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P.447-448

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Rappels de première



Suites numériques


Une suite (un)(u_{n}) est définie explicitement lorsque l’on peut calculer n’importe quel terme directement en fonction de nn, autrement dit lorsque l’on a une expression du terme unu_{n} en fonction de nn, soit un=f(n)u_{n}=f(n).

Exemple

Pour tout entier naturel nn, un=2n3u_{n}=2 n-3.
On a u10=2×103=17u_{10}=2 \times 10-3=17.


Une suite (un)(u_{n}) est définie par récurrence lorsqu’elle est définie par son premier terme u0u_{0} et une relation permettant de calculer un terme à partir du précédent, autrement dit lorsque l’on a une expression de un+1u_{n+1} en fonction de unu_{n}, soit un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

Exemple

u0=5u_{0}=5 et, pour tout entier naturel nn, un+1=2un3u_{n+1}=2 u_{n}-3.
On a u1=2×u03=2×53=7u_{1}=2 \times u_{0}-3=2 \times 5-3=7.


Une suite (un)\left(u_{n}\right) est arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel rr, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel nn, un+1=un+r.u_{n+1}=u_{n}+r.
Alors, pour tous entiers naturels nn et pp, un=up+(np)ru_{n}=u_{p}+(n-p) r.
En particulier, un=u0+nru_{n}=u_{0}+n r et un=u1+(n1)ru_{n}=u_{1}+(n-1) r.
Une suite arithmétique (un)\left(u_{n}\right) de raison rr est croissante si, et seulement si, r>0r \gt 0. Elle est décroissante si, et seulement si, r<0r \lt 0. Elle est constante si, et seulement si, r=0r = 0.
Pour tout nNn \in \mathbb{N}, 1+2+3++n=n(n+1)21+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Exemple

Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison 77 et de premier terme u0=5u_{0} = 5.
Alors (un)\left(u_{n}\right) est croissante puisque r=7r = 7 et, pour tout entier naturel n0n \geqslant 0, un=5+7nu_{n}=5+7 n.
Par exemple, u10=5+7×10=75u_{10}=5+7 \times 10=75
u0+u1+u2++u20=5+12+19++145=5+5+7×1+5+7×2++5+7×20=5×21+7(1+2++20)=105+7×20×212=1575\begin{array}{l}u_{0}+{\color{red}u_{1}}+{\color{limegreen}u_{2}}+\cdots+{\color{blue}u_{20}} \\ =5+{\color{red}12}+{\color{limegreen}19}+\ldots+{\color{blue}145} \\ =5+{\color{red}5+7 \times 1}+{\color{limegreen}5+7 \times 2}+\ldots+{\color{blue}5+7 \times 20} \\ =5 \times 21+7({\color{red}1}+{\color{limegreen}2}+\ldots+{\color{blue}20}) \\ =105+7 \times \dfrac{20 \times 21}{2}=1\,575\end{array}


Une suite (un)(u_{n}) est géométrique lorsqu’il existe un nombre réel qq, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel nn, un+1=un×qu_{n+1}=u_{n} \times q.
Alors, pour tous entiers naturels nn et pp, un=up×qnpu_{n}=u_{p} \times q^{n-p}.
En particulier, un=u0×qnu_{n}=u_{0} \times q^{n} et un=u1×qn1u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}.
Soit (un)(u_{n}) une suite géométrique à termes strictement positifs. Alors (un)(u_{n}) est croissante si, et seulement si, q>1q \gt 1. Elle est décroissante si, et seulement si, 0<q<10 \lt q \lt 1 . Elle est constante si, et seulement si, q=1q = 1.
Si q1q \neq 1, alors, pour tout nNn \in \mathbb{N}, 1+q+q2++qn=1qn+11q1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.

Exemple

Soit (un)(u_{n}) une suite géométrique de raison q=0,9q = 0{,}9 et de premier terme u0=100u_{0} = 100.
Alors (un)(u_{n}) est décroissante et, pour tout entier naturel n0,un=100×0,9nn \geqslant 0, u_{n}=100 \times 0{,}9^{n}.
Par exemple, u5=100×0,95=59,049u_{5}=100 \times 0{,}9^{5}=59{,}049.
u0+u1+u2++u5=100+100×0,9+100×0,92++100×0,95=100(1+0,9+0,92++0,95)=100×10,9610,9=468,559\begin{array}{l}u_{0}+{\color{red}u_{1}}+{\color{limegreen}u_{2}}+\cdots+{\color{blue}u_{5}} \\ =100+{\color{red}100 \times 0{,}9}+{\color{limegreen}100 \times 0{,}9^{2}}+\ldots+{\color{blue}100 \times 0{,}9^{5}} \\ =100\left(1+{\color{red}0{,}9}+{\color{limegreen}0{,}9^{2}}+\ldots+{\color{blue}0{,}9^{5}}\right) \\ =100 \times \dfrac{1-0{,}9^{6}}{1-0{,}9}=468{,}559\end{array}


