Rappels de première

► Dans le plan muni d’un repère, on considère trois points distincts $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$. On peut calculer le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ de différentes manières :

• $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\mathrm{A}\mathrm{B}\times \mathrm{A}\mathrm{C}\times \cos (\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}};\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}})$ ;
• $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{H}}$ où $\text{H}$ est le projeté orthogonal de $\text{C}$ sur $\text{(AB)}$ ;
• $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\frac{1}{2}\left({\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{A}\mathrm{C}}^2-{\mathrm{B}\mathrm{C}}^2\right)$ ;
• $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$ avec $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$ dans une base orthonormée ;
• en particulier, $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}={\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2=\Vert \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\Vert }^2={\mathrm{A}\mathrm{B}}^2$.

Exemple

Soient $\mathrm{A}(2;3)$, $\mathrm{B}(1;4)$ et $\mathrm{C}(-2;5)$ trois points dans un repère orthonormé.
$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{l}1-2\\ 4-3\end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}-2-2\\ 5-3\end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\end{array}\right)$.
On en déduit que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}=-1\times (-4)+1\times 2=6$.

► Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ est nul.
Si $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ sont quatre points distincts, $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{D}}=0$ si, et seulement si, ($\text{AB)}$ et $\text{(CD)}$ sont perpendiculaires.

Exemple

Si $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\left(\begin{array}{l}3\\ 7\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}\left(\begin{array}{c}-14\\ 6\end{array}\right)$, alors $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}=3\times (-14)+7\times 6=0$.
Donc $(\mathrm{A}\mathrm{B})\perp (\mathrm{A}\mathrm{C})$ : le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A}$.

►Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de $d$.
Dans un repère orthonormé, si $a$ et $b$ sont deux réels simultanément non nuls, $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right)$ est un vecteur normal à la droite $d$ d’équation $ax+by+c=0$ et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $d$.

Exemple

Soit $d$ la droite passant par $\text{A(3; 5)}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$.
$d$ a pour équation cartésienne $-2x+y+c=0.$
$\mathrm{A}\in d\iff -2\times 3+5+c=0\iff c=1$.
$d$ a donc pour équation cartésienne $-2x+y+1=0.$

Pour s'exercer

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On considère un triangle $\text{ABC}$ avec $\text{AB = 3}$ cm, $\text{BC = 4}$ cm et $\text{AC = 5}$ cm.
En utilisant deux définitions du produit scalaire, calculer une mesure de l’angle $\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}}$.

Pour s'exercer

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Dans un repère orthonormé, les droites $d$ d’équation $2x+6y-3=0$ et $d^{\prime }$ d’équation $y=3x-2$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

Pour s'exercer

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Déterminer dans un repère orthonormé une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $\text{A}(-3;5)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}7\\ -2\end{array}\right)$.

► Dans un repère orthonormé, un cercle de centre $\Omega (a;b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$.

Exemple

On considère l’ensemble des points $\text{M}(x;y)$ vérifiant $x^2+y^2-2y-8=0$. $\begin{array}{rl}{x}^2+y^2-2y-8=0& \iff x^2+(y-1{)}^2-9=0\\ & \iff (x-0{)}^2+(y-1{)}^2=3^2\end{array}$
Il s’agit donc du cercle de centre $\Omega (0;1)$ et de rayon $3$.

► Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle $\text{ABC}$ sont concourantes en un point $\text{G}$ appelé centre de gravité et vérifiant $\overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{C}}=\overrightarrow{0}$.
Ce point se situe aux deux tiers d’une médiane en partant du sommet dont elle est issue.

Exemple

Soient $\text{A(1 ; 2)}$, $\text{B(3 ; 1)}$, $\text{C(2 ; 6)}$ et $\text{G(2 ; 3)}$ quatre points dans un repère orthonormé.
On constate que $\overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{B}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\mathrm{C}}=\overrightarrow{0}$ car $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0\\ 0\end{array}\right).$
Donc $\text{G}$ est le centre de gravité du triangle $\text{ABC}$.

► Théorème de la médiane
Dans un triangle $\text{ABC}$, on note $\text{I}$ le milieu de $\text{[BC]}$. Alors :

• $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}={\mathrm{A}\mathrm{I}}^2-\frac{{\mathrm{B}\mathrm{C}}^2}{4}$ ;
• ${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2-{\mathrm{A}\mathrm{C}}^2=2\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{I}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}$ ;
• ${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{A}\mathrm{C}}^2=2{\mathrm{A}\mathrm{I}}^2+\frac{{\mathrm{B}\mathrm{C}}^2}{2}.$

Exemple

On se place dans un triangle $\text{ABC}$ avec $\text{AB = 7}$, $\text{AC = 3}$ et $\text{BC = 8}$.
En notant $\text{I}$ le milieu de $\text{[BC]}$, on a $2{\mathrm{A}\mathrm{I}}^2={\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{A}\mathrm{C}}^2-\frac{{\mathrm{B}\mathrm{C}}^2}{2}=49+9-\frac{64}{2}=26$ donc ${\mathrm{A}\mathrm{I}}^2=13$, soit $\mathrm{A}\mathrm{I}=\sqrt{13}$.

► On se place dans un repère orthonormé.
On considère deux points distincts $\text{A}$ et $\text{B}$.
L’ensemble des points $\text{M}$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{B}}=0$ est le cercle de diamètre $\text{[AB]}$.

Exemple

On considère le cercle $C$ de diamètre $\text{[AB]}$ avec $\text{A(2 ; 3)}$ et $\text{B}(5;-1)$ dans un repère orthonormé.
Soit $\text{M}(x;y)$ un point dans ce repère. Alors
$\begin{array}{rl}\mathrm{M}\in C& \iff \overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{B}}=0\\ & \iff (2-x)(5-x)+(3-y)(-1-y)=0\\ & \iff x^2-7x+10+y^2-2y-3=0.\end{array}$
Donc $C$ a pour équation $x^2-7x+y^2-2y+7=0$.

Pour s'exercer

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Montrer que, dans un repère orthonormé, l’ensemble des points $\text{M}(x;y)$ vérifiant $x^2+4x+y^2-6y-12=0$ est un cercle.
Déterminer son centre et son rayon.

Pour s'exercer

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Soit $\text{G}$ le centre de gravité d’un triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{A}$. On connaît $\text{BC = 5}$.
Calculer $\text{AG}$.

Pour s'exercer

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On se place dans un triangle $\text{ABC}$ avec $\text{AB = 4}$, $\text{AC = 2}$ et $\text{BC = 3}$.
On note ${\mathrm{B}}^{\prime }$ le milieu de $\text{[AC]}$. Calculer ${\mathrm{B}\mathrm{B}}^{\prime }$.