Rappels de première

► Une suite $(u_{n})$ est définie explicitement lorsque l’on peut calculer n’importe quel terme directement en fonction de $n$, autrement dit lorsque l’on a une expression du terme $u_{n}$ en fonction de $n$, soit $u_{n}=f(n)$.

Exemple

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=2 n-3$.
On a $u_{10}=2 \times 10-3=17$.

► Une suite $(u_{n})$ est définie par récurrence lorsqu’elle est définie par son premier terme $u_{0}$ et une relation permettant de calculer un terme à partir du précédent, autrement dit lorsque l’on a une expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$, soit $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.

Exemple

$u_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2 u_{n}-3$.
On a $u_{1}=2 \times u_{0}-3=2 \times 5-3=7$.

► Une suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel $r$, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_{n}+r.$
Alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_{n}=u_{p}+(n-p) r$.
En particulier, $u_{n}=u_{0}+n r$ et $u_{n}=u_{1}+(n-1) r$.
Une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de raison $r$ est croissante si, et seulement si, $r \gt 0$. Elle est décroissante si, et seulement si, $r \lt 0$. Elle est constante si, et seulement si, $r = 0$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

Exemple

Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $7$ et de premier terme $u_{0} = 5$.
Alors $\left(u_{n}\right)$ est croissante puisque $r = 7$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$, $u_{n}=5+7 n$.
Par exemple, $u_{10}=5+7 \times 10=75$
$\begin{array}{l}u_{0}+{\color{red}u_{1}}+{\color{limegreen}u_{2}}+\cdots+{\color{blue}u_{20}} \\ =5+{\color{red}12}+{\color{limegreen}19}+\ldots+{\color{blue}145} \\ =5+{\color{red}5+7 \times 1}+{\color{limegreen}5+7 \times 2}+\ldots+{\color{blue}5+7 \times 20} \\ =5 \times 21+7({\color{red}1}+{\color{limegreen}2}+\ldots+{\color{blue}20}) \\ =105+7 \times \dfrac{20 \times 21}{2}=1\,575\end{array}$

► Une suite $(u_{n})$ est géométrique lorsqu’il existe un nombre réel $q$, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_{n} \times q$.
Alors, pour tous entiers naturels $n$ et $p$, $u_{n}=u_{p} \times q^{n-p}$.
En particulier, $u_{n}=u_{0} \times q^{n}$ et $u_{n}=u_{1} \times q^{n-1}$.
Soit $(u_{n})$ une suite géométrique à termes strictement positifs. Alors $(u_{n})$ est croissante si, et seulement si, $q \gt 1$. Elle est décroissante si, et seulement si, $0 \lt q \lt 1$. Elle est constante si, et seulement si, $q = 1$.
Si $q \neq 1$, alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Exemple

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de raison $q = 0{,}9$ et de premier terme $u_{0} = 100$.
Alors $(u_{n})$ est décroissante et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0, u_{n}=100 \times 0{,}9^{n}$.
Par exemple, $u_{5}=100 \times 0{,}9^{5}=59{,}049$.
$\begin{array}{l}u_{0}+{\color{red}u_{1}}+{\color{limegreen}u_{2}}+\cdots+{\color{blue}u_{5}} \\ =100+{\color{red}100 \times 0{,}9}+{\color{limegreen}100 \times 0{,}9^{2}}+\ldots+{\color{blue}100 \times 0{,}9^{5}} \\ =100\left(1+{\color{red}0{,}9}+{\color{limegreen}0{,}9^{2}}+\ldots+{\color{blue}0{,}9^{5}}\right) \\ =100 \times \dfrac{1-0{,}9^{6}}{1-0{,}9}=468{,}559\end{array}$

Pour s'exercer

4

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_{0}=5$.

1. Pour $n \in \mathbb{N}$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.

2. Calculer $u_{20}$.

3. Calculer $u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{20}$.

Pour s'exercer

5

Soit $(v_{n})$ une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_{1}=3$.

1. Pour tout entier $n \gt 0$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.

2. Calculer $v_{12}$.

3. Calculer $v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{12}$.

Pour s'exercer

6

On définit deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{c}u_{0}=10 \\ u_{n+1}=0{,}8 u_{n}+1\end{array}\right.$ et $v_{n}=u_{n}-5$.

1. Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique.

2. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n}=5 \times\left(0{,}8^{n}+1\right)$.

► Une fonction $f$ définie sur un intervalle $\text{I}$ est dérivable en $a \in \text{I}$ si $\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est un nombre réel qu’on appelle nombre dérivé de $f$ en $a$ et qu’on note $f^{\prime}(a)$.
Graphiquement, $f^{\prime}(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $a$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ en $a$ est parallèle à l’axe des abscisses si, et seulement si, $f^{\prime}(a) = 0.$
Cette tangente est la droite d’équation $y = f^{\prime}(a) (x-a) + f(a)$.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^{2}$.
$\tau_{h}(1)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(1+h)^{2}-1^{2}}{h}=\dfrac{h^{2}+2 h}{h}=h+2$ et $\mathop{\lim}\limits_{h \rightarrow 0} \tau_{h}(1)=2$.
Donc $f$ est dérivable en $1$ et $f^{\prime}(1)=2$.
Comme $f(1)=1^{2}=1$, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ a pour équation $y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2 x-1$.

► Soit $k$ un nombre réel.

Exemples

1. Si $f(x)=3 x^{2}$ alors $f^{\prime}(x)=6 x$ avec $x \in \mathbb{R}.$

2. Si $g(x)=-\dfrac{2}{x^{3}}$ alors $g^{\prime}(x)=\dfrac{6}{x^{4}}$ avec $x \neq 0.$

3. Si $h(x)=3 \sqrt{x}$ alors $h^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2 \sqrt{x}}$ avec $x\gt0.$

4. Si $k(x)=-\dfrac{2}{3} \cos (x)$ alors $k^{\prime}(x)=\dfrac{2}{3} \sin (x)$ avec $x \in \mathbb{R}.$

►Soient $u$, $v$ et $g$ des fonctions dérivables sur un intervalle $\text{I}$. Soient $k$, $a$ et $b$ trois nombres réels.

Exemples

1. Si $f(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+5 x-1$ alors, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f^{\prime}(x)=6 x^{2}-8 x+5$.

2. Si $g(x)=3 x \mathrm{e}^{x}$ alors, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g^{\prime}(x)=3 \times \mathrm{e}^{x}+3 x \times \mathrm{e}^{x}=(3+3 x) \mathrm{e}^{x}$.

3. Si $h(x)=\dfrac{2 x^{2}+3}{x}$ alors, pour tout $x$ non nul,
$h^{\prime}(x) =\dfrac{4 x \times x-\left(2 x^{2}+3\right) \times 1}{x^{2}} =\dfrac{4 x^{2}-2 x^{2}-3}{x^{2}}=\dfrac{2 x^{2}-3}{x^{2}}$

4. Soit $k(x)=(2 x+1)^{3}$. Alors, en posant $g(x)=x^{3}$, on a $k(x)=g(2 x+1)$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g^{\prime}(x)=3 x^{2}$ donc $k^{\prime}(x)=6(2 x+1)^{2}$.

► Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $\text{I}$.

• $f$ est (strictement) croissante sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f^{\prime}$ est (strictement) positive sur $\text{I}$.
• $f$ est (strictement) décroissante sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f^{\prime}$ est (strictement) négative sur $\text{I}$.
• $f$ est constante sur $\text{I}$ si, et seulement si, $f^{\prime}$ est nulle sur $\text{I}$.

$f$ admet un extremum local en $x_0$ si, et seulement si, sa dérivée s’annule en changeant de signe en $x_0$.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 3.$
Alors $f$ est dérivable et, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-18 x+24.$
$f^{\prime}$ est une fonction polynôme du second degré.
On recherche ses racines : $\Delta=(-18)^{2}-4 \times 3 \times 24=36$ et $\Delta\gt0.$
$f^{\prime}$ admet deux racines réelles : $x_{1}=\dfrac{18-\sqrt{36}}{2 \times 3}=2$ et $x_{2}=\dfrac{18+\sqrt{36}}{2 \times 3}=4.$
$a \gt 0$ donc on en déduit le tableau suivant.

