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Géométrie
P.449-450

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Géométrie

Rappels de première



Produit scalaire


Dans le plan muni d’un repère, on considère trois points distincts A\text{A}, B\text{B} et C\text{C}. On peut calculer le produit scalaire des vecteurs AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} de différentes manières :
  • ABAC=AB×AC×cos(AB;AC)\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\overrightarrow{\mathrm{AB}} \: ; \overrightarrow{\mathrm{AC}}) ;
  • ABAC=ABAH\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}H\text{H} est le projeté orthogonal de C\text{C} sur (AB)\text{(AB)} ;
  • ABAC=12(AB2+AC2BC2)\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{BC}^{2}\right) ;
  • ABAC=xx+yy\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=x x^{\prime}+y y^{\prime} avec AB(xy)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{l} x\\ y\end{array}\right) et AC(xy)\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right) dans une base orthonormée ;
  • en particulier, ABAB=AB2=AB2=AB2\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}^{2}=\|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\|^{2}=\mathrm{AB}^{2}.

Exemple

Soient A(2;3)\mathrm{A}(2 \: ; 3), B(1;4)\mathrm{B}(1 \: ; 4) et C(2;5)\mathrm{C}(-2 \: ; 5) trois points dans un repère orthonormé.
AB\overrightarrow{\mathrm{AB}} a pour coordonnées (1243)\left(\begin{array}{l} 1-2 \\ 4-3 \end{array}\right) soit (11)\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right) et AC\overrightarrow{\mathrm{AC}} a pour coordonnées (2253)\left(\begin{array}{c} -2-2 \\ 5-3 \end{array}\right) soit (42)\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \end{array}\right).
On en déduit que ABAC=1×(4)+1×2=6\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-1 \times(-4)+1 \times 2=6.


Deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire uv\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} est nul.
Si A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} sont quatre points distincts, ABCD=0\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=0 si, et seulement si, (AB)\text{AB)} et (CD)\text{(CD)} sont perpendiculaires.

Exemple

Si AB(37)\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}\right) et AC(146)\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{c} -14 \\ 6 \end{array}\right), alors ABAC=3×(14)+7×6=0\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=3 \times(-14)+7 \times 6=0.
Donc (AB)(AC)(\mathrm{AB}) \perp(\mathrm{AC}) : le triangle ABC\text{ABC} est rectangle en A\text{A}.


Un vecteur normal à une droite dd est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de dd.
Dans un repère orthonormé, si aa et bb sont deux réels simultanément non nuls, n(ab)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right) est un vecteur normal à la droite dd d’équation ax+by+c=0ax + by + c = 0 et u(ba)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} -b \\ a \end{array}\right) est un vecteur directeur de dd.

Exemple

Soit dd la droite passant par A(3; 5)\text{A(3\:; 5)} et de vecteur normal n(21)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right).
dd a pour équation cartésienne 2x+y+c=0.-2x + y + c = 0.
Ad2×3+5+c=0c=1\mathrm{A} \in d \Leftrightarrow-2 \times 3+5+c=0 \Leftrightarrow c=1.
dd a donc pour équation cartésienne 2x+y+1=0.-2x + y + 1 = 0.


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14
On considère un triangle ABC\text{ABC} avec AB = 3\text{AB = 3} cm, BC = 4\text{BC = 4} cm et AC = 5\text{AC = 5} cm.
En utilisant deux définitions du produit scalaire, calculer une mesure de l’angle BAC^\widehat{\mathrm{BAC}}.

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15
Dans un repère orthonormé, les droites dd d’équation 2x+6y3=02x + 6y - 3 = 0 et dd^{\prime} d’équation y=3x2y = 3x - 2 sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

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Pour s'exercer


16
Déterminer dans un repère orthonormé une équation cartésienne de la droite dd passant par A(3;5)\text{A}(-3 \:; 5) et de vecteur normal n(72)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c} 7 \\ -2 \end{array}\right).

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Géométrie plane repérée


Dans un repère orthonormé, un cercle de centre Ω(a;b)\Omega(a \: ; b) et de rayon rr a pour équation (xa)2+(yb)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.

