pour s'exercer

11

Simplifier l’expression suivante définie pour tout réel $x$.
$\mathrm{A}(x)={\left({\mathrm{e}}^{-2x+1}\right)}^3\times \frac{{\mathrm{e}}^{4x}\times {\mathrm{e}}^{x-2}}{{\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^3}$

Pour s'exercer

12

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $\frac{1}{{\mathrm{e}}^{4x+11}}-{\mathrm{e}}^{2x+1}>0$.

Pour s'exercer

13

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{2+{\mathrm{e}}^{0,5x}}{{\mathrm{e}}^{0,5x}}.$
1. Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=1+2{\mathrm{e}}^{-0,5x}$.


2. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.