Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de première
Probabilités et statistiques
Probabilités conditionnelles
►
Soit A un événement de probabilité non nulle.
La probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que l'événement A
est réalisé est PA(B)=P(A)P(A∩B).
Comme toute probabilité, PA(B) est un nombre réel compris entre 0 et 1.
On a P(A∩B)=P(A)×PA(B)=P(B)×PB(A).
Exemple
Une classe de trente élèves compte vingt filles dont sept portent des lunettes. On choisit un élève au hasard et on note F : « L'élève est une fille. » et L : « L'élève porte des lunettes. »
Alors PF(L)=207 : la probabilité de choisir une fille portant des lunettes sachant que c'est une fille est égale à 207.
►
Dans un arbre pondéré :
la somme des probabilités des branches issues d'un noeud vaut 1 ;
la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches
le composant ;
la probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins est
la somme des probabilités de ces chemins. Il s'agit de la formule des
probabilités totales.
Exemple
Le zoom est accessible dans la version Premium.
D'après la formule des probabilités totales, P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)+P(C∩D)=0,15×0,05+0,45×0,1+0,4×0,2=0,1325
►
A et B sont deux événements indépendants lorsque
P(A∩B)=P(A)×P(B).
Exemple
Si P(A)=0,6, P(A∩B)=0,24 et P(B)=0,6, alors P(B)=1−P(B)=0,4 donc
P(A)×P(B)=0,6×0,4=0,24=P(A∩B).
Donc A et B sont indépendants.
Pour s'exercer
20
Soient A et B deux événements tels que PA=0,6,
PB=0,4 et PA(B)=0,3. Calculer P(A∩B) et PB(A).
22
On considère l'arbre pondéré ci-dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Calculer P(D).
21
Soient A et B deux événements indépendants tels que
P(A)=0,4 et P(B)=0,5. Calculer P(A∪B).
Variables aléatoires
►
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un univers Ω. Définir la loi de probabilité de X, c'est associer à chaque valeur de X sa probabilité.
On résume ceci dans un tableau.
ValeursxideX
x1
x2
...
xn
ProbabilitéP(X=xi)
p1
p2
...
pn
On doit avoir p1+p2+…+pn=1.
Exemple
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On gagne 6 € si on tombe sur 6, on perd 1 € sinon. On note X la variable aléatoire donnant le gain algébrique.
Alors, la loi de probabilité de X est :
xi
−1
6
P(X=xi)
65
61
►
L'espérance d'une variable aléatoire X, notée E(X), est la valeur moyenne théorique des valeurs prises par X lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire associée :
E(X)=i=1∑nxipi.
Pour tous réels a et b, on a E(aX+b)=aE(X)+b.
Exemple
En reprenant la variable aléatoire de l'exemple
précédent, alors E(X)=−1×65+6×61=61.
Sur un très grand nombre de parties jouées, le gain
moyen théorique s'élève à 0,17 € environ.
►
La variance d'une variable aléatoire X, notée V(X), est le nombre positif défini par V(X)=i=1∑npi(xi−E(X))2=E([X−E(X)]2)=E(X2)−(E(X))2
(d'après la formule de König-Huygens).
L'écart-type de X est défini par σ(X)=V(X).
Exemple
En reprenant la variable aléatoire de l'exemple
précédent, alors V(X)=65(−1−61)2+61(6−61)2=36245 et σ(X)=V(X)≈2,61 €.
Pour s'exercer
23
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher : sept rouges et trois noires. On tire au hasard, successivement et avec remise, deux boules de l'urne.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
Déterminer la loi de probabilité de X.
24
Reprendre l'exercice
précédent mais dans le cadre
d'un tirage sans remise.
25
On considère une variable aléatoire X dont la loi de
probabilité est la suivante.
xi
1
5
10
P(X=xi)
0,3
0,6
1. Compléter le tableau, puis calculer E(X), V(X) et σ(X).
2. Interpréter E(X).
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
Yolène
Émilie
Jean-Paul
Fatima
Sarah
Premium activé
5
essais restants
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.