Pour s'exercer


4
Soit (un)(u_{n}) une suite arithmétique de raison 33 et de premier terme u0=5u_{0}=5.

1. Pour nNn \in \mathbb{N}, exprimer unu_{n} en fonction de nn.

2. Calculer u20u_{20}.

3. Calculer u0+u1++u20u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{20}.
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Pour s'exercer


5
Soit (vn)(v_{n}) une suite géométrique de raison 22 et de premier terme v1=3v_{1}=3.

1. Pour tout entier n>0n \gt 0, exprimer vnv_{n} en fonction de nn.

2. Calculer v12v_{12}.

3. Calculer v1+v2++v12v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{12}.
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Pour s'exercer


6
On définit deux suites (un)(u_{n}) et (vn)(v_{n}) sur N\N par {u0=10un+1=0,8un+1\left\{\begin{array}{c}u_{0}=10 \\ u_{n+1}=0{,}8 u_{n}+1\end{array}\right. et vn=un5v_{n}=u_{n}-5.

1. Montrer que (vn)(v_{n}) est une suite géométrique.

2. Montrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un=5×(0,8n+1)u_{n}=5 \times\left(0{,}8^{n}+1\right).
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Dérivation


Une fonction ff définie sur un intervalle I\text{I} est dérivable en aIa \in \text{I} si limh0f(a+h)f(a)h \mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} existe et est un nombre réel qu’on appelle nombre dérivé de ff en aa et qu’on note f(a)f^{\prime}(a).
Graphiquement, f(a)f^{\prime}(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de ff au point d’abscisse aa.
La tangente à la courbe représentative de ff en aa est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si, f(a)=0.f^{\prime}(a) = 0.
Cette tangente est la droite d’équation y=f(a)(xa)+f(a)y = f^{\prime}(a) (x-a) + f(a).

Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2f(x) = x^{2}.
τh(1)=f(1+h)f(1)h=(1+h)212h=h2+2hh=h+2\tau_{h}(1)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(1+h)^{2}-1^{2}}{h}=\dfrac{h^{2}+2 h}{h}=h+2 et limh0τh(1)=2\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} \tau_{h}(1)=2.
Donc ff est dérivable en 11 et f(1)=2f^{\prime}(1)=2.
Comme f(1)=12=1f(1)=1^{2}=1, la tangente à la courbe représentative de ff au point d’abscisse 11 a pour équation y=f(1)(x1)+f(1)=2(x1)+1=2x1y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2 x-1.


Soit kk un nombre réel.

 Fonction ff  Dérivable sur  Dérivée ff^{\prime}
kk R\R 0
xnx^n avec nNn \in \mathbb{N}^{*}
En particulier :
xx
x2x^2
x3x^3
R\R nxn1n x^{n-1}
En particulier :
11
2x2x
3x23x^\text{2}
1xn\dfrac{1}{x^{n}} avec nNn \in \mathbb{N}^*
En particulier :
1x\dfrac{1}{x}
R\R^{*} nxn+1-\dfrac{n}{x^{n+1}}
En particulier :
1x2-\dfrac{1}{x^{2}}
x\sqrt{x} ]0;+[] 0 \: ;+\infty[ 12x\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}
ex\text{e}^{x} R\R ex\text{e}^{x}
sin(x)\text{sin}(x)
cos(x)\text{cos}(x)
R\R cos(x)\text{cos}(x)
sin(x)-\text{sin}(x)

Exemples

1. Si f(x)=3x2f(x)=3 x^{2} alors f(x)=6xf^{\prime}(x)=6 x avec xR.x \in \mathbb{R}.

2. Si g(x)=2x3g(x)=-\dfrac{2}{x^{3}} alors g(x)=6x4g^{\prime}(x)=\dfrac{6}{x^{4}} avec x0.x \neq 0.

3. Si h(x)=3xh(x)=3 \sqrt{x} alors h(x)=32xh^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2 \sqrt{x}} avec x>0.x\gt0.

4. Si k(x)=23cos(x)k(x)=-\dfrac{2}{3} \cos (x) alors k(x)=23sin(x)k^{\prime}(x)=\dfrac{2}{3} \sin (x) avec xR.x \in \mathbb{R}.


