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Probabilités et statistiques
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Probabilités et statistiques

Rappels de première



Probabilités conditionnelles


Soit un événement de probabilité non nulle.
La probabilité conditionnelle de l’événement sachant que l’événement est réalisé est .
Comme toute probabilité, est un nombre réel compris entre et .
On a .

Exemple

Une classe de trente élèves compte vingt filles dont sept portent des lunettes. On choisit un élève au hasard et on note : « L’élève est une fille. » et : « L’élève porte des lunettes. »
Alors : la probabilité de choisir une fille portant des lunettes sachant que c’est une fille est égale à .


Dans un arbre pondéré :
  • la somme des probabilités des branches issues d’un noeud vaut ;
  • la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches le composant ;
  • la probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins. Il s’agit de la formule des probabilités totales.

Exemple

Arbre pondéré - probabilités conditionnelles - rappels de première

D’après la formule des probabilités totales,


et sont deux événements indépendants lorsque .

Exemple

Si , et , alors donc . Donc et sont indépendants.


Pour s'exercer


20
Soient et deux événements tels que , et .
Calculer et .
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Pour s'exercer


21
Soient et deux événements indépendants tels que et .
Calculer .
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Pour s'exercer


22
On considère l’arbre pondéré ci-dessous.
Arbre pondéré - probabilités conditionnelles - rappels de première
Calculer .
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Variables aléatoires


Soit une variable aléatoire réelle définie sur un univers . Définir la loi de probabilité de , c’est associer à chaque valeur de sa probabilité.
On résume ceci dans un tableau.

 Valeurs de ...
 Probabilité ...

On doit avoir .

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de à . On gagne € si on tombe sur , on perd € sinon. On note la variable aléatoire donnant le gain algébrique.
Alors, la loi de probabilité de est :

 
 


L’espérance d’une variable aléatoire , notée , est la valeur moyenne théorique des valeurs prises par lorsqu’on répète un grand nombre de fois l’expérience aléatoire associée :
Pour tous réels et , on a .

Exemple

En reprenant la variable aléatoire de l’exemple précédent, alors
Sur un très grand nombre de parties jouées, le gain moyen théorique s’élève à € environ.


La variance d’une variable aléatoire , notée , est le nombre positif défini par

(d’après la formule de König-Huygens).
L’écart-type de est défini par .

Exemple

En reprenant la variable aléatoire de l’exemple précédent, alors
et €.


Pour s'exercer


23
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : sept rouges et trois noires. On tire au hasard, successivement et avec remise, deux boules de l’urne.
Soit la variable aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de .
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Pour s'exercer


24
Reprendre l’exercice précédent mais dans le cadre d’un tirage sans remise.

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Pour s'exercer


25
On considère une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la suivante.
 

1. Compléter le tableau, puis calculer , et .


2. Interpréter .
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