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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de première
Géométrie
Produit scalaire
►
Dans le plan muni d'un repère, on considère trois points distincts A, B et C.
On peut calculer le produit scalaire des vecteurs AB et AC de différentes manières :
AB⋅AC=AB×AC×cos(AB;AC) ;
AB⋅AC=AB⋅AH où H est le projeté orthogonal de C sur (AB) ;
AB⋅AC=21(AB2+AC2−BC2) ;
AB⋅AC=xx′+yy′ avec AB(xy) et AC(x′y′) dans une base orthonormée ;
en particulier, AB⋅AB=AB2=∥AB∥2=AB2.
Exemple
Soient A(2;3), B(1;4) et C(−2;5) trois points dans un repère orthonormé. AB a pour coordonnées
(1−24−3) soit (−11) et AC a pour coordonnées
(−2−25−3) soit (−42).
On en déduit que AB⋅AC=−1×(−4)+1×2=6.
►
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire u⋅v est nul.
Si A, B, C et D sont quatre points distincts, AB⋅CD=0 si, et seulement si, (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
Exemple
Si AB(37) et AC(−146), alors AB⋅AC=3×(−14)+7×6=0.
Donc (AB)⊥(AC) : le triangle ABC est rectangle en A.
►
Un vecteur normal à une droite d est un vecteur non nul orthogonal à tout
vecteur directeur de d.
Dans un repère orthonormé, si a et b sont deux réels simultanément non nuls, n(ab) est un vecteur normal à la droite d d'équation ax+by+c=0 et u(−ba) est un vecteur directeur de d.
Exemple
Soit d la droite passant par A(3; 5) et de
vecteur normal n(−21). d a pour équation cartésienne −2x+y+c=0. A∈d⇔−2×3+5+c=0⇔c=1. d a donc pour équation cartésienne −2x+y+1=0.
Pour s'exercer
14
On considère un triangle ABC avec
AB = 3 cm, BC = 4 cm et AC = 5 cm.
En utilisant deux définitions du produit scalaire, calculer une mesure de l'angle BAC.
15
Dans un repère orthonormé, les droites d d'équation 2x+6y−3=0 et d′ d'équation y=3x−2 sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
16
Déterminer dans un repère orthonormé une équation cartésienne de la
droite d passant par A(−3;5) et de vecteur normal n(7−2).
Géométrie plane repérée
►
Dans un repère orthonormé, un cercle de centre Ω(a;b) et de rayon r a pour équation (x−a)2+(y−b)2=r2.
Exemple
On considère l'ensemble des points M(x;y)
vérifiant x2+y2−2y−8=0.
x2+y2−2y−8=0⇔x2+(y−1)2−9=0⇔(x−0)2+(y−1)2=32
Il s'agit donc du cercle de centre Ω(0;1) et de rayon 3.
►
Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
Les trois médianes d'un triangle ABC sont concourantes en un point G appelé centre de gravité et vérifiant GA+GB+GC=0.
Ce point se situe aux deux tiers d'une médiane en partant du sommet dont
elle est issue.
Exemple
Soient A(1 ; 2), B(3 ; 1), C(2 ; 6) et G(2 ; 3) quatre points dans un repère orthonormé.
On constate que GA+GB+GC=0 car
(−1−1)+(1−2)+(03)=(00).
Donc G est le centre de gravité du triangle ABC.
►
Théorème de la médiane
Dans un triangle ABC, on note I le milieu de [BC]. Alors :
AB⋅AC=AI2−4BC2 ;
AB2−AC2=2AI⋅CB ;
AB2+AC2=2AI2+2BC2.
Exemple
On se place dans un triangle ABC avec
AB = 7, AC = 3 et BC = 8.
En notant I le milieu de [BC], on a
2AI2=AB2+AC2−2BC2=49+9−264=26
donc AI2=13, soit AI=13.
►
On se place dans un repère orthonormé.
On considère deux points distincts A et B.
L'ensemble des points M tels que MA⋅MB=0 est le cercle de diamètre [AB].
Exemple
On considère le cercle C de diamètre [AB]
avec A(2 ; 3) et B(5;−1) dans un repère orthonormé.
Soit M(x;y) un point dans ce repère. Alors M∈C⇔MA⋅MB=0⇔(2−x)(5−x)+(3−y)(−1−y)=0⇔x2−7x+10+y2−2y−3=0.
Donc C a pour équation x2−7x+y2−2y+7=0.
Pour s'exercer
17
Montrer que, dans un repère orthonormé, l'ensemble des points M(x;y) vérifiant x2+4x+y2−6y−12=0 est
un cercle.
Déterminer son centre et son rayon.
18
Soit G le centre de gravité d'un
triangle ABC rectangle en A. On connaît
BC = 5. Calculer AG.
19
On se place dans un triangle ABC
avec AB = 4, AC = 2 et BC = 3. On note
B′ le milieu de [AC]. Calculer BB′.
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