Soient uu, vv et gg des fonctions dérivables sur un intervalle I\text{I}. Soient kk, aa et bb trois nombres réels.

 Opération  Fonction  Dérivée
Somme u+vu + v (u+v)=u+v(u + v)^{\prime} = u^{\prime} + v^{\prime}
Produit k×uk \times u
u×vu \times v
(k×u)=k×u(k \times u)^{\prime}=k \times u^{\prime}
(u×v)=u×v+u×v(u \times v)^{\prime}=u^{\prime} \times v+u \times v^{\prime}
Inverse 1v\dfrac{1}{v} avec vv qui ne s’annule pas sur I\text{I} (1v)=vv2\left(\dfrac{1}{v}\right)^{\prime}=-\dfrac{v^{\prime}}{v^{2}}
Quotient uv\dfrac{u}{v} avec vv qui ne s’annule pas sur I\text{I} (uv)=u×vu×vv2\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime} \times v-u \times v^{\prime}}{v^{2}}
Composée avec une fonction affine f(x)=g(ax+b)f(x)=g(a x+b) f(x)=a×g(ax+b)f^{\prime}(x)=a \times g^{\prime}(a x+b)

Exemples

1. Si f(x)=2x34x2+5x1f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+5 x-1 alors, pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=6x28x+5f^{\prime}(x)=6 x^{2}-8 x+5.

2. Si g(x)=3xexg(x)=3 x \mathrm{e}^{x} alors, pour tout xRx \in \mathbb{R}, g(x)=3×ex+3x×ex=(3+3x)exg^{\prime}(x)=3 \times \mathrm{e}^{x}+3 x \times \mathrm{e}^{x}=(3+3 x) \mathrm{e}^{x}.

3. Si h(x)=2x2+3xh(x)=\dfrac{2 x^{2}+3}{x} alors, pour tout xx non nul,
h(x)=4x×x(2x2+3)×1x2=4x22x23x2=2x23x2h^{\prime}(x) =\dfrac{4 x \times x-\left(2 x^{2}+3\right) \times 1}{x^{2}} =\dfrac{4 x^{2}-2 x^{2}-3}{x^{2}}=\dfrac{2 x^{2}-3}{x^{2}}

4. Soit k(x)=(2x+1)3k(x)=(2 x+1)^{3}. Alors, en posant g(x)=x3g(x)=x^{3}, on a k(x)=g(2x+1)k(x)=g(2 x+1).
Pour tout xRx \in \mathbb{R}, g(x)=3x2g^{\prime}(x)=3 x^{2} donc k(x)=6(2x+1)2k^{\prime}(x)=6(2 x+1)^{2}.


Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle I\text{I}.
  • ff est (strictement) croissante sur I\text{I} si, et seulement si, ff^{\prime} est (strictement) positive sur I\text{I}.
  • ff est (strictement) décroissante sur I\text{I} si, et seulement si, ff^{\prime} est (strictement) négative sur I\text{I}.
  • ff est constante sur I\text{I} si, et seulement si, ff^{\prime} est nulle sur I\text{I}.
ff admet un extremum local en x0x_0 si, et seulement si, sa dérivée s’annule en changeant de signe en x0x_0.

Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x39x2+24x3.f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 3.
Alors ff est dérivable et, pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=3x218x+24.f^{\prime}(x)=3 x^{2}-18 x+24.
ff^{\prime} est une fonction polynôme du second degré.
On recherche ses racines : Δ=(18)24×3×24=36\Delta=(-18)^{2}-4 \times 3 \times 24=36 et Δ>0.\Delta\gt0.
ff^{\prime} admet deux racines réelles : x1=18362×3=2x_{1}=\dfrac{18-\sqrt{36}}{2 \times 3}=2 et x2=18+362×3=4.x_{2}=\dfrac{18+\sqrt{36}}{2 \times 3}=4.
a>0a \gt 0 donc on en déduit le tableau suivant.

Tableau de variations -  Dérivation - Rappels de première

Avec f(2)=239×22+24×23=17f(2)=2^{3}-9 \times 2^{2}+24 \times 2-3=17 et f(4)=13.f(4)=13.


Pour s'exercer


7
Soit ff une fonction définie sur [4;+[[-4 \,;+\infty[ dont on donne la représentation graphique Cf\mathcal{C}_f dans le repère (O; I , J)\text{(O\,; I , J)} ci-dessous. On a représenté la tangente T\text{T} à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 00. Cette tangente passe par le point B(1;4)\text{B}(1\,; 4).

