Une histoire de paramètre et de trapèze

1. a. Déterminer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{EB}}, \overrightarrow{\mathrm{BF}} et \overrightarrow{\mathrm{DG}}.

b. Exprimer celles de \overrightarrow{\mathrm{DH}} en fonction de k.

2. a. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{EF}}.

b. Exprimer celles de \overrightarrow{\mathrm{GH}} en fonction de k.

GeoGebra nous permet d'obtenir une valeur approchée de k et de visualiser le résultat dans un repère.

1. Construire les points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D}.

2. Créer un curseur nommé k variant entre –5 et 5 avec une incrémentation de 0{,}01 avec le bouton
3. Compléter la saisie pour obtenir les points \text{E}, \text{F}, \text{G} et \text{H}. Par exemple, pour le point \text{E}, on peut écrire :

4. Tracer les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}} avec le bouton .

5. a. Dans la zone de saisie, écrire :
b. Que représente le nombre \text{d} ?

6. Déterminer un encadrement de k à 10^-2 près pour lequel le quadrilatère \text{EFGH} est un trapèze.

1. Utiliser la colonne A pour les valeurs du nombre k et la remplir de nombres allant de -2 à 2 avec un pas de 0{,}01.

2. Compléter la colonne B avec l'abscisse de \overrightarrow{\mathrm{EF}} et la colonne C avec l'ordonnée de \overrightarrow{\mathrm{EF}}.

3. En utilisant la formule appropriée, compléter la colonne D avec l'abscisse de \overrightarrow{\mathrm{GH}} en fonction de k et la colonne E avec l'ordonnée de \overrightarrow{\mathrm{GH}} en fonction de k .

4. Dans la colonne F, écrire la formule appropriée pour calculer le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}} pour chaque valeur de k .

5. Déterminer un encadrement de k à 10^-2 près pour lequel le quadrilatère \text{EFGH} est un trapèze.

1. Puisque \text{EFGH} est un trapèze de grande base [\text{EF}], que peut-on dire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}} ?

2. Exprimer, en fonction de k , le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}}.

3. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=49{,}5 x-\dfrac{287}{15}.

a. Quel est le lien entre la fonction f et le déterminant de \overrightarrow{\mathrm{EF}} et \overrightarrow{\mathrm{GH}} ?

b. Pourquoi doit-on trouver un antécédent de 0 par la fonction f ?

c. Représenter graphiquement la fonction f à la calculatrice.

4. Déterminer un encadrement de k à 10^-2 près pour lequel le quadrilatère \text{EFGH} est un trapèze.