Probabilités et statistiques

Soit $\text{A}$ un événement de probabilité non nulle.
La probabilité conditionnelle de l'événement $\text{B}$ sachant que l'événement $\text{A}$ est réalisé est ${\text{P}}_{\text{A}}(\text{B})=\frac{\text{P}(\text{A}\cap \text{B})}{\text{P}(\text{A})}$.
Comme toute probabilité, ${\text{P}}_{\text{A}}(\text{B})$ est un nombre réel compris entre $0$ et $1$.
On a $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})\times {\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})\times {\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})$.

Exemple

Une classe de trente élèves compte vingt filles dont sept portent des lunettes. On choisit un élève au hasard et on note $\text{F}$ : « L'élève est une fille. » et $\text{L}$ : « L'élève porte des lunettes. »
Alors ${\text{P}}_{\text{F}}(\text{L})=\frac{7}{20}$ : la probabilité de choisir une fille portant des lunettes sachant que c'est une fille est égale à $\frac{7}{20}$.

Dans un arbre pondéré :

• la somme des probabilités des branches issues d'un noeud vaut $1$ ;
• la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches le composant ;
• la probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins. Il s'agit de la formule des probabilités totales.

Exemple

D'après la formule des probabilités totales,
$\begin{array}{rl}\text{P}(\text{D})& =\text{P}(\text{A}\cap \text{D})+\text{P}(\text{B}\cap \text{D})+\text{P}(\text{C}\cap \text{D})\\ & =0,15\times 0,05+0,45\times 0,1+0,4\times 0,2\\ & =0,1325\end{array}$

$\text{A}$ et $\text{B}$ sont deux événements indépendants lorsque $\text{P}(\text{A}\cap \text{B})=\text{P}(\text{A})\times \text{P}(\text{B})$.

Exemple

Si $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0,6$, $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \overline{\mathrm{B}})=0,24$ et $\mathrm{P}(\mathrm{B})=0,6$, alors $\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{B})=0,4$ donc $\mathrm{P}(\mathrm{A})\times \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0,6\times 0,4=0,24=\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \overline{\mathrm{B}})$. Donc $\text{A}$ et $\overline{\mathrm{B}}$ sont indépendants.

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Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux événements tels que ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}=0,6$, ${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}=0,4$ et ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=0,3$.
Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})$ et ${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})$.

22

On considère l'arbre pondéré ci-dessous.
Calculer $\mathrm{P}(\overline{\mathrm{D}})$.

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire réelle définie sur un univers $\Omega$. Définir la loi de probabilité de $\text{X}$, c'est associer à chaque valeur de $\text{X}$ sa probabilité.
On résume ceci dans un tableau.


On doit avoir $p_1+p_2+\dots +p_n=1$.

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. On gagne $6$ € si on tombe sur $6$, on perd $1$ € sinon. On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique.
Alors, la loi de probabilité de $\text{X}$ est :

L'espérance d'une variable aléatoire $\text{X}$, notée $\text{E(X})$, est la valeur moyenne théorique des valeurs prises par $\text{X}$ lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire associée :
Pour tous réels $a$ et $b$, on a $\mathrm{E}(a\mathrm{X}+b)=a\mathrm{E}(\mathrm{X})+b$.

Exemple

En reprenant la variable aléatoire de l'exemple précédent, alors $\mathrm{E}(\mathrm{X})=-1\times \frac{5}{6}+6\times \frac{1}{6}=\frac{1}{6}.$
Sur un très grand nombre de parties jouées, le gain moyen théorique s'élève à $0,17$ € environ.

La variance d'une variable aléatoire $\text{X}$, notée $\text{V(X)}$, est le nombre positif défini par
$\begin{array}{rl}\mathrm{V}(\mathrm{X})& =\sum _{i=1}^n{p}_i{\left(x_i-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)}^2\\ & =\mathrm{E}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}){]}^2\right)\\ & =\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}^2\right)-(\mathrm{E}(\mathrm{X}){)}^2\end{array}$
(d'après la formule de König-Huygens).
L'écart-type de $\text{X}$ est défini par $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}$.

Exemple

En reprenant la variable aléatoire de l'exemple précédent, alors
$\text{V(X)}=\frac{5}{6}{\left(-1-\frac{1}{6}\right)}^2+\frac{1}{6}{\left(6-\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{245}{36}$ et $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}\approx 2,61$ €.

23

Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : sept rouges et trois noires. On tire au hasard, successivement et avec remise, deux boules de l'urne.
Soit $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de $\text{X}$.

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Reprendre l'exercice précédent mais dans le cadre d'un tirage sans remise.

25

On considère une variable aléatoire $\text{X}$ dont la loi de probabilité est la suivante.

1. Compléter le tableau, puis calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$, $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ et $\sigma (\mathrm{X})$.

2. Interpréter $\mathrm{E}(\mathrm{X})$.