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Probabilités et statistiques
P.451

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Probabilités et statistiques

Rappels de première



Probabilités conditionnelles


Soit A\text{A} un événement de probabilité non nulle.
La probabilité conditionnelle de l’événement B\text{B} sachant que l’événement A\text{A} est réalisé est PA(B)=P(AB)P(A)\text{P}_\text{A}(\text{B})=\dfrac{\text{P}(\text{A} \cap \text{B})}{\text{P}(\text{A})}.
Comme toute probabilité, PA(B)\text{P}_\text{A}(\text{B}) est un nombre réel compris entre 00 et 11.
On a P(AB)=P(A)×PA(B)=P(B)×PB(A)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).

Exemple

Une classe de trente élèves compte vingt filles dont sept portent des lunettes. On choisit un élève au hasard et on note F\text{F} : « L’élève est une fille. » et L\text{L} : « L’élève porte des lunettes. »
Alors PF(L)=720\text{P}_{\text{F}}(\text{L})=\dfrac{7}{20} : la probabilité de choisir une fille portant des lunettes sachant que c’est une fille est égale à 720\dfrac{7}{20}.


Dans un arbre pondéré :
  • la somme des probabilités des branches issues d’un noeud vaut 11 ;
  • la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches le composant ;
  • la probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins. Il s’agit de la formule des probabilités totales.

Exemple

Arbre pondéré - probabilités conditionnelles - rappels de première

D’après la formule des probabilités totales,
P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD)=0,15×0,05+0,45×0,1+0,4×0,2=0,1325\begin{aligned} \text{P}(\text{D}) &=\text{P}(\text{A} \cap \text{D})+\text{P}(\text{B} \cap \text{D})+\text{P}(\text{C} \cap \text{D}) \\ &=0{,}15 \times 0{,}05+0{,}45 \times 0{,}1+0{,}4 \times 0{,}2 \\ &=0{,}1325 \end{aligned}


A\text{A} et B\text{B} sont deux événements indépendants lorsque P(AB)=P(A)×P(B)\text{P}(\text{A} \cap \text{B})=\text{P}(\text{A}) \times \text{P}(\text{B}).

Exemple

Si P(A)=0,6\mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}6, P(AB)=0,24\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})=0{,}24 et P(B)=0,6\mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}6, alors P(B)=1P(B)=0,4\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}4 donc P(A)×P(B)=0,6×0,4=0,24=P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0{,}6 \times 0{,}4=0{,}24=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}}). Donc A\text{A} et B\overline{\mathrm{B}} sont indépendants.


Pour s'exercer


20
Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements tels que PA=0,6\mathrm{P}_{\mathrm{A}} = 0{,}6, PB=0,4\mathrm{P}_{\mathrm{B}} = 0{,}4 et PA(B)=0,3\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) = 0{,}3.
Calculer P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) et PB(A)\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).
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21
Soient A\text{A} et B\text{B} deux événements indépendants tels que P(A)=0,4\mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}4 et P(B)=0,5\mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}5.
Calculer P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}).
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22
On considère l’arbre pondéré ci-dessous.
Arbre pondéré - probabilités conditionnelles - rappels de première
Calculer P(D)\mathrm{P}(\overline{\mathrm{D}}).
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Variables aléatoires


Soit X\text{X} une variable aléatoire réelle définie sur un univers Ω\Omega. Définir la loi de probabilité de X\text{X}, c’est associer à chaque valeur de X\text{X} sa probabilité.
On résume ceci dans un tableau.

 Valeurs xi\boldsymbol{x_i} de X\mathbf{X} x1x_1 x2x_2 ... xnx_n
 Probabilité P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}\boldsymbol{=}\boldsymbol{x}_\boldsymbol{i}\right) p1p_1 p2p_2 ... pnp_n

On doit avoir p1+p2++pn=1p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{n}=1.

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 11 à 66. On gagne 66 € si on tombe sur 66, on perd 11 € sinon. On note X\text{X} la variable aléatoire donnant le gain algébrique.
Alors, la loi de probabilité de X\text{X} est :

 xi\boldsymbol{x_i} 1-1 66
 P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}\boldsymbol{=}\boldsymbol{x}_\boldsymbol{i}\right) 56\dfrac{5}{6} 16\dfrac{1}{6}


L’espérance d’une variable aléatoire X\text{X}, notée E(X)\text{E(X}), est la valeur moyenne théorique des valeurs prises par X\text{X} lorsqu’on répète un grand nombre de fois l’expérience aléatoire associée :
E(X)=i=1nxipi. \mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}.
Pour tous réels aa et bb, on a E(aX+b)=aE(X)+b\mathrm{E}(a \mathrm{X}+b)=a \mathrm{E}(\mathrm{X})+b.

Exemple

En reprenant la variable aléatoire de l’exemple précédent, alors E(X)=1×56+6×16=16.\mathrm{E}(\mathrm{X})=-1 \times \dfrac{5}{6}+6 \times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}.
Sur un très grand nombre de parties jouées, le gain moyen théorique s’élève à 0,170{,}17 € environ.


La variance d’une variable aléatoire X\text{X}, notée V(X)\text{V(X)}, est le nombre positif défini par
V(X)=i=1npi(xiE(X))2=E([XE(X)]2)=E(X2)(E(X))2\begin{aligned} \mathrm{V}(\mathrm{X}) &=\sum_{i=1}^{n} p_{i}\left(x_{i}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2} \\ &=\mathrm{E}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^{2}\right) \\ &=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)-(\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2} \end{aligned}
(d’après la formule de König-Huygens).
L’écart-type de X\text{X} est défini par σ(X)=V(X)\sigma(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}.

Exemple

En reprenant la variable aléatoire de l’exemple précédent, alors
V(X)=56(116)2+16(616)2=24536\text{V(X)}=\dfrac{5}{6}\left(-1-\dfrac{1}{6}\right)^{2}+\dfrac{1}{6}\left(6-\dfrac{1}{6}\right)^{2}=\dfrac{245}{36} et σ(X)=V(X)2,61 \sigma(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})} \approx 2{,}61 €.


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23
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : sept rouges et trois noires. On tire au hasard, successivement et avec remise, deux boules de l’urne.
Soit X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de X\text{X}.
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Pour s'exercer


24
Reprendre l’exercice précédent mais dans le cadre d’un tirage sans remise.

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Pour s'exercer


25
On considère une variable aléatoire X\text{X} dont la loi de probabilité est la suivante.
 xi\boldsymbol{x_i} 11 55 1010
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}\boldsymbol{=}\boldsymbol{x}_\boldsymbol{i}\right) 0,30{,}3 0,60{,}6

1. Compléter le tableau, puis calculer E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}), V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X}) et σ(X)\sigma(\mathrm{X}).


2. Interpréter E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}).
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