Avec $f(2)=2^{3}-9 \times 2^{2}+24 \times 2-3=17$ et $f(4)=13.$

Pour s'exercer

7

Soit $f$ une fonction définie sur $[-4 \,;+\infty[$ dont on donne la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ dans le repère $\text{(O\,; I , J)}$ ci-dessous. On a représenté la tangente $\text{T}$ à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$. Cette tangente passe par le point $\text{B}(1\,; 4)$.

1. Déterminer graphiquement $f^{\prime}(0)$.

2. Déterminer l’équation réduite de la tangente $\text{T}$.

Pour s'exercer

8

Pour chacune des fonctions suivantes :

• déterminer l’ensemble de définition ;
• déterminer l’ensemble de dérivabilité ;
• déterminer la fonction dérivée.

1. $f: x \mapsto x^{3}+x^{2}$

2. $g: x \mapsto \sqrt{x}+x$

3. $h: x \mapsto \sqrt{x} \times x$

4. $k: x \mapsto \dfrac{1}{x^{2}+1}$

5. $\ell: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x-1}$

6. $m: x \mapsto 3(2 x-1)^{4}$

Pour s'exercer

9

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x + 10$.

Pour s'exercer

10

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{2 x+3}{x^{2}+1}$.

► La fonction exponentielle, notée $\text{exp}$, est l’unique fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{x}$ définie et dérivable sur $\R$ égale à sa dérivée et vérifiant $\mathrm{e}^{0} = 1.$ Elle est strictement positive et strictement croissante sur $\R.$
En particulier, quels que soient les réels $x$ et $y$ :

• $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{y} \Leftrightarrow x=y$
• $\mathrm{e}^{x} \gt \mathrm{e}^{y} \Leftrightarrow x \gt y$

Exemple

$\begin{aligned} \mathrm{e}^{2 x-3}-\mathrm{e}^{x+1} \leqslant 0 & \Leftrightarrow \mathrm{e}^{2 x-3} \leqslant \mathrm{e}^{x+1} \\ & \Leftrightarrow 2 x-3 \leqslant x+1 \\ & \Leftrightarrow x \leqslant 4 \end{aligned}$

► Pour tous réels $x$ et $y$ et pour tout entier relatif $n$, on a
$\mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{y}$ ; $\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$ ; $\mathrm{e}^{x-y}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{y}}$ et $\mathrm{e}^{n x}=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{n}.$

Exemple

$\dfrac{\left(\mathrm{e}^{3 x+1}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{2 x}}=\dfrac{\mathrm{e}^{(3 x+1) \times 2+2}}{\mathrm{e}^{2 x}}=\mathrm{e}^{6 x+4-2 x}=\mathrm{e}^{4 x+4}$

► Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\mathrm{e}^{a x+b}$ où $a$ et $b$ sont des réels. Alors $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)=a \mathrm{e}^{a x+b}.$
En particulier, pour tout réel $k$, $\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{\prime}=-\mathrm{e}^{-x}.$

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x \mathrm{e}^{-0{,}9 x}$.
Alors $f$ est dérivable et, pour tout $x \in \mathbb{R}$,
$\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=1 \times \mathrm{e}^{-0{,}9 x}+x \times(-0{,}9) \mathrm{e}^{-0{,}9 x} \\ &=(1-0{,}9 x) \mathrm{e}^{-0{,}9 x}. \end{aligned}$

Pour s'exercer

11

Simplifier l’expression suivante définie pour tout réel $x$.
$\mathrm{A}(x)=\left(\mathrm{e}^{-2 x+1}\right)^{3} \times \dfrac{\mathrm{e}^{4 x} \times \mathrm{e}^{x-2}}{\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{3}}$

Pour s'exercer

12

Résoudre dans $\R$ l’inéquation $\dfrac{1}{\mathrm{e}^{4 x+11}}-\mathrm{e}^{2 x+1}>0$.

Pour s'exercer

13

On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{2+\mathrm{e}^{0,5 x}}{\mathrm{e}^{0,5 x}}.$
1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=1+2 \mathrm{e}^{-0,5 x}$.


2. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.