Rappels de première

► Dans le plan muni d’un repère, on considère trois points distincts $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$. On peut calculer le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ de différentes manières :

• $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}})$ ;
• $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}$ où $\text{H}$ est le projeté orthogonal de $\text{C}$ sur $\text{(AB)}$ ;
• $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{BC}^{2}\right)$ ;
• $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=x x^{\prime}+y y^{\prime}$ avec $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{l} x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)$ dans une base orthonormée ;
• en particulier, $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}=\mathrm{AB}^{2}$.

Exemple

Soient $\mathrm{A}(2 \: ; 3)$, $\mathrm{B}(1 \: ; 4)$ et $\mathrm{C}(-2 \: ; 5)$ trois points dans un repère orthonormé.
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{l} 1-2 \\ 4-3 \end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c} -2-2 \\ 5-3 \end{array}\right)$ soit $\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \end{array}\right)$.
On en déduit que $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-1 \times(-4)+1 \times 2=6$.

► Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ est nul.
Si $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ sont quatre points distincts, $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0$ si, et seulement si, ($\text{AB)}$ et $\text{(CD)}$ sont perpendiculaires.

Exemple

Si $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{c} -14 \\ 6 \end{array}\right)$, alors $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=3 \times(-14)+7 \times 6=0$.
Donc $(\mathrm{AB}) \perp(\mathrm{AC})$ : le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A}$.

►Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de $d$.
Dans un repère orthonormé, si $a$ et $b$ sont deux réels simultanément non nuls, $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right)$ est un vecteur normal à la droite $d$ d’équation $ax + by + c = 0$ et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} -b \\ a \end{array}\right)$ est un vecteur directeur de $d$.

Exemple

Soit $d$ la droite passant par $\text{A(3\:; 5)}$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right)$.
$d$ a pour équation cartésienne $-2x + y + c = 0.$
$\mathrm{A} \in d \Leftrightarrow-2 \times 3+5+c=0 \Leftrightarrow c=1$.
$d$ a donc pour équation cartésienne $-2x + y + 1 = 0.$

Pour s'exercer

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On considère un triangle $\text{ABC}$ avec $\text{AB = 3}$ cm, $\text{BC = 4}$ cm et $\text{AC = 5}$ cm.
En utilisant deux définitions du produit scalaire, calculer une mesure de l’angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$.

Pour s'exercer

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Dans un repère orthonormé, les droites $d$ d’équation $2x + 6y - 3 = 0$ et $d^{\prime}$ d’équation $y = 3x - 2$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

Pour s'exercer

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Déterminer dans un repère orthonormé une équation cartésienne de la droite $d$ passant par $\text{A}(-3 \:; 5)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 7 \\ -2 \end{array}\right)$.

► Dans un repère orthonormé, un cercle de centre $\Omega(a \: ; b)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.

Exemple

On considère l’ensemble des points $\text{M}(x \:; y)$ vérifiant $x^2 + y^2 - 2y - 8 = 0$. $\begin{aligned} x^{2}+y^{2}-2 y-8=0 & \Leftrightarrow x^{2}+(y-1)^{2}-9=0 \\ & \Leftrightarrow(x-0)^{2}+(y-1)^{2}=3^{2} \end{aligned}$
Il s’agit donc du cercle de centre $\Omega(0 \: ; 1)$ et de rayon $3$.

► Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle $\text{ABC}$ sont concourantes en un point $\text{G}$ appelé centre de gravité et vérifiant $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$.
Ce point se situe aux deux tiers d’une médiane en partant du sommet dont elle est issue.

Exemple

Soient $\text{A(1 ; 2)}$, $\text{B(3 ; 1)}$, $\text{C(2 ; 6)}$ et $\text{G(2 ; 3)}$ quatre points dans un repère orthonormé.
On constate que $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$ car $\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right).$
Donc $\text{G}$ est le centre de gravité du triangle $\text{ABC}$.

► Théorème de la médiane
Dans un triangle $\text{ABC}$, on note $\text{I}$ le milieu de $\text{[BC]}$. Alors :

• $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{4}$ ;
• $\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$ ;
• $\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AI}^{2}+\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}.$

Exemple

On se place dans un triangle $\text{ABC}$ avec $\text{AB = 7}$, $\text{AC = 3}$ et $\text{BC = 8}$.
En notant $\text{I}$ le milieu de $\text{[BC]}$, on a $2 \mathrm{AI}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}=49+9-\dfrac{64}{2}=26$ donc $\mathrm{AI}^{2}=13$, soit $\mathrm{AI}=\sqrt{13}$.

► On se place dans un repère orthonormé.
On considère deux points distincts $\text{A}$ et $\text{B}$.
L’ensemble des points $\text{M}$ tels que $\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0$ est le cercle de diamètre $\text{[AB]}$.

Exemple

On considère le cercle $C$ de diamètre $\text{[AB]}$ avec $\text{A(2 ; 3)}$ et $\text{B}(5 \: ; - 1)$ dans un repère orthonormé.
Soit $\text{M}(x \:; y)$ un point dans ce repère. Alors
$\begin{aligned} \mathrm{M} \in C & \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0 \\ & \Leftrightarrow(2-x)(5-x)+(3-y)(-1-y)=0 \\ & \Leftrightarrow x^{2}-7 x+10+y^{2}-2 y-3=0. \end{aligned}$
Donc $C$ a pour équation $x^2 - 7x + y^2 - 2y + 7 = 0$.

Pour s'exercer

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Montrer que, dans un repère orthonormé, l’ensemble des points $\text{M}(x\:; y)$ vérifiant $x^2 + 4x + y^2 - 6y - 12 = 0$ est un cercle.
Déterminer son centre et son rayon.

Pour s'exercer

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Soit $\text{G}$ le centre de gravité d’un triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{A}$. On connaît $\text{BC = 5}$.
Calculer $\text{AG}$.

Pour s'exercer

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On se place dans un triangle $\text{ABC}$ avec $\text{AB = 4}$, $\text{AC = 2}$ et $\text{BC = 3}$.
On note $\mathrm{B}^{\prime}$ le milieu de $\text{[AC]}$. Calculer $\mathrm{BB}^{\prime}$.