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Géométrie
P.449-450

Géométrie

Rappels de première



Produit scalaire


Dans le plan muni d’un repère, on considère trois points distincts , et . On peut calculer le produit scalaire des vecteurs et de différentes manières :
  • ;
  • est le projeté orthogonal de sur ;
  • ;
  • avec et dans une base orthonormée ;
  • en particulier, .

Exemple

Soient , et trois points dans un repère orthonormé.
a pour coordonnées soit et a pour coordonnées soit .
On en déduit que .


Deux vecteurs et sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul.
Si , , et sont quatre points distincts, si, et seulement si, ( et sont perpendiculaires.

Exemple

Si et , alors .
Donc : le triangle est rectangle en .


Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de .
Dans un repère orthonormé, si et sont deux réels simultanément non nuls, est un vecteur normal à la droite d’équation et est un vecteur directeur de .

Exemple

Soit la droite passant par et de vecteur normal .
a pour équation cartésienne
.
a donc pour équation cartésienne


Pour s'exercer


14
On considère un triangle avec cm, cm et cm.
En utilisant deux définitions du produit scalaire, calculer une mesure de l’angle .

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Pour s'exercer


15
Dans un repère orthonormé, les droites d’équation et d’équation sont-elles perpendiculaires ? Justifier.

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Pour s'exercer


16
Déterminer dans un repère orthonormé une équation cartésienne de la droite passant par et de vecteur normal .

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Géométrie plane repérée


Dans un repère orthonormé, un cercle de centre et de rayon a pour équation .

Exemple

On considère l’ensemble des points vérifiant .
Il s’agit donc du cercle de centre et de rayon .


Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité et vérifiant .
Ce point se situe aux deux tiers d’une médiane en partant du sommet dont elle est issue.

Exemple

Soient , , et quatre points dans un repère orthonormé.
On constate que car
Donc est le centre de gravité du triangle .


Théorème de la médiane
Dans un triangle , on note le milieu de . Alors :
  • ;
  • ;

Exemple

On se place dans un triangle avec , et .
En notant le milieu de , on a donc , soit .


On se place dans un repère orthonormé.
On considère deux points distincts et .
L’ensemble des points tels que est le cercle de diamètre .

Exemple

On considère le cercle de diamètre avec et dans un repère orthonormé.
Soit un point dans ce repère. Alors

Donc a pour équation .


Pour s'exercer


17
Montrer que, dans un repère orthonormé, l’ensemble des points vérifiant est un cercle.
Déterminer son centre et son rayon.
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Pour s'exercer


18
Soit le centre de gravité d’un triangle rectangle en . On connaît .
Calculer .
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Pour s'exercer


19
On se place dans un triangle avec , et .
On note le milieu de . Calculer .
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