► Soit A un événement de probabilité non nulle.
La probabilité conditionnelle de l’événement B sachant que l’événement A
est réalisé est PA(B)=P(A)P(A∩B).
Comme toute probabilité, PA(B) est un nombre réel compris entre 0 et 1.
On a P(A∩B)=P(A)×PA(B)=P(B)×PB(A).
Exemple
Une classe de trente élèves compte vingt filles dont sept portent des lunettes. On choisit un élève au hasard et on note F : « L’élève est une fille. » et L : « L’élève porte des lunettes. »
Alors PF(L)=207 : la probabilité de choisir une fille portant des lunettes sachant que c’est une fille est égale à 207.
► Dans un arbre pondéré :
la somme des probabilités des branches issues d’un noeud vaut 1 ;
la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches
le composant ;
la probabilité d’un événement correspondant à plusieurs chemins est
la somme des probabilités de ces chemins. Il s’agit de la formule des
probabilités totales.
Exemple
D’après la formule des probabilités totales, P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)+P(C∩D)=0,15×0,05+0,45×0,1+0,4×0,2=0,1325
►A et B sont deux événements indépendants lorsque
P(A∩B)=P(A)×P(B).
Exemple
Si P(A)=0,6, P(A∩B)=0,24 et P(B)=0,6, alors P(B)=1−P(B)=0,4 donc
P(A)×P(B)=0,6×0,4=0,24=P(A∩B).
Donc A et B sont indépendants.
Pour s'exercer
20
Soient A et B deux événements tels que PA=0,6,
PB=0,4 et PA(B)=0,3.
Calculer P(A∩B) et PB(A).
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Pour s'exercer
21
Soient A et B deux événements indépendants tels que
P(A)=0,4 et P(B)=0,5.
Calculer P(A∪B).
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Pour s'exercer
22
On considère l’arbre pondéré ci-dessous.
Calculer P(D).
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Variables aléatoires
► Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un univers Ω. Définir la loi de probabilité de X, c’est associer à chaque valeur de X sa probabilité.
On résume ceci dans un tableau.
ValeursxideX
x1
x2
...
xn
ProbabilitéP(X=xi)
p1
p2
...
pn
On doit avoir p1+p2+…+pn=1.
Exemple
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On gagne 6 € si on tombe sur 6, on perd 1 € sinon. On note X la variable aléatoire donnant le gain algébrique.
Alors, la loi de probabilité de X est :
xi
−1
6
P(X=xi)
65
61
► L’espérance d’une variable aléatoire X, notée E(X), est la valeur moyenne théorique des valeurs prises par X lorsqu’on répète un grand nombre de fois l’expérience aléatoire associée :
E(X)=i=1∑nxipi.
Pour tous réels a et b, on a E(aX+b)=aE(X)+b.
Exemple
En reprenant la variable aléatoire de l’exemple
précédent, alors E(X)=−1×65+6×61=61.
Sur un très grand nombre de parties jouées, le gain
moyen théorique s’élève à 0,17 € environ.
► La variance d’une variable aléatoire X, notée V(X), est le nombre positif défini par V(X)=i=1∑npi(xi−E(X))2=E([X−E(X)]2)=E(X2)−(E(X))2
(d’après la formule de König-Huygens).
L’écart-type de X est défini par σ(X)=V(X).
Exemple
En reprenant la variable aléatoire de l’exemple
précédent, alors V(X)=65(−1−61)2+61(6−61)2=36245 et σ(X)=V(X)≈2,61 €.
Pour s'exercer
23
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : sept rouges et trois noires. On tire au hasard, successivement et avec remise, deux boules de l’urne.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de X.
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Pour s'exercer
24
Reprendre l’exercice
précédent mais dans le cadre
d’un tirage sans remise.
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Pour s'exercer
25
On considère une variable aléatoire X dont la loi de
probabilité est la suivante.
xi
1
5
10
P(X=xi)
0,3
0,6
1. Compléter le tableau, puis calculer E(X), V(X) et σ(X).
2. Interpréter E(X).
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