Représentation graphique - Dérivation - Rappels de première

1. Déterminer graphiquement f(0)f^{\prime}(0).

2. Déterminer l’équation réduite de la tangente T\text{T}.
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Pour s'exercer


8
Pour chacune des fonctions suivantes :
  • déterminer l’ensemble de définition ;
  • déterminer l’ensemble de dérivabilité ;
  • déterminer la fonction dérivée.

1. f:xx3+x2f: x \mapsto x^{3}+x^{2}

2. g:xx+xg: x \mapsto \sqrt{x}+x

3. h:xx×xh: x \mapsto \sqrt{x} \times x

4. k:x1x2+1k: x \mapsto \dfrac{1}{x^{2}+1}

5. :xexx1\ell: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x-1}

6. m:x3(2x1)4m: x \mapsto 3(2 x-1)^{4}

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Pour s'exercer


9
Étudier les variations de la fonction ff définie sur R\R par f(x)=x3+12x221x+10f(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x + 10.

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10
Étudier les variations de la fonction ff définie sur R\R par f(x)=2x+3x2+1f(x)=\dfrac{2 x+3}{x^{2}+1}.

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Exponentielle


La fonction exponentielle, notée exp\text{exp}, est l’unique fonction xexx \mapsto \mathrm{e}^{x} définie et dérivable sur R\R égale à sa dérivée et vérifiant e0=1.\mathrm{e}^{0} = 1. Elle est strictement positive et strictement croissante sur R.\R.
En particulier, quels que soient les réels xx et yy :
  • ex=eyx=y\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{y} \Leftrightarrow x=y
  • ex>eyx>y\mathrm{e}^{x} \gt \mathrm{e}^{y} \Leftrightarrow x \gt y

Exemple

e2x3ex+10e2x3ex+12x3x+1x4\begin{aligned} \mathrm{e}^{2 x-3}-\mathrm{e}^{x+1} \leqslant 0 & \Leftrightarrow \mathrm{e}^{2 x-3} \leqslant \mathrm{e}^{x+1} \\ & \Leftrightarrow 2 x-3 \leqslant x+1 \\ & \Leftrightarrow x \leqslant 4 \end{aligned}


Pour tous réels xx et yy et pour tout entier relatif nn, on a
ex+y=ex×ey\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y} ; ex=1ex\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}} ; exy=exey\mathrm{e}^{x-y}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}} et enx=(ex)n.\mathrm{e}^{n x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{n}.

Exemple

(e3x+1)2×e2e2x=e(3x+1)×2+2e2x=e6x+42x=e4x+4\dfrac{\left(\mathrm{e}^{3 x+1}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2 x}}=\dfrac{\mathrm{e}^{(3 x+1) \times 2+2}}{\mathrm{e}^{2 x}}=\mathrm{e}^{6 x+4-2 x}=\mathrm{e}^{4 x+4}


Soit ff une fonction définie sur R\R par f(x)=eax+bf(x)=\mathrm{e}^{a x+b}aa et bb sont des réels. Alors ff est dérivable sur R\R et, pour tout réel xx, f(x)=aeax+b.f^{\prime}(x)=a \mathrm{e}^{a x+b}.
En particulier, pour tout réel kk, (ex)=ex.\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{\prime}=-\mathrm{e}^{-x}.

Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=xe0,9xf(x)=x \mathrm{e}^{-0{,}9 x}.
Alors ff est dérivable et, pour tout xRx \in \mathbb{R},
f(x)=1×e0,9x+x×(0,9)e0,9x=(10,9x)e0,9x.\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=1 \times \mathrm{e}^{-0{,}9 x}+x \times(-0{,}9) \mathrm{e}^{-0{,}9 x} \\ &=(1-0{,}9 x) \mathrm{e}^{-0{,}9 x}. \end{aligned}


Pour s'exercer


11
Simplifier l’expression suivante définie pour tout réel xx.
A(x)=(e2x+1)3×e4x×ex2ex×e3\mathrm{A}(x)=\left(\mathrm{e}^{-2 x+1}\right)^{3} \times \dfrac{\mathrm{e}^{4 x} \times \mathrm{e}^{x-2}}{\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{3}}
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Pour s'exercer


12
Résoudre dans R\R l’inéquation 1e4x+11e2x+1>0\dfrac{1}{\mathrm{e}^{4 x+11}}-\mathrm{e}^{2 x+1}>0.

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Pour s'exercer


13
On considère la fonction définie sur R\R par f(x)=2+e0,5xe0,5x.f(x)=\dfrac{2+\mathrm{e}^{0,5 x}}{\mathrm{e}^{0,5 x}}.
1. Montrer que pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=1+2e0,5xf(x)=1+2 \mathrm{e}^{-0,5 x}.


2. Étudier les variations de ff sur R\R.
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