Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de première

Analyse

Suites numériques

Une suite est définie explicitement lorsque l'on peut calculer n'importe quel terme directement en fonction de , autrement dit lorsque l'on a une expression du terme en fonction de , soit .

Exemple

Pour tout entier naturel , .
On a .
Une suite est définie par récurrence lorsqu'elle est définie par son premier terme et une relation permettant de calculer un terme à partir du précédent, autrement dit lorsque l'on a une expression de en fonction de , soit .

Exemple

et, pour tout entier naturel , .
On a .
Une suite est arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel , appelé raison, tel que, pour tout entier naturel , Alors, pour tous entiers naturels et , .
En particulier, et .
Une suite arithmétique de raison est croissante si, et seulement si, . Elle est décroissante si, et seulement si, . Elle est constante si, et seulement si, .
Pour tout , .

Exemple

Soit une suite arithmétique de raison et de premier terme .
Alors est croissante puisque et, pour tout entier naturel , .
Par exemple,
Une suite est géométrique lorsqu'il existe un nombre réel , appelé raison, tel que, pour tout entier naturel , . Alors, pour tous entiers naturels et , .
En particulier, et .
Soit une suite géométrique à termes strictement positifs. Alors est croissante si, et seulement si, . Elle est décroissante si, et seulement si, . Elle est constante si, et seulement si, .
Si , alors, pour tout , .

Exemple

Soit une suite géométrique de raison et de premier terme .
Alors est décroissante et, pour tout entier naturel .
Par exemple, .
Pour s'exercer
4
Soit une suite arithmétique de raison et de premier terme .

1. Pour , exprimer en fonction de .

2. Calculer .

3. Calculer .
5
Soit une suite géométrique de raison et de premier terme .

1. Pour tout entier , exprimer en fonction de .

2. Calculer .

3. Calculer .
6
On définit deux suites et sur par et .

1. Montrer que est une suite géométrique.

2. Montrer que, pour tout , .

Dérivation

Une fonction définie sur un intervalle est dérivable en si existe et est un nombre réel qu'on appelle nombre dérivé de en et qu'on note . Graphiquement, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse .
La tangente à la courbe représentative de en est parallèle à l'axe des abscisses si, et seulement si,
Cette tangente est la droite d'équation .

Exemple

Soit la fonction définie sur par .
et .
Donc est dérivable en et .
Comme , la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse a pour équation .
Soit un nombre réel.
 Fonction  Dérivable sur Dérivée
0
avec
En particulier :



En particulier :


avec
En particulier :

En particulier :


Exemple

1. Si alors avec

2. Si alors avec

3. Si alors avec

4. Si alors avec
Soient , et des fonctions dérivables sur un intervalle . Soient , et trois nombres réels.
 Opération Fonction Dérivée
Somme
Produit

Inverse avec qui ne s'annule pas sur
Quotient avec qui ne s'annule pas sur
Composée avec une fonction affine

Exemple

1. Si alors, pour tout , .

2. Si alors, pour tout , .

3. Si alors, pour tout non nul,


4. Soit . Alors, en posant , on a .
Pour tout , donc .
Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
  • est (strictement) croissante sur si, et seulement si, est (strictement) positive sur .
  • est (strictement) décroissante sur si, et seulement si, est (strictement) négative sur .
  • est constante sur si, et seulement si, est nulle sur .
admet un extremum local en si, et seulement si, sa dérivée s'annule en changeant de signe en .

Exemple

Soit la fonction définie sur par
Alors est dérivable et, pour tout ,
est une fonction polynôme du second degré.
On recherche ses racines : et
admet deux racines réelles : et
donc on en déduit le tableau suivant.

Tableau de variations -  Dérivation - Rappels de première
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits :

Avec et
Pour s'exercer
7
Soit une fonction définie sur dont on donne la représentation graphique dans le repère ci-dessous. On a représenté la tangente à au point d'abscisse . Cette tangente passe par le point .

Représentation graphique - Dérivation - Rappels de première
Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Déterminer graphiquement .

2. Déterminer l'équation réduite de la tangente .
8
Pour chacune des fonctions suivantes :
  • déterminer l'ensemble de définition ;
  • déterminer l'ensemble de dérivabilité ;
  • déterminer la fonction dérivée.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

9
Étudier les variations de la fonction définie sur par .

10
Étudier les variations de la fonction définie sur par .

Exponentielle

La fonction exponentielle, notée , est l'unique fonction définie et dérivable sur égale à sa dérivée et vérifiant Elle est strictement positive et strictement croissante sur En particulier, quels que soient les réels et :

Exemple

Pour tous réels et et pour tout entier relatif , on a ; ; et

Exemple

Soit une fonction définie sur par et sont des réels. Alors est dérivable sur et, pour tout réel , En particulier, pour tout réel ,

Exemple

Soit la fonction définie sur par .
Alors est dérivable et, pour tout ,
Pour s'exercer
11
Simplifier l'expression suivante définie pour tout réel .

12
Résoudre dans l'inéquation .

13
On considère la fonction définie sur