Exemple

On considère l’ensemble des points M(x;y)\text{M}(x \:; y) vérifiant x2+y22y8=0x^2 + y^2 - 2y - 8 = 0. x2+y22y8=0x2+(y1)29=0(x0)2+(y1)2=32\begin{aligned} x^{2}+y^{2}-2 y-8=0 & \Leftrightarrow x^{2}+(y-1)^{2}-9=0 \\ & \Leftrightarrow(x-0)^{2}+(y-1)^{2}=3^{2} \end{aligned}
Il s’agit donc du cercle de centre Ω(0;1)\Omega(0 \: ; 1) et de rayon 33.


Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle ABC\text{ABC} sont concourantes en un point G\text{G} appelé centre de gravité et vérifiant GA+GB+GC=0\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.
Ce point se situe aux deux tiers d’une médiane en partant du sommet dont elle est issue.

Exemple

Soient A(1 ; 2)\text{A(1 ; 2)}, B(3 ; 1)\text{B(3 ; 1)}, C(2 ; 6)\text{C(2 ; 6)} et G(2 ; 3)\text{G(2 ; 3)} quatre points dans un repère orthonormé.
On constate que GA+GB+GC=0\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0} car (11)+(12)+(03)=(00).\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right).
Donc G\text{G} est le centre de gravité du triangle ABC\text{ABC}.


Théorème de la médiane
Dans un triangle ABC\text{ABC}, on note I\text{I} le milieu de [BC]\text{[BC]}. Alors :
  • ABAC=AI2BC24\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AI}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{4} ;
  • AB2AC2=2AICB\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}=2 \overrightarrow{\mathrm{AI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} ;
  • AB2+AC2=2AI2+BC22.\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=2 \mathrm{AI}^{2}+\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}.

Exemple

On se place dans un triangle ABC\text{ABC} avec AB = 7\text{AB = 7}, AC = 3\text{AC = 3} et BC = 8\text{BC = 8}.
En notant I\text{I} le milieu de [BC]\text{[BC]}, on a 2AI2=AB2+AC2BC22=49+9642=262 \mathrm{AI}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-\dfrac{\mathrm{BC}^{2}}{2}=49+9-\dfrac{64}{2}=26 donc AI2=13\mathrm{AI}^{2}=13, soit AI=13\mathrm{AI}=\sqrt{13}.


On se place dans un repère orthonormé.
On considère deux points distincts A\text{A} et B\text{B}.
L’ensemble des points M\text{M} tels que MAMB=0\overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0 est le cercle de diamètre [AB]\text{[AB]}.

Exemple

On considère le cercle CC de diamètre [AB]\text{[AB]} avec A(2 ; 3)\text{A(2 ; 3)} et B(5;1)\text{B}(5 \: ; - 1) dans un repère orthonormé.
Soit M(x;y)\text{M}(x \:; y) un point dans ce repère. Alors
MCMAMB=0(2x)(5x)+(3y)(1y)=0x27x+10+y22y3=0.\begin{aligned} \mathrm{M} \in C & \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{MA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MB}}=0 \\ & \Leftrightarrow(2-x)(5-x)+(3-y)(-1-y)=0 \\ & \Leftrightarrow x^{2}-7 x+10+y^{2}-2 y-3=0. \end{aligned}
Donc CC a pour équation x27x+y22y+7=0x^2 - 7x + y^2 - 2y + 7 = 0.


Pour s'exercer


17
Montrer que, dans un repère orthonormé, l’ensemble des points M(x;y)\text{M}(x\:; y) vérifiant x2+4x+y26y12=0x^2 + 4x + y^2 - 6y - 12 = 0 est un cercle.
Déterminer son centre et son rayon.
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Pour s'exercer


18
Soit G\text{G} le centre de gravité d’un triangle ABC\text{ABC} rectangle en A\text{A}. On connaît BC = 5\text{BC = 5}.
Calculer AG\text{AG}.
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Pour s'exercer


19
On se place dans un triangle ABC\text{ABC} avec AB = 4\text{AB = 4}, AC = 2\text{AC = 2} et BC = 3\text{BC = 3}.
On note B\mathrm{B}^{\prime} le milieu de [AC]\text{[AC]}. Calculer BB\mathrm{BB}^{\prime}.
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