Rappels de première

► Soit $\text{A}$ un événement de probabilité non nulle.
La probabilité conditionnelle de l’événement $\text{B}$ sachant que l’événement $\text{A}$ est réalisé est $\text{P}_\text{A}(\text{B})=\dfrac{\text{P}(\text{A} \cap \text{B})}{\text{P}(\text{A})}$.
Comme toute probabilité, $\text{P}_\text{A}(\text{B})$ est un nombre réel compris entre $0$ et $1$.
On a $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})$.

Exemple

Une classe de trente élèves compte vingt filles dont sept portent des lunettes. On choisit un élève au hasard et on note $\text{F}$ : « L’élève est une fille. » et $\text{L}$ : « L’élève porte des lunettes. »
Alors $\text{P}_{\text{F}}(\text{L})=\dfrac{7}{20}$ : la probabilité de choisir une fille portant des lunettes sachant que c’est une fille est égale à $\dfrac{7}{20}$.

► Dans un arbre pondéré :

• la somme des probabilités des branches issues d’un noeud vaut $1$ ;
• la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches le composant ;
• la probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins. Il s’agit de la formule des probabilités totales.

Exemple

D’après la formule des probabilités totales,
$\begin{aligned} \text{P}(\text{D}) &=\text{P}(\text{A} \cap \text{D})+\text{P}(\text{B} \cap \text{D})+\text{P}(\text{C} \cap \text{D}) \\ &=0{,}15 \times 0{,}05+0{,}45 \times 0{,}1+0{,}4 \times 0{,}2 \\ &=0{,}1325 \end{aligned}$

►$\text{A}$ et $\text{B}$ sont deux événements indépendants lorsque $\text{P}(\text{A} \cap \text{B})=\text{P}(\text{A}) \times \text{P}(\text{B})$.

Exemple

Si $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}6$, $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})=0{,}24$ et $\mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}6$, alors $\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}4$ donc $\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0{,}6 \times 0{,}4=0{,}24=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})$. Donc $\text{A}$ et $\overline{\mathrm{B}}$ sont indépendants.

Pour s'exercer

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Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux événements tels que $\mathrm{P}_{\mathrm{A}} = 0{,}6$, $\mathrm{P}_{\mathrm{B}} = 0{,}4$ et $\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) = 0{,}3$.
Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ et $\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})$.

Pour s'exercer

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Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux événements indépendants tels que $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0{,}4$ et $\mathrm{P}(\mathrm{B})=0{,}5$.
Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})$.

Pour s'exercer

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On considère l’arbre pondéré ci-dessous.

Calculer $\mathrm{P}(\overline{\mathrm{D}})$.

► Soit $\text{X}$ une variable aléatoire réelle définie sur un univers $\Omega$. Définir la loi de probabilité de $\text{X}$, c’est associer à chaque valeur de $\text{X}$ sa probabilité.
On résume ceci dans un tableau.

Valeurs $\boldsymbol{x_i}$ de $\mathbf{X}$	$x_1$	$x_2$	...	$x_n$
Probabilité $\mathbf{P}\left(\mathbf{X}\boldsymbol{=}\boldsymbol{x}_\boldsymbol{i}\right)$	$p_1$	$p_2$	...	$p_n$

On doit avoir $p_{1}+p_{2}+\ldots+p_{n}=1$.

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. On gagne $6$ € si on tombe sur $6$, on perd $1$ € sinon. On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique.
Alors, la loi de probabilité de $\text{X}$ est :

$\boldsymbol{x_i}$	$-1$	$6$
$\mathbf{P}\left(\mathbf{X}\boldsymbol{=}\boldsymbol{x}_\boldsymbol{i}\right)$	$\dfrac{5}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

► L’espérance d’une variable aléatoire $\text{X}$, notée $\text{E(X})$, est la valeur moyenne théorique des valeurs prises par $\text{X}$ lorsqu’on répète un grand nombre de fois l’expérience aléatoire associée :
$\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} p_{i}.$ Pour tous réels $a$ et $b$, on a $\mathrm{E}(a \mathrm{X}+b)=a \mathrm{E}(\mathrm{X})+b$.

Exemple

En reprenant la variable aléatoire de l’exemple précédent, alors $\mathrm{E}(\mathrm{X})=-1 \times \dfrac{5}{6}+6 \times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}.$
Sur un très grand nombre de parties jouées, le gain moyen théorique s’élève à $0{,}17$ € environ.

► La variance d’une variable aléatoire $\text{X}$, notée $\text{V(X)}$, est le nombre positif défini par
$\begin{aligned} \mathrm{V}(\mathrm{X}) &=\sum_{i=1}^{n} p_{i}\left(x_{i}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2} \\ &=\mathrm{E}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^{2}\right) \\ &=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)-(\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2} \end{aligned}$
(d’après la formule de König-Huygens).
L’écart-type de $\text{X}$ est défini par $\sigma(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}$.

Exemple

En reprenant la variable aléatoire de l’exemple précédent, alors
$\text{V(X)}=\dfrac{5}{6}\left(-1-\dfrac{1}{6}\right)^{2}+\dfrac{1}{6}\left(6-\dfrac{1}{6}\right)^{2}=\dfrac{245}{36}$ et $\sigma(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})} \approx 2{,}61$ €.

Pour s'exercer

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Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : sept rouges et trois noires. On tire au hasard, successivement et avec remise, deux boules de l’urne.
Soit $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de $\text{X}$.

Pour s'exercer

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Reprendre l’exercice précédent mais dans le cadre d’un tirage sans remise.

Pour s'exercer

25

On considère une variable aléatoire $\text{X}$ dont la loi de probabilité est la suivante.

$\boldsymbol{x_i}$	$1$	$5$	$10$
$\mathbf{P}\left(\mathbf{X}\boldsymbol{=}\boldsymbol{x}_\boldsymbol{i}\right)$	$0{,}3$	$0{,}6$

1. Compléter le tableau, puis calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$, $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ et $\sigma(\mathrm{X})$.


2. Interpréter $\mathrm{E}(\mathrm